ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 1
TO
TO
Á
Á
N CAO C
N CAO C
Ấ
Ấ
P A1
P A1CAO Đ
CAO Đ
Ẳ
Ẳ
NG
NG
PHÂN PH
PHÂN PH
Ố
Ố
I CHƯƠNG TRÌNH
I CHƯƠNG TRÌNH
S
S
ố

Biên
Biên
so
so
ạ
ạ
n
n
:
:
ThS
ThS
.
.
Đo
Đo
à
à
n
n
Vương
Vương
Nguyên
Nguyên
T
T
ả
ả
i
i

i
i
dvntailieu.wordpress.com
dvntailieu.wordpress.com


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế

Khi đó:
– Miền xác định (MXĐ) của f, ký hiệu D
f
, là tập X.
– Miền giá trị (MGT) của f là:
{
}
( )
G y f x x X
= = ∈
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ


VD 1.
a) Hàm số
:
f
→
ℝ ℝ
thỏa
( ) 2
x
y f x
= =
là đơn ánh.
b) Hàm số
: [0; )
f
→ +∞
ℝ
thỏa
2
( )
f x x
=
là toàn ánh.
c) Hsố
: (0; )
f
+∞ →
ℝ
thỏa

s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Nhận xét

– Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung.

–
Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ.

1.1.2. Hàm số hợp
• Cho hai hàm số f và g thỏa điều kiện
g f
G D

f x x x
= −
và
2
( ) 1
g x x
= +
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t

y f x
−
=

đối xứng với đồ thị của
hàm số
( )
y f x
=
qua
đường thẳng
y x
=
.
VD 3. Cho
( ) 2
x
f x
=
thì
1
2
( ) log
f x x
−
=
, mọi x > 0.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010

s
ố
ố
1.2. Hàm số lượng giác ngược

1.2.1. Hàm số
y =
arcsin

x

• Hàm số
sin
y x
=
có hàm ngược trên
;
2 2
 
π π
 
−
 
 
là

1
: [ 1; 1] ;
2 2
f


3
arcsin
2 3
π
=
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi

x y x
=
֏
.

VD 5.
arccos 0
2
π
=
;

arccos( 1)
− = π
;

3
arccos
2 6
π
=
;
1 2
arccos
2 3
− π
=
.

Chú ý

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

1.2.3. Hàm số y = arctan x
• Hàm số
tan
y x
=
có hàm ngược trên
;
2 2
 
π π


−





 
là

;
arctan( 1)
4
π
− = −
; arctan 3
3
π
=
.

Quy ước.
(
)
(
)
arctan , arctan .
2 2
π π
+∞ = −∞ = −



Chương

1.2.4. Hàm số y = arccot x
• Hàm số
cot
y x
=
có hàm ngược trên
(0; )
π
là

1
: (0; )
f
−
→ π
ℝcot
x y arc x
=
֏
.

VD 7.
cot 0
2
arc
π
=

H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
2.1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có

Định nghĩa 2 (định nghĩa theo dãy)
• Cho hàm số f(x) xác định trên (a; b). Ta nói f(x) có
giới
hạn là L (hữu hạn) khi
0
[ ; ]
x x a b
→ ∈
,
ký hiệu
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
, nếu mọi dãy {x
n
} trong
0
( ; ) \ { }
a b x
mà
0
n
x x
→
thì
lim ( )
n

ế
n
n
s
s
ố
ố
Định nghĩa 3 (giới hạn tại vô cùng)
• Ta nói f(x) có giới hạn là L (hữu hạn) khi
x
→ +∞
,
ký hiệu
lim ( )
x
f x L
→+∞
=
, nếu
0
∀ε >
cho trước ta tìm
được N > 0 đủ lớn sao cho khi x > N thì
( )
f x L
− < ε
.
• Tương tự, ký hiệu
lim ( )
x

0
M
∀ >
lớn tùy ý cho
trước ta
tìm được
0
δ >
sao cho khi
0
0
x x
< − < δ

thì
( )
f x M
>
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 3


Chương
Chương
1.
1.
H

→
= −∞
, nếu
0
M
∀ <
có
trị
tuyệt đối lớn tùy ý cho trước ta tìm được
0
δ >

sao cho
khi
0
0
x x
< − < δ
thì
( )
f x M
<
.
Định nghĩa 5 (giới hạn 1 phía)
• Nếu f(x) có giới hạn là L (có thể là vô cùng) khi
0
x x
→
với
0

<
thì ta nói f(x) có giới hạn trái tại x
0
(hữu
hạn), ký hiệu
0
0
lim ( )
x x
f x L
→ −
=
hoặc
0
lim ( )
x x
f x L
−
→
=
.
Chú ý.
0
0
0
lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x x
x x x x
f x L f x f x L
− +

n
n
s
s
ố
ố
2.2. Tính chất
Cho
0
lim ( )
x x
f x a
→
=
và
0
lim ( )
x x
g x b
→
=
. Khi đó:
1)
0
lim [ . ( )] .
x x
C f x C a
→
=
(C là hằng số).

( ) ( ), ( ; )
f x g x x x x
≤ ∀ ∈ − ε + ε
thì
a b
≤
.
6) Nếu
0 0
( ) ( ) ( ), ( ; )
f x h x g x x x x
≤ ≤ ∀ ∈ − ε + ε
và

0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x g x L
→ →
= =
thì
0
lim ( )
x x
h x L
→
=
.



Định lý
• Nếu
0 0
lim ( ) 0, lim ( )
x x x x
u x a v x b
→ →
= > =
thì:
0
( )
lim [ ( )] .
v x b
x x
u x a
→
=

VD 1. Tìm giới hạn
2
1
2
lim
3
x
x
x
x
L
x

.
Các kết quả cần nhớ
1)
0 0
1 1
lim , lim
x x
x x
− +
→ →
= −∞ = +∞
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m

b x b x b
−
−
−
→∞
−
+ + +
=
+ + +
, ta có:
a)
n
n
a
L
b
=
nếu
n m
=
;
b)
0
L
=
nếu
n m
<
;
c)

x
→±∞ →
 


+ = + =





 



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m

= + 




 
+
.
A.
L
= ∞
; B.
3
L e
=
; C.
2
L e
=
; D.
1
L
=
.

VD 3. Tìm giới hạn
(
)
1
2

1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§3. ĐẠI LƯỢNG VÔ CÙNG BÉ – VÔ CÙNG LỚN
3.1. Đại lượng vô cùng bé
a) Định nghĩa

x
−
→
; 2
1
( )
ln
x
x
β =
là VCB khi
x
→ +∞
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 4


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à

α β
là các VCB khi
0
x x
→
thì

( ) ( )
x x
α ± β
và
( ). ( )
x x
α β
là VCB khi
0
x x
→
. 2) Nếu
( )
x
α
là VCB và
( )
x
β
bị chận trong lân cận

x x
→
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n

β
.Khi đó:

– Nếu
0
k
=
, ta nói
( )
x
α
là VCB cấp cao hơn
( )
x
β
,

ký hiệu
( ) 0( ( ))
x x
α = β
.

– Nếu
k
= ∞
, ta nói

α
và
( )
x
β
là các VCB
tương đương, ký hiệu
( ) ( )
x x
α β
∼
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m

2 sin
1 cos 1
2
lim lim
2
4
2
x x
x
x
x
x
→ →
−
= =
 







 
.
•
2 2
sin 3( 1) 9( 1)
x x
− −

ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
• Tính chất của VCB tương đương khi x → x
0
1)
( ) ( ) ( ) ( ) 0( ( )) 0( ( ))
x x x x x x
α β ⇔ α − β = α = β
∼
.
2) Nếu
( ) ( ), ( ) ( )
x x x x
α β β γ
∼ ∼
thì
( ) ( )
x x
α γ
∼
.
3) Nếu
1 1 2 2
( ) ( ), ( ) ( )

0
( )
lim
( )
x x
x
x
→
α
β
bằng giới hạn tỉ số hai VCB
cấp thấp
nhất

của tử và mẫu.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s

=
+
.
Chú ý. Nếu
( )
u x
là VCB khi
0
x
→
thì ta có thể thay
x
bởi
( )
u x
trong 8 công thức trên.
•
Các VCB tương đương cần nhớ khi x → 0
1)
sin
x x
∼
; 2)
tan
x x
∼
;

3)
arcsin

x
n
+ −
∼
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi

2
0
( )
lim 0
x
x x
x
→
+ −
= =
(Sai!).

VD 4. Tính giới hạn
2
2
0
ln(1 2 sin )
lim
sin .tan
x
x x
L
x x
→
−
=
.

VD 5. Tính
(

m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
3.2. Đại lượng vô cùng lớn
a) Định nghĩa
• Hàm số f(x) được gọi là đại lượng vô cùng lớn (VCL
)
khi
0
x x
→

+ −
− +
là VCL khi
x
→ +∞
.
Nhận xét
. Hàm số
( )
f x
là VCL khi
0
x x
→
thì

1
( )
f x
là VCB khi
0
x x
→
.


Chương
Chương
1.
1.
Cho
( ), ( )
f x g x
là các VCL khi
0
x x
→
,
0
( )
lim
( )
x x
f x
k
g x
→
=
.

Khi đó:
– Nếu
0
k
=
, ta nói
( )
f x

=
, ta nói
( )
f x
và
( )
g x
là các VCL tương đương. Ký hiệu
( ) ( )
f x g x
∼
.


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố

khi
0
x
→
vì:
3
3 3 3 3
0 0 0
3 1 2
lim : 3 lim 3 lim
2
x x x
x x x
x x x x x
→ → →
 
+


 = = = ∞




 
+
.
•
3 3
2 1 2

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 9. Tính các giới hạn:
3
3
cos 1
lim
3 2
x
x x
A
x x
→∞
− +
=
+
;
3 2
7 2
2 1
lim
2 sin
x

Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

f x f x
→
=
.

• Hàm số
f(x) liên tục trên tập X nếu f(x) liên tục tại mọi

điểm
0
x X
∈
.

Quy ước•
Hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm cô lập của f(x).


Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m

f x f x
−
→
=
(
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
→
=
).
• Định lý
Hàm số f(x) liên tục tại x
0
nếu
0 0
0
lim ( ) lim ( ) ( ).
x x x x
f x f x f x
− +
→ →
= =4.2. Định lý


s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

VD 1. Cho hàm số
2 2
3 tan sin
, 0
( )
2
, 0
x x
x

1
2
α =
; C.
1
α =
; D.
3
2
α =
.

VD 2. Cho hàm số
2 2
ln(cos )
, 0
( )
arctan 2
2 3, 0
x
x
f x
x x
x



≠



3
2
α =
.



Chương
Chương
1.
1.
H
H
à
à
m
m
s
s
ố
ố
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế

0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
−
−
→
= ,
0
0
lim ( ) ( )
x x
f x f x
+
+
→
=

nhưng
0
( )
f x
−
,
0
( )
f x
+
và

í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§1. ĐẠO HÀM

0 0
0 0
( ) ( )
lim lim
x x
f x x f x
y
x x
∆ → ∆ →
+ ∆ −
∆
=
∆ ∆

(nếu có) được gọi là đạo hàm của
( )
y f x
=
tại
0
x
.

Ký hiệu là
0
( )
f x
′
hay
0

m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Nhận xé
t. Do
0
x x x
∆ = −
nên:
0
0
0
0
( ) ( )
( ) lim .


( )
y f x
=
xác
đị
nh trong
lân cận
phải

0
( ; )
x b
c
ủ
a
0
x
. Gi
ớ
i h
ạ
n
0
0
0
( ) ( )
lim
x x
f x f x

0
( )
f x
+
′
. T
ươ
ng t
ự
,
0
( )
f x
−
′
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t

VD 1. Cho
3
( ) (0)
f x x f
′
= ⇒ = ∞
,

( ) (0 )
f x x f
+
′
= ⇒ = +∞
.

c) Đạo hàm vô cùng

• Nếu tỉ s
ố
y
x
∆
→ ∞
∆
khi
0
x
∆ →
thì ta nói
( )

y f x
=
song song với trục
Oy
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à

uv u v uv
′ ′ ′
= +
;

2
,
k kv
k
v
v
′
 
′
−


= ∈





 
ℝ
;
2
u u v uv
v
v

.

3) Đạo hàm hàm số ngược của
( )
y y x
=
:
1
( )
( )
x y
y x
′
=
′
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 7


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é

s
s
ố
ố
Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp

1)
(
)
1
.
x x
α α−
′
= α
; 2)
(
)
1
2
x
x
′
=
; 3)
(
)

cot
sin
x
x
′
= −
;

2
1 tan
x
= +
;


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh

)
x x
e e
′
=
; 8)
(
)
.ln
x x
a a a
′
=
; 9)
(
)
1
ln x
x
′
=
; 10)
(
)
1
log
.ln

−
; 13)
(
)
2
1
arctan
1
x
x
′
=
+
; 14)
(
)
2
1
cot
1
arc x
x
−
′
=
+
.

ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
1.3
. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số

• Cho hàm số
( )
y f x
=
có phương trình dạng tham số

( ), ( )
x x t y y t
= =
. Giả sử
( )
x x t
=

x t
t
y t


= −


≠


=



.

VD
3. Tính
(1)
x
y
′
của hàm số cho bởi
2
2
t
x e
y t t


vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
1.4. Đạo hàm cấp cao
• Giả sử
( )
f x
có đạo hàm

( )
f x
.
VD 4. Cho hàm số
2
( ) sin
f x x
=
. Tính đạo hàm
(6)
(0)
f
.
A.
(6)
(0) 32
f
=
; B.
(6)
(0) 32
f
= −
;
C.
(6)
(0) 16
f
= −
; D.

à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 5. Tính
( )
( )
n
f x
của hàm số
1
( ) (1 )
n
f x x
+

í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố


x y x
F F y
′ ′ ′
+ =
.

Vậy
, 0.
x
x y
y
F
y F
F
′
′ ′
= − ≠
′( )
x
y x y
′ ′
=
được gọi là đạo hàm của hàm số ẩn
( )
y x
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM

m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
Ta có thể xem hàm ẩn
( )
y x
như hàm hợp
( )
u x
và thực
hiện đạo hàm như hàm
số
hợp.

VD 10. Cho hàm ẩn

x y
xy e e
− + =
.
Tính
( )
y x
′
.
VD 9
. Cho hàm ẩn
( )
y x
xác định bởi:
2 2
ln arctan
y
x y
x
+ =
. Tính
( )
y x
′
.


Chương
Chương
2.

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§2. VI PHÂN
2.1. Vi phân cấp một
• Hàm số
( )
y f x
=
được gọi là khả vi tại
0
f
x D
∈
nế
u
0 0 0
( ) ( ) ( )
f x f x x f x
∆ = + ∆ −
có thể biểu diễn
dưới
dạng:
0

0
( )
dy x
.
Nhận xét

•
0
( ) . 0( )
f x A x x
∆ = ∆ + ∆
0
( )
0( )
f x
x
A
x x
∆
∆
⇒ = +
∆ ∆



Chương
Chương
2.
2.
Ph

ế
n
n
s
s
ố
ố

0
0
0
( )
( )
x
f x
A f x A
x
∆ →
∆
′
⇒   → ⇒ =
∆
.

0 0
( ) ( ).
df x f x x
′
⇒ = ∆
hay

ln(arcsin )
2
x
y
=
.

VD 2. Tính vi phân cấp 1 của
2
arctan( 1)
y x
= +
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh

y f x
=
có đạo hàm đến cấp n thì
1 ( )
( )
n n n n
d y d d y y dx
−
= =

được gọi là vi phân cấp n của hàm
( )
y f x
=
.
VD 4. Tính vi phân cấp 2 của hàm số
ln(sin )
y x
=
.
VD 5. Tính vi phân cấp n của hàm số
2
x
y e
=
.
Chú ý
Khi x là một hàm số độc lập với y thì công thức
( )
n n n

í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§3. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN VỀ HÀM KHẢ VI

a b
thì
0
( ) 0
f x
′
=
. 3.1.2. Định lý Rolle Cho hàm số
( )
f x
liên tục trong
[ ; ]
a b
và khả vi trong
( ; )
a b
. Nếu
( ) ( )
f a f b
=
thì
( ; )
c a b
∃ ∈

h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

3.1.3. Định lý Cauchy

Cho hai hàm số
( )
f x
,
( )
g x

3.1.4. Định lý Lagrange

Cho hàm số
( )
f x
liên tục trong
[ ; ]
a b
, khả vi trong
( ; )
a b
.
Khi đó,
( ; )
c a b
∃ ∈
sao cho:
( ) ( )
( ).
f b f a
f c
b a
−
′
=
−


m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

3.2. Cực trị của hàm số

3.2.1. Hàm số đơn điệua) Định nghĩa

Cho hàm số
( )
f x
liên tục trong trong

( )
f x
được gọi là giảm (nghịch biến) trong
( ; )
a b
nếu
1 2
1 2
( ) ( )
0
f x f x
x x
−
<
−
,
1 2
, ( ; )
x x a b
∀ ∈
và
1 2
x x
≠
.
•
( )
f x
được gọi là đơn điệu trong
( ; )

h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
•
Nếu
( )
f x
đơn điệu trong
( ; )
a b
và liên tục trong

( ; )
a b
.
• Nếu
( ) 0, ( ; )
f x x a b
′
< ∀ ∈
thì
( )
f x
giảm trong
( ; )
a b
.
VD 1. Tìm các khoảng đơn điệu của
2
ln( 1)
y x
= +
.
VD 2. Tìm các khoảng đơn điệu của
2
2
1
( )
( 1)
x
f x
x

é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n

>
,
0
( ; )\ { }
x a b x
∀ ∈
thì
( )
f x
đạt cực tiểu

hay cực đại tại
0
x
.

b) Định lý Cho
( )
f x
có đạo hàm đến cấp
2
n
trong
( ; )
a b
chứa
0

0
x
.
• Nếu
(2 )
0
( ) 0
n
f x
<
thì
( )
f x
đạt cực đại tại
0
x
.

VD 5. Tìm cực trị (nếu có) của
4
( )
f x x
=
,
3
( )
f x x
=
.


ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
3.2.3. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
a) Định nghĩa
Cho hàm số
( )
y f x
=
có MXĐ
D
và
X D
⊂
.
• Số
M
được gọi là giá trị lớn nhất của
( )
f x

: ( )
x X f x m
∃ ∈ =
và
( ) ,
f x m x X
≥ ∀ ∈
.
Ký hiệu là:
min ( )
x X
m f x
∈
=
.
Chú ý
•
H
àm số có thể không đạt max hoặc min trên
X D
⊂
.



Chương
Chương
2.
2.
Ph

ế
n
n
s
s
ố
ố
• Nếu
max ( )
x X
M f x
∈
=
và
min ( )
x X
m f x
∈
=
thì:
( ) ,
m f x M x X
≤ ≤ ∀ ∈
.
b) Ph
ươ
ng pháp tìm max – min

Hàm s
ố

ướ
c 1. Giải phương trình
( ) 0
f x
′
=
. Giả sử có
n

nghiệm
1
, , [ ; ]
n
x x a b
∈
(loại các nghiệm ngoài
[ ; ]
a b
).

• B
ướ
c 2. Tính
1
( ), ( ), , ( ), ( )
n
f a f x f x f b
.
• B
ướ

à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 6. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 2
3
( ) 3
2
f x x x x
= − − +
trên đoạn
[0; 2]
.

f x g t
∈ ∈
=
.
VD 7. Tìm max, min của
2
( ) 5 6
f x x x
= − + +
.
VD 8. Tìm max, min của
2
sin 1
sin sin 1
x
y
x x
+
=
+ +
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 10


Chương
Chương
2.

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
 Hàm số liên tục trên khoảng (a; b)
Cho hàm
( )
y f x
=
liên tục trên
( ; )
a b
(
,
a b
có thể là
∞
).
Để tìm
( ; )
max ( )
x a b
f x
∈
và

và hai giới hạn
1 2
lim ( ), lim ( )
x a x b
L f x L f x
+ −
→ →
= =
.
• Bước 3. Kết luận:
1) Nếu
1 1 2
max{ ( ), , ( )} max{ , }
n
f x f x L L
>
thì
1
( ; )
max max{ ( ), , ( )}
n
x a b
f f x f x
∈
=
.


Chương
Chương

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
Ta có thể lập bảng biến thiên của
( )
f x
thay cho bước 3.
VD 10. Tìm max, min của
2
( )
2 1
x
f x
x
=
+ −
.
……………………………………………………………………
2) Nếu
1 1 2
min{ ( ), , ( )} min{ , }
n


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ

với
0
, ( ; )
x x a b
∈
ta có:
( )
0
0 0
0
( )
( ) ( ) (( ) ).
!
k
n
k n
k
f x
f x x x O x x
k
=
= − + −
∑

b) Khai triển Maclaurin

• Khai triển Taylor với phần dư Peano tại
0
0
x

h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Vậy:
( )
0
(0)
( ) ( ).
!
k
n

VD 1. Khai triển Maclaurin của
( ) tan
f x x
=
đến
3
x
.


Chương
Chương
2.
2.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
vi
vi
phân
phân

x
= + + + + +
−
.
2)
2
1 0( )
1! 2! !
n
x n
x x x
e x
n
= + + + + +
.
3)
2 3 4
ln(1 ) 0( )
1 2 3 4
n
x x x x
x x
+ = − + − + +
.
4)
2 4 6
cos 1 0( )
2! 4 ! 6!
n
x x x

vi
vi
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
• Nếu
( )
u x

6
x
.
VD 4. Khai triển Maclaurin của hàm số
2
x
y
=
đến
4
x
.
VD 5. Cho hàm số
( ) cos2
f x x x
=
. Tính
(7)
(0)
f
.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 11


Chương
Chương
2.

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§5. QUY TẮC L’HOSPITAL
VD 1
. Tìm giới hạn
2
0
2
lim
x x
x
e e
L
x
−
→
+ −
=
.
Định lý (quy tắc L’Hospital)
Cho hai hàm số
( )
f x

→
có dạng
0
0
hoặc
∞
∞
thì:
0 0
( ) ( )
lim lim .
( ) ( )
x x x x
f x f x
g x g x
→ →
′
=
′

Chú ý

Ta c
ó thể áp dụng
quy tắc
L
’
Hospital
nhiều lần.


ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 3. Tìm giới hạn
(
)
3
0
lim ln
x
L x x
+
→
=
(dạng
0
×∞
).
VD 4. Tìm giới hạn

A.
0
L
=
; B.
L
= ∞
; C.
1
2
L
=
; D.
1
3
L
=
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p

n
n
s
s
ố
ố
§1. Tích phân bất định
§2. Tích phân xác định
§3. Ứng dụng của tích phân xác định
§4. Tích phân suy rộng
…………………………
§1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1.1. Định nghĩa
• Hàm số
( )
F x
được gọi là một nguyên hàm của
( )
f x

trên
khoảng
( ; )
a b
nếu
( ) ( ), ( ; )
F x f x x a b
′
= ∀ ∈
.

Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t

=
∫

4)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
f x g x dx f x dx g x dx
+ = +
∫ ∫ ∫
.
MỘT SỐ NGUYÊN HÀM CẦN NHỚ
1)
. , aa dx ax C
= + ∈
∫
ℝ

2)
1
, 1
1
x
x dx C
α+
α
= + α ≠ −
α +
∫




m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

3)
ln
dx
x C
x
= +
∫
; 4)
2
dx
x C
x
= +

9)
2
tan
cos
dx
x C
x
= +
∫
; 10)
2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫11)
2 2
1
arctan
dx x
C
a a
x a
= +
+

nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s

cos 2 4
dx x
C
x
 
π


= + +





 
∫16)
2
2
ln
dx
x x a C
x a
= + + +
+
∫

ĐH Công nghiệp Tp.HCM

h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 1. Tính
2
4
dx
I
x
=
−
∫

= +
+
; D.
1 2
ln
2 2
x
I C
x
+
= +
−
.
VD 2. Tính
2
6
dx
I
x x
=
− −
∫
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph

t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 3. Tính
ln 1
dx
I
x x
=
+
∫
.
VD 4. Tính
2
3 ln
dx
I
x x
=
−
∫
.

Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m

VD 6. Tính
ln
I x xdx
=
∫
.
VD 7. Tính
2
x
x
I dx
=
∫
.

Chú ý

Đối với nhiều tích phân khó thì
ta phải đổi biến trước
khi lấy từng phần.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é

ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 8. Tính
3 sin
cos
x
I x e dx
=
∫
.

b) Các dạng tích phân từng phần thường gặp

•
Đối với dạng tích phân
( )
x
P x e dx
α
∫
, ta đặt:

( ), .
x

t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế

( )( )
n
k k k
k
f x x
−
=
σ = ξ −
∑
.
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

2
.1. Định nghĩa
.
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ; ]
a b
.
Ta c
hia đoạn
[ ; ]
a b
thành
n
đoạn nhỏ bởi các điểm chia


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m

2)
[ ( ) ( )] ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
± = ±
∫ ∫ ∫3)
( ) 0; ( ) ( )
a b a
a a b
f x dx f x dx f x dx
= = −
∫ ∫ ∫4)
( ) ( ) ( ) , [ ; ]
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx c a b
= + ∈
∫ ∫ ∫5)
( ) 0, [ ; ] ( ) 0
b

í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

6)
( ) ( ), [ ; ] ( ) ( )


9) Nếu
( )
f x
liên tục trên đoạn
[ ; ]
a b
thì
[ ; ] : ( ) ( )( )
b
a
c a b f x dx f c b a
∃ ∈ = −
∫
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í

s
ố
ố
2.2. Công thức Newton – Leibnitz
• Nếu
( )
f x
liên tục trên
[ ; ]
a b
và
( )
F x
là một nguyên hàm

tùy ý của
( )
f x
thì:
( ) ( ) ( ) ( ).
b
b
a
a
f x dx F x F b F a
= = −
∫

Nhận xét


í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s

.

4) Để tính
( )
b
a
f x dx
∫
ta dùng bảng xét dấu của
( )
f x
để
tách
( )
f x
ra thành các hàm trên từng đoạn nhỏ.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t

s
s
ố
ố
VD 2. Tính
0
cos
I x x dx
π
=
∫
.
VD 3.
Tính
1
2 3
1
1.sin
I x x dx
−
= +
∫
.
VD 1.
Tính
3
2
1
2 5
dx

phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 4.
2
8
0
7!! 105
sin .




= =

 −π





∫ ∫
leû
chaün

Trong đó:
0 !! 1 !! 1
= =
;
2 !! 2; 3 !! 3; 4 !! 2 .4
= = =
;
5 !! 1.3 .5; 6 !! 2 .4 .6; 7 !! 1.3.5 .7;
= = =

VD 5. Tính
2
3 2
0
(cos 1)cos

phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§3. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2 1
( ) ( )
b
a
S f x f x dx
 



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à

15
S =
; B.
2
15
S =

C.
4
15
S =
; D.
8
15
S =
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t

s
s
ố
ố
VD 2. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
2
x y
=
và
2
y x
= −
.
VD 3. Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi
các đường
1
x
y e
= −
,
2
3
x
y e
= −
và
0
x
=

p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi

( ). ( ) .
S y t x t dt
β
α
′
=
∫



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í

y =
từ gốc tọa độ
O(0; 0) đến điểm
1
1;
2
M
 







 
.

3.2. Tính độ dài l của đường cong a) Đường cong có phương trình tổng quát
Cho cung

AB
có phương trình
( ), [ ; ]
y f x x a b
= ∈
thì:

t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố


= +
∫VD 6
.
Tính độ dài
c
u
ng
C
có phương trình
:

2
2
1
, 0; 1
ln 1
x t
t
y t t


= +



 
∈

t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n

của vật thể do miền phẳng
S
giới hạn bởi

( ), 0
y f x y
= =
,
x a
=
,
x b
=
quay quanh
Ox
là:
2
[ ( )] .
b
a
V f x dx
= π
∫

ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 15



m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 9. Tính thể tích V do hình phẳng
S giới hạn bởi
2
2 , 0
y x x y
= − =

quay xung quanh
O
y
.

b
) Vật thể quay quanh Oy




Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à


1 1 , 1
1 1 , 1
x y x
x y x

= + − ≥

⇔

= − − <


.

1
1
3
0
0
8 8
4 1 (1 )
3 3
y dy y
π π
= π − = − − =
∫
.

Vậy

í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n


Thể tích V của vật thể do miền phẳng S
giới hạn bởi
( )
y f x
=
,
0
y
=
,
x a
=
và
x b
=
quay xung quanh
Oy

còn được tính theo công thức:
2 ( ) (*).
b
a
V xf x dx
= π
∫



Chương

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
§4. TÍCH PHÂN SUY RỘNG
4.1. Tích phân suy rộng loại 1
4.1.1. Định nghĩa
• Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ; )
a
+∞
, khả tích trên
mọi đoạn
[ ; ] ( )
a b a b
<




Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à

t
ụ

v
à

t
ính

g
i
á

t
r
ị

h
ộ
i

t
ụ

(
t
h
ư
ờ
n

→+∞
−∞
→−∞
=
∫ ∫

• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân
hội tụ
,
ngược lại là
tích phân
phân kỳ
.



Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í

s
ố
ố
• Trường hợp α khác 1:

1
1
1
1
lim lim
1
b
b
b b
dx
I x
x
−α
α
→+∞ →+∞
 


= =





− α



Giải • Trường hợp α = 1:
1
1
lim lim ln
b
b
b b
dx
I x
x
→+∞ →+∞
 


= = = +∞




 
∫
(phân kỳ).
VD 1.
Kh
ả
o sát s
ự
h

p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế

.
Vậy
 Với
1
α >
:
1
1
I =
α −
(hội tụ).
 Với
1
α ≤
:
I
= +∞
(phân kỳ).


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p

n
n
s
s
ố
ố
Chú ý
• Nếu tồn tại
lim ( ) ( )
x
F x F
→+∞
= +∞
, ta dùng công thức:
( ) ( )
a
a
f x dx F x
+∞
+∞
=
∫
.
• Nếu tồn tại
lim ( ) ( )
x
F x F
→−∞
= −∞
, ta dùng công thức:

p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế

Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a tích phân
10
1
x
I e dx
+∞
−
=
∫
.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p

n
n
s
s
ố
ố
b) Tiêu chuẩn 2
• Nếu
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ (
ngược lại
không đúng).
• Các trường hợ
p khác tương tự
.

VD 5.
Xét s
ự
h

í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s

f x dx
+∞
∫
và
( )
a
g x dx
+∞
∫
cùng hội tụ hoặc phân kỳ.
 Nếu
0
k
=
và
( )
a
g x dx
+∞
∫
hội tụ thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
hội tụ.


Chương

m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
 Nếu
( )
a
k
g x dx
+∞


= +∞







• Nếu
( ) ( ) ( )
f x g x x
→ +∞
∼
thì
( )
a
f x dx
+∞
∫
và
( )
a
g x dx
+∞
∫
có cùng tính chất.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 17


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph

bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 7. Xét sự hội tụ của tích phân
1
1 sin
dx
I
x x
+∞
=
+ +
∫
.

VD 8. Điều kiện của
α
để
3
1
. ln 1
dx
I

2 3
x dx
I
x x
+∞
α
+
=
+ −
∫
hội tụ?


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t

4.2.1. Định nghĩa
• Cho hàm số
( )
f x
xác định trên
[ ; )
a b
và không xác định

tại
b
, khả tích trên mọi đoạn
[ ; ] ( 0)
a b
− ε ε >
.
Giới hạn (nếu có) của
( )
b
a
f x dx
−ε
∫
khi
0
ε →
được gọi là
tích phân suy rộng loại 2 của
( )
f x

í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s

).
• Nếu các giới hạn trên tồn tại hữu hạn thì ta nói
tích phân
hội tụ
,
ngược lại là
t
ích

p
h
â
n

phân kỳ
.

VD 10. Khảo sát sự hội tụ của
0
, 0
b
dx
I b
x
α
= >
∫
.
Giải. • Trường hợp α = 1:
0 0 0

é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t

= = =





− α
 
∫ ∫

( )
1
1 1
0
1
, 1
lim
1
1
, 1.
b
b
−α
−α −α
ε→



α <


(phân kỳ).


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é
é
p
p
t
t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à

=
−
∫
.
A.
3
I
π
= −
; B.
3
I
π
=
; C.
6
I
π
=
; D.
I
= +∞
.
VD 12. Tính tích phân
3
2
1
. ln
e
dx

t
í
í
nh
nh
t
t
í
í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n

ớ
i

b

là cận suy rộng).

VD 14. Tích phân suy rộng
1
0
( 1)(2 )
x dx
I
x x x
α
=
+ −
∫

hội tụ khi và chỉ khi:
A.
1
α < −
; B.
1
2
α < −
; C.
1
2

í
ch
ch
phân
phân
h
h
à
à
m
m
m
m
ộ
ộ
t
t
bi
bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố
VD 15. Tích phân suy rộng
1
2

• Cho
1 2
I I I
= +
với
1 2
, ,
I I I
là các tích phân suy rộng
ta có:

1)
1
I
và
2
I
hội tụ
I
⇒
hội tụ.


Chương
Chương
3.
3.
Ph
Ph
é

bi
ế
ế
n
n
s
s
ố
ố

2)
1
2
( )
0
I
I


→ −∞


 ≤


phaân ky
ø
hoặc
1
2



 >


phaân ky
ø
hoặc
1
2
( )
0
I
I


→ +∞


 <


phaân ky
ø thì chưa thể kết luận
I
phân kỳ.
VD 16.


Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§1. KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ CHUỖI SỐ
1.1. Định nghĩa
• Cho dãy số có vô hạn các số hạng
1 2
, , , ,
n
u u uBiểu thức



§1. Khái niệm cơ bản về chuỗi số
§2. Chuỗi số dương
§3. Chuỗi số có dấu tùy ý
……………………………
• Tổng
n
số hạng đầu tiên
1 2

n n
S u u u
= + + +
được gọi là
tổng riêng thứ
n
của chuỗi số.



Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy

=
=
∑
.

Ngược lại, ta nói chuỗi số
phân kỳ
.

VD 1. Xét sự hội tụ của chuỗi nhân
1
1
n
n
aq
∞
−
=
∑
với
0
a
≠
.
Giải
•
1
q
=
:

chuỗi phân kỳ.
Vậy
1
1
n
n
aq
∞
−
=
∑
hội tụ
1
q
⇔ <
.
VD 2.
Xét s
ự
h
ộ
i t
ụ
c
ủ
a chu
ỗ
i s
ố


Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 3. Xét sự hội tụ của chuỗi số
1
1
ln 1
n
n
∞
=
 


+






lim 0
n
n
u
→∞
≠
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ.
VD 5. Xét sự hội tụ của chuỗi số
4
4
1
3 2
n
n
n n
∞
=
+ +
∑
.



.
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 19
1.3. Tính chất
• Nếu
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
hội tụ thì:
1 1 1
( )
n n n n
n n n
u v u v
∞ ∞ ∞
= = =
+ = +
∑ ∑ ∑
.
• Nếu
1
n
n

ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§2. CHUỖI SỐ DƯƠNG
2.1. Định nghĩa
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là chuỗi số dương nếu
0,
n
u n
≥ ∀
.
Khi
0,
n
u n
> ∀

n
u
∞
=
∑
hội tụ.
• Nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ thì
1
n
n
v
∞
=
∑
phân kỳ.


Chương
Chương
4.
4.
Lý

=
∑
bằng cách
so sánh với
1
1
ln 1
n
n
∞
=
 


+





 
∑
.


Chương
Chương
4.
4.
Lý

n
v
>
với
n
đủ lớn và
lim
n
n
n
u
k
v
→∞
=
.
• Nếu
0
k
=
thì
1
n
n
u
∞
=
∑
phân kỳ
1

0
k
< < +∞
thì
1 1
,
n n
n n
u v
∞ ∞
= =
∑ ∑
cùng tính chất.


Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ







 
∑
.
Chú ý
Chuỗi
1
1
n
n
∞
α
=
∑
hội tụ khi
1
α >
và phân kỳ khi
1
α ≤
.
VD 4. Xét sự hội tụ của chuỗi số
5
1
1

2.3. Các tiêu chuẩn hội tụ
2.3.1. Tiêu chuẩn D’Alembert
Cho chuỗi số dương
1
n
n
u
∞
=
∑
và
1
lim
n
n
n
u
D
u
+
→∞
=
.
• Nếu
1
D
<
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1

∑
.


Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
VD 6.
Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
5 ( !)
(2 )!
n
n

C
<
thì chuỗi hội tụ.
• Nếu
1
C
>
thì chuỗi phân kỳ.
• Nếu
1
C
=
thì chưa thể kết luận.

VD 7. Xét sự hội tụ của chuỗi số
2
1
1
2
n
n
∞
=
 







chu
ỗ
ỗ
i
i
2.3.3. Tiêu chuẩn Tích phân Maclaurin – Cauchy
Cho hàm số
( )
f x
liên tục, không âm và giảm trên n
ửa
khoảng
[ ; ),
k k
+∞ ∈
ℕ
. Khi đó:
( ) ( )
n k
k
f n f x dx
+∞
∞
=
⇔
∑
∫
hoäi tuï hoäi tuï.

VD 9. Xét sự hội tụ của chuỗi số

thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
§3. CHUỖI SỐ CÓ DẤU TÙY Ý
VD 1.
1
( 1)
n
n
n
∞
=
−
∑
,
1
1
1
2 1
( 1)
2
n

.
b) Định lý Leibnitz
Nếu dãy
{ }
n n
u
∈
ℕ
giảm nghiêm ngặt và
0
n
u
→
thì chuỗi1
( 1)
n
n
n
u
∞
=
−
∑
hội tụ. Khi đó, ta gọi là chuỗi Leibnitz.


Chương

1
2 1
( 1)
2
n
n
n
n
∞
+
=
+
−
∑
.


Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu

∑
ℝ
được gọi là chuỗi có dấu tùy ý.
•
1
n
n
u
∞
=
∑
được gọi là
hội tụ tuyệt đối
nếu
1
n
n
u
∞
=
∑
hội tụ.
•
1
n
n
u
∞
=
∑

−
∑
là bán hội tụ.


Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
b) Định lý
Nếu
1
n
n
u
∞

n
+
∞
=
− + −
∑
.


Chương
Chương
4.
4.
Lý
Lý
thuy
thuy
ế
ế
t
t
chu
chu
ỗ
ỗ
i
i
………………………………………………………
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com

§1. MA TRẬN
§1. Ma trận
§2. Định thức
§3. Hệ phương trình tuyến tính
§4. Không gian vector

…………………………………………………
1.1. Các định nghĩa
a) Định nghĩa ma trận
•
Ma trận
A
cấp
m n
×
trên
ℝ

là 1 hệ thống gồm
m n
×
số
ij
a
∈
ℝ

( 1, ; 1, )
i m j n
= =





=













 
• Các số
ij
a
được gọi là các phần tử của
A
ở dòng thứ
i

và cột thứ
j
.

s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
• Khi
1
n
=
, ta gọi
11
1

m
a
A
a
 



=
là ma trận gồm 1 phần tử.
• Ma trận
(0 )
ij m n
O
×
=
có
tất cả các phần tử đều bằng 0
được gọi là ma trận không.
• Tập hợp các ma trận
A
được ký hiệu là
,
( )
m n
M
ℝ
, để
cho gọn ta viết là
( )
ij m n
A a
×
=
.


Chương

A
là ma trận vuông cấp
n
.
Ký hiệu là
( )
ij n
A a
=
.
 Đường chéo chứa các phần
tử
11 22
, , ,
nn
a a a
được gọi
là đường chéo chính của
( )
ij n
A a
=
,
đường chéo còn lại được gọi
là đường chéo phụ.
2 3
5 8
7 4
2
4



 


Chương
Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh

n
gồm tất
cả các phần tử trên đường
chéo chính đều bằng 1 được
gọi là ma trận đơn vị cấp
n
.
Ký hiệu là
n
I
.
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
 







=






í
í
nh
nh


Ma trận

ma trận
vuông

cấp
n

có
tất cả
các
phần tử
nằm phía dưới (trên) đường chéo chính đều
bằng
0 được gọi là ma trận tam giác trên (dưới).
1 0 2
0 1 1
0 0 0
A
 
−











−


 
 Ma trận vuông cấp
n
có tất cả
các cặp phần tử đối xứng
nhau qua đường chéo chính
bằng nhau (
ij ji
a a
=
) được
gọi là ma trận đối xứng.
0
0
3
1
2
4
4
1

ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 22
b) Ma trận bằng nhau
Hai ma trận
( )
ij
A a
=






 
và
1 0 1
2 3
B
u
 
−




=





 
.
Ta có:
0; 1; 2; 2; 3
A B x y z u t
= ⇔ = = − = = =
.

a) Phép cộng và trừ
hai ma trậnVD 2.

1 0 2 2 0 2 1 0 4
2 3 4 5 3 1 7 0 3
     
−
  
  
  
  
+ =
  
  
  
− − −
  
  
     
;

1 0 2 2 0 2 3 0 0
2 3 4 5 3 1 3 6 5
     
− −
  
  

×
± = ±



Chương
Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh

 
 
=
 
 
 
− −
 
 
   
.
Chú ý
• Phép nhân vô hướng có tính phân phối đối với phép
cộng ma trận.
• Ma trận
1.
A A
− = −
được gọi là ma trận đối của
A
.
Cho ma trận
( )
ij m n
A a
×
=
và
λ
∈

n
t
t
í
í
nh
nh
c) Phép nhân hai ma trận
Trong đó,
(
)
1
1, ; 1,
n
ik ij jk
j
c a b i m k p
=
= = =
∑
.
VD 4. Thực hiện phép nhân
(
)
1
1 2 3 2
5
 
−


=
, ta có:

( ) .
ik m p
AB c
×
=VD 5.
Th
ự
c hi
ệ
n phép nhân
(
)
1 1 0
1 2
1 0 3
 
−








í
nh
nh
VD 6. Tính
2 0
1 1 1
1 1
2 0 3
1 3
 


 


−







−







ℝ
.


Chương
Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

2 1 0
B
 
− −







= −








−


 
.

Thực hiện phép tính: a)
AB
; b)
BA

   
    
.Chú ý
• Phép nhân ma trận không có tính giao hoán.


Chương
Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t

A I A A A A A
− −
= = =

(lũy thừa ma trận).
VD 9. Cho ma trận
1 1
0 1
A
 
−




=





 
, giá trị của
2010
A
là:
A.
1 2010
0 1
 

 
−







−


 
; D.
1 2010
0 1
 
− −







−


 
.

1 0
B
 




=





 
, giá trị của
2009
2
( )
I B
−
là:
A.
1 0
1 1
 
−












 
; D.
1 0
1 1
 







− −


 
.

VD 11. Cho
( )
ij
A a
=

. Phần tử
25
a
của
2
A
là:
A.
25
0
a
=
; B.
25
40
a
= −
; C.
25
40
a
=
; D.
25
1
a
= −
.



ij m n
A a
×
=
.
Khi đó,
( )
T
ji n m
A a
×
=
được gọi là ma trận
chuyển vị
của
A
(nghĩa là chuyển tất cả các dòng thành cột).
VD 13. Cho
1 4
1 2 3
2 5
4 5 6
3 6
T
A A
 


 


Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
VD 14. Cho
1 1
0 1 2
0 2 ,
1 0 3

 


− −


 
.
a) Tính
( )
T
AB
.
b) Tính
T T
B A
và so sánh kết quả với
( )
T
AB
.
Tính chất

1) (A + B)
T
= A
T
+ B
T
; 2) (λA)

i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

1.3. Phép biến đổi sơ cấp trên dòng của ma trận

(Gauss – Jordan)
Cho ma trận
( )
ij m n
A a
×
=

( 2)

d d
A A
λ
→
′′
→
.
3)
3
( ) :
e
Thay 1 dòng bởi tổng của dòng đó với λ lần
dòng khác,
i i k
d d d
A A
λ
→ +
′′′
→
.
Chú ý
1) Trong thực hành ta thường làm
i i k
d d d
A B
µ λ
→ +
→
.

nh

VD 1
5
.
Dùng PBĐSC trên dòng để đưa ma trận
2 1 1
1 2 3
3 1 2
A
 
−







= −








−


3 3 1
2
3
1 2 3
0 5 7
0 5 7
d d d
d d d
→ −
→ −
 
−







→ −








−





−


 
3 3 2
2 2
1
5
1 2 3
0 1 7 / 5 .
0 0 0
d d d
d d
B
→ −
→
 
−







→ − =


n
n
t
t
í
í
nh
nh
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 24
1.4. Ma trận bậc thang
• Một dòng của ma trận
có tất cả các phần tử đều bằng
0 được gọi là dòng bằng 0 (hay dòng không).
•
Phần tử khác 0 đầu tiên tính từ trái sang của 1
dòng
trong ma trận được gọi là phần tử cơ sở của dòng đó.

•
Ma trận bậc thang là ma trận

khác

không
cấp
m n
×

n
n
t
t
í
í
nh
nh

VD 1
6
.
Các ma trận bậc thang:
1 0 2
0 0 3 ,
0 0 0
 















0 0 1
n
I
 











=






























 
,
1 3 5
0 0 4
2 1 3
 









ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh
1.5. Ma trận khả nghịch
Chú ý
Nếu
B
là ma trận nghịch đảo của
A
thì
B
là duy nhất
và
A
cũng là ma trận nghịch đảo của
B
.

a) Định nghĩa

• Ma trận
( )
n
A M

; ( ) .
n
A A AA I A A
− − − −
= = =



Chương
Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t

=



−


 
là
hai ma trận
nghịch đảo của nhau vì
2
AB BA I
= =
.
Chú ý
1) Nếu ma trận
A
có 1 dòng (hay cột) bằng 0 thì
không khả nghịch.
2)
1 1 1
( )
AB B A
− − −
=
. 3) Nếu
0
ac bd
− ≠

2 5
1 3
A
 




=





 
,
2 1
3 2
B
 




=






ế
ế
n
n
t
t
í
í
nh
nh

b) Tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi

sơ cấp trên dòng (tham khảo)
Cho
( )
n
A M
∈
ℝ
khả nghịch, ta tìm
1
A
−
như sau:
Bước 1. Lập ma trận
(
)
n
A I

VD 19. Tìm nghịch đảo của
1 1 0 1
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
A
 
−







−




=










í
í
nh
nh
Giải. Ta có:
(
)
4
1 1 0 1 1 0 0 0
0 1 1 0 0 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
A I
 
−







−




=










− −




→




−










 
4

í
í
nh
nh
ĐH Công nghiệp Tp.HCM
dvntailieu.wordpress.com
Friday, November 26, 2010
Toán cao cấp A1 Cao đẳng 25
§2. ĐỊNH THỨC
2.1. Định nghĩa
a) Ma trận con cấp k
Cho
(
)
( )
ij n
n
A a M
= ∈
ℝ
.
•

M
a trận vuông
cấp
k
đ
ược
lập từ các phần tử nằm

A
ứng với phần tử
ij
a
.


Chương
Chương
5.
5.
Đ
Đ
ạ
ạ
i
i
s
s
ố
ố
tuy
tuy
ế
ế
n
n
t
t
í

với các phần tử
ij
a
là:

11
5 6
8 9
M
 




=





 
,
12
4 6
7 9
M
 




 




=





 
,
22
1 3
7 9
M
 




=





 
,



 
,
32
1 3
4 6
M
 




=





 
,
33
1 2
4 5
M
 





t
t
í
í
nh
nh

b) Định thức

(
Determinant
)

Định thức của ma trận vuông
( )
n
A M
∈
ℝ
,
ký hiệu
det
A
hay
A
, là 1 số thực được định nghĩa:
 Nếu
11
( )
A a

.
 Nếu
( )
ij n
A a
=
(cấp
3
n
≥
) thì:
11 11 12 12 1 1
det
n n
A a A a A a A
= + + +

trong đó,
( 1) det
i j
ij ij
A M
+
= −
và số thực
ij
A
được
gọi là phần bù đại số của phần tử
ij

11 12 13 11 12
21 22 23 21 22
31 32 33 31 32
a a a a a
a a a a a
a a a a a
(Tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét liền trừ
đi tổng của tích các phần tử trên đường chéo nét đứt).

2) Tính
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
.
Chú ý

1)
det 1, det 0
n n
I O
= =
.
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a


VD 2
.
Tính định thức của các ma trận sau:
3 2
1 4
A
 
−




=





 
,
1 2 1
3 2 1
2 1 1
B
 
−









−




=













 
.


Chương
Chương

n
A a M
= ∈
ℝ
, ta có các
tính chất cơ bản sau:
VD 4.
1 3 2 1 2 1
2 2 1 3 2 1 12
1 1 1 2 1 1
−
− = − = −
−
.
a)
Tính chất
1

(
)
det det .
T
A A
=



Chương
Chương
5.