10/13/2012
1
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
§1. Phương trình vi phân cấp 1
§2. Phương trình vi phân cấp 2
……………………………

§1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I
1.1. Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1
• Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng
tổng quát
(,,)0
Fxyy


(*). Nếu từ (*) ta
giải được
theo
y

thì (*) trở thành
(,)
yfxy



trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 1. Cho phương trình vi phân
0
yx


(*).
Xét hàm số
2
2
x
yC

, ta có:
0
yx


thỏa phương trình (*).
Suy ra
2
2
x
yC

là nghiệm tổng quát của (*).
Thế
2,1

Phương pháp giải
Lấy tích phân hai vế của (1) ta được nghiệm tổng quát:

()().
fxdxgydyC



Giải. Ta có:
2222
0
1111
xdxydyxdxydy
C
xyxy




1.2. Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản
1.2.1. Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly
Ø Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng:
()()0 (1).
fxdxgydy


VD 2. Giải phương trình vi phân
22
0
11

22
1
ln(1)(1)ln
xyC




.
Vậy
22
(1)(1)
xyC

.
Giải.
(2)(2)
dy
yxyyxyy
dx



(2)
dy
xdx
yy

vi vi
phânphân

2
2
ln.
22
x
yy
xCCe
yy


.
Giải.
2
3
1
0
1
1
xy
ptdxdy
y
x






3
xyyC


3
6
1
ln33
(1)
x
Cy
y



363
1(1).
y
xCye


VD 4. Giải ptvp
23
(1)(1)(1)0
xydxxydy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.



11
lnlnlnln
yy
xCCx
yy



1
yCxy

(*).
Thay
1
1,
2
xy

vào (*) ta được
1
yxy

.
VD 5. Giải ptvp
2

43
(,)
5
xxy
fxy
xy



là đẳng cấp bậc 1,
2
(,)32
fxyxxy

là đẳng cấp bậc 2.
1.2.2. Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1

a) Hàm đẳng cấp hai biến số
• Hàm hai biến
(,)
fxy
được gọi là đẳng cấp bậc
n
nếu
với mọi
0
k

thì
(,)(,)

(2)
y
y
x











.
Bước
2
.
Đặt
y
uyuxu
x

 .
Bước
3
.

(2)()

yy
xyy
x












 .
Đặt
y
uyuxu
x

 .

2
11
uuduu
ptuxux
udxu



PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
ln(1)1.
y
x
y
uxuCxCe
x











.
Vậy
.
y
x
yxCe


.





VD 7. Giải phương trình vi phân
xy
y
xy





với điều kiện đầu
(1)0
y

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

2
1
ln(1)ln
2

xe
x


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
• Nghiệm tổng quát của (3) là
(,)
uxyC

.
N
hận xét
//
(,)(,),(,)(,)
xy
uxyPxyuxyQxy

.
1.2.3. Phương trình vi phân toàn phần
• Cho hai hàm số
(,),(,)
PxyQxy
và các đạo hàm riêng

ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Bước
2. Lấy tích phân (3a) theo biến
x
ta được:

(,)(,)(,)()
uxyPxydxxyCy


(3c).
Trong đó,
()
Cy
là hàm theo biến
y
.
Phương pháp giải

Bước
1
.
Từ (3) ta có
/
x

(,)
uxy
.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải
1)
2/
2/
32262
6326
y
x
PyxyxPyx
QxxyQxy











1) Chứng tỏ (*) là phương trình vi phân toàn phần.
2
)
Giải p
hương trình
(*).

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

2
()(322)
auyxyxdx

222
3()
xyxyxCy
/2
6()













VD 9. Giải ptvp
(1)()0
y
xydxexdy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
2
()(1)()
2
x
auxydxxyxCy

ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Phương pháp giải
(phương pháp biến thiên hằng số Lagrange)

Bước
1
.
Tìm biểu thức
()
()
pxdx
Axe



.
Bước
2
.
Tìm biểu thức
()
()().
pxdx
Bxqxedx



ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Chú ý
• Khi tính các tích phân trên, ta chọn hằng số là 0.
• Phương pháp biến thiên hằng số là đi tìm nghiệm
tổng quát của (4) dưới dạng:
()
().
pxdx
yCxe




Nhận xét
.

()
()
()()
()
pxdx
qx
Bxqxedxdx

Cx
y
x

; D.
()
Cx
y
x

.
10/13/2012
4
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải.
2
()
2
()
()()
dx
pxdx
x
Cx

Bxqxedx




3
3
x
yCe

là nghiệm tổng quát của phương trình.
VD 11. Giải phương trình vi phân
2
0
yxy



thỏa điều kiện
9
3
x
ye


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương

sin
().
xdx
x
Bxeedxx




.
Vậy
sin
()
x
yexC


.
VD 12. Giải phương trình
sin
cos
x
yyxe



.
ØØ
ChươngChương
8. 8.

y

:
(5)()()
yy
pxqx
yy


1
()()
yypxyqx



.
1.2.5. Phương trình vi phân Bernoulli
• Phương trình vi phân Bernoulli có dạng:
()() (5).
ypxyqxy




ØØ
ChươngChương
8. 8.

yxyyyyx
xx



.
Đặt
12
zyzyy



, ta được:
11

ptzzxzzx
xx


.
VD 13. Giải phương trình vi phân
2
y
yxy
x


với điều kiện đầu
1,1
xy

Giải.
34433
22
yxyxyyyxyx



.
Đặt
34
3
zyzyy



.
33
1
263
3
ptzxzxzxzx

 .
VD 14. Giải phương trình vi phân
34
2
yxyxy


.


22
23232
11
3(3)(31)
66
xx
xedxex


.

Vậy
22
332
3
11
(31)
6
xx
eexC
y








.
§2. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP II
2.1. Các dạng phương trình vi phân cấp 2 cơ bản
2.1.1. Phương trình khuyết y và y’
• Phương trình vi phân khuyết
y
và
y

có dạng:
() (1).
yfx

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải.
3
22
1
3



với
73
(0), (0)
42
yy


.
Giải.
22
1
1
2
xx
yeyeC

 (a).
Thay
3
0,(0)
2
xy


vào (
a
) ta được
1

vào (
b
) ta được
2
2
C

.
Vậy phương trình có nghiệm riêng
2
1
2
4
x
yex

.
Phương pháp giải

• Đặt
zy


đưa (2) về phương trình tuyến tính cấp 1.
VD 3. Giải phương trình vi phân
y
yx
x




.
1
()
dx
x
Axe
x



,
3
1
()
3
dx
x
Bxxedxx



.
Suy ra
32
1
1
111
33
C




với điều kiện
(2)1,(2)1
yy


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Giải. Đặt
zy


ta có:
1
(1)
1
ptzzxx
x



.

yxxC











.
32
11
(2)133
22
yyxxx


ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân

432
2

ta có:
.
dzdzdydz
yzz
dxdydxdy

.
Khi đó, (3)

trở thành
pt
vp với
biến số phân ly.

VD 5. Giải phương trình vi phân


2
21
yyy


.
Giải. Đặt
zy



dz
yz



2
2
2
(1)
ln(1)ln
1
dz dy
zCy
y
z


2
1
zCy

(
*
).
Đạo hàm hai vế (*) theo
x
:
112
2
zzCyyCyCxC

Giải. Đặt
zy



dz
yz
dy

 .

2(12)0
dz
ptzzy
dy
2
2(21)22
dzydyzyyC

(
a
).
Thay
1
0,0,
2
xyy

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Thay
0,0
xy

vào (b)
1
C

.

Vậy phương trình có nghiệm
(1)(21)10
xy

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Ø Trường hợp 1

2.2. Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính
với hệ số hằng
2.2.1. Phương trình thuần nhất
• Phương trình thuần nhất có dạng:


1212
0, , (4).
yayayaa


¡

ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Ø
Trường hợp
2
Phương trình (5) có nghiệm kép thực
k
.
Khi đó, (4) có hai nghiệm riêng
12
,
kxkx

yeCxCx



10/13/2012
7
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 7. Giải phương trình vi phân
230
yyy


.
Giải. Phương trình đặc trưng:
2
12
2301,3
kkkk

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
3
12
,

trìnhtrình
vi vi
phânphân
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
33
12
,
xx
yeyxe

và nghiệm tổng quát là
33
12
xx
yCeCxe

.
VD 9. Giải phương trình vi phân
160
yy


.
Giải. Phương trình đặc trưng:
222
1,2
160164
kkiki



2
270
kk

có:
2
1,2
6616
iki

1,6

.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm riêng:
12
cos6,sin6
xx
yexyex



và nghiệm tổng quát:


12
cos6sin6
x

22
 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm tổng quát:
2
12
33
cossin
22
x
yeCxCx












.
VD 11. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:
0
yyy


.
ØØ




a)

Phương pháp giải tổng quát

• Nếu (4) có hai nghiệm riêng
12
(), ()
yxyx
thì (6) có
nghiệm tổng quát là
1122
()()()().
yCxyxCxyx


2.2.2. Phương trình không thuần nhất

• Phương trình không thuần nhất có dạng:


1
12
2
()
, , (6).
a
yayayfx

kki


12
cos,sin
yxyx

là 2 nghiệm riêng của (
b
).
Nghiệm tổng quát của (
a
) có dạng:
12
().cos().sin
yCxxCxx

.
Ta có hệ Wronsky:
12
12
cos.()sin.()0
1
sin.()cos.()
cos
xCxxCx
xCxxCx
x
















1
2
sin
()
cos
()1
x
Cx
x
Cx








yxCxxCx

.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 13. Cho phương trình vi phân:
2
22(2)
x
yyyxe


(*).
1) Chứng tỏ (*) có 1 nghiệm riêng là
2
x
yxe

.
2
) Tìm nghiệm tổng quát của
(*).b)

2
(2)(*)
x
xeVP

đpcm.
2) Xét phương trình thuần nhất
220
yyy



(**)
:
2
1,2
2201
kkki

.
Suy ra (**) có nghiệm tổng quát:

12
(cossin)
x
yeCxCx

.
Vậy (*) có nghiệm tổng quát là:
2

2
12
00,1
kkkk


0
yy


có nghiệm tổng quát
12
x
yCCe


.
Vậy nghiệm tổng quát cần tìm là:
12
cos2
x
yCCex


.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình

122
()
yayayfx


thì
nghiệm riêng của (7
)
là:12
()().
yyxyx


ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 15. Tìm nghiệm tổng quát của
2
2cos
yyx



.
Suy ra (*) có nghiệm riêng là:
21
cos2sin2
1010
yxxx
.
10/13/2012
9
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Mặt khác, phương trình thuần nhất
0
yy



có nghiệm tổng quát là
12
x
yCCe

.



và
12
0(4).
yayay



• Trường hợp 1: f(x) có dạng e
αx
P
n
(x)
(
()
n
Px
là đa thức bậc
n
).

Bước 1.
Nghiệm riêng của (6) có dạng:

()
mx
n
yxeQx



.
2) Nếu


là nghiệm đơn
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
1
m

.
3) Nếu


là nghiệm kép
của phương trình đặc trưng
của (4) thì
2
m

.
Bước 3. Thế
.()
mx
n
yxeQx


vào (6) và đồng nhất thức


.
Suy ra nghiệm riêng có dạng:
32
()
mx
yxeAxBxC

.
Do
3


là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng
2
230
kk

nên
1
m

.
Suy ra nghiệm riêng có dạng
32
()
x
yxeAxBxC

.








.
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
VD 1
7
.
Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình vi phân:

22
xx
yyyxee



.
Giải. Xét phương trình
2
x

kk

nên
0
m


1
()
x
yeAxB

.
10/13/2012
10
ØØ
ChươngChương
8. 8.
PhươngPhương
trìnhtrình
vi vi
phânphân
Xét phương trình
22
x
yyye



(2).

m


2
2
x
yCxe


.
Áp dụng nguyên lý chồng nghiệm, suy ra nghiệm riêng
của phương trình đã cho có dạng:
2
12
()
xx
yyyeAxBCxe


.