Bài tập chương 1
Bài 1.1. Cho A =

2 1 −1
0 1 −4

, B =

−2 1 0
−3 2 2

. Tính 3A ± 2B; A

A; A A

.
Bài 1.2. Tìm x, y, z và w biết rằng
3

x y
z w

=

x 6
−1 2w

+

4 x + y
z + w 3


6
−2
7
4




;
Bài 1.4. Tính AB − BA nếu
a) A =

1 2
4 −1

, B =

2 −3
−4 1

;
b) A =


1 1 1
0 1 1
0 0 1



Bài 1.6. Cho A =


0 1 0
0 0 1
0 0 0


, tính A
2
và A
3
.
Bài 1.7. Tìm tất cả các ma trận cấp 2 giao hoán với
A =

1 2
0 1

.
Bài 1.8. Tìm tất cả các ma trận cấp 3 giao hoán với
A =


1 0 1
0 1 −2
0 0 2


.

2
− 3x + 4.
d) A =


1 −1 0
0 1 −1
−1 0 1


; f(x) = x
2
+ 4x − 5.
Bài 1.10. Tính A
k
, k ∈ N biết rằng:
a) A =

2 −1
3 −2

; b) A =

1 α
0 1

;
2
c) A =


n
(K) có tất cả các phần tử đều bằng α (α ∈ K). Hãy tính
A
k
, k ∈ N.
Bài 1.12. Xác định hạng của các ma trận sau:
a)


3 5 7
1 2 3
1 3 5


; b)


1 1 3
2 1 4
1 2 5


;
c)


1 1 −3
−1 0 2
−3 5 0




1 −1 5 −1
1 1 −2 3
3 −1 8 1
1 3 −9 7




; h)




1 3 −2 −1
2 5 −2 1
1 1 6 13
−2 −6 8 10




.
Bài 1.13. Tìm và biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m, n ∈ K:
a)


1 1 −3
2 1 m

m 0 0 n
n m 0 0
0 n m 0
0 0 n m




.
Bài 1.14. Dùng Thuật toán Gauss hoặc Gauss-Jordan, giải các hệ phương trình
sau:
3
a)



2x
1
+ x
2
− 2x
3
= 10;
3x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
= 1;

3
= 14.
c)



x
1
+ 2x
2
− x
3
= 3;
2x
1
+ 5x
2
− 4x
3
= 5;
3x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
= 12.
d)



− 2x
3
= 8;
3x
1
+ 2x
2
− 4x
3
= 15;
5x
1
+ 4x
2
− x
3
= 1.
f)



x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 1;
2x
1

5x
1
+ 3x
2
− 4x
3
= 2.
h)



2x
1
− 5x
2
+ 3x
3
+ 2x
4
= 4;
3x
1
− 7x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 9;
5x

5x
1
+ 12x
2
− 7x
3
+ 6x
4
= 7.
j)







x
1
+ x
2
= 7;
x
2
− x
3
+ x
4
= 5;
x

+ 3x
3
= 14;
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 10;
x
1
+ x
2
+ x
3
= 6;
2x
1
+ 3x
2
− x
3
= 5;
x
1
+ x
2
= 3.
Bài 1.15. Giải các hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau:

1
+ x
2
− 2x
3
+ 3x
4
= 0;
2x
1
+ 3x
2
+ 3x
3
− x
4
= 0;
5x
1
+ 7x
2
+ 4x
3
+ x
4
= 0.
c)




1
− 2x
2
− 5x
3
+ x
4
= 0;
2x
1
− 3x
2
+ x
3
+ 5x
4
= 0;
x
1
+ 2x
2
− 4x
4
= 0;
x
1
− x
2
− 4x
3

3
+ 3x
4
= 0;
2x
1
− 3x
2
− 2x
3
= 0.
f)







x
1
+ 3x
2
− 2x
3
+ x
4
= 0;
x
1




6x
1
− 5x
2
+ 7x
3
+ 8x
4
= 0;
6x
1
+ 11x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 0;
6x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 0;

4x
1
+ x
3
+ x
4
= 0;
x
1
+ x
2
+ 5x
4
= 0.
Bài 1.16. Giải các phương trình sau:
a)







x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
− 2x








x
1
− x
2
+ 2x
3
− 3x
4
= 1;
x
1
+ 4x
2
− x
3
− 2x
4
= −2;
x
1
− 4x
2
+ 3x

3x
1
− 7x
2
+ 3x
3
− x
4
= −1;
5x
1
− 9x
2
+ 6x
3
+ 2x
4
= 7;
4x
1
− 6x
2
+ 3x
3
− x
4
= 8,
d)



2
+ 5x
3
− 5x
4
+ 7x
5
= 1;
2x
1
− 14x
2
+ 7x
3
− 7x
4
+ 11x
5
= −1.
Bài 1.17. Giải và biện luận các hệ phương trình sau theo các tham số m ∈ R:
a)



x
1
− 2x
2
+ x
3

1
+ 4x
2
+ 4x
3
− 17x
4
= 11m + 7;
2x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
− 12x
4
= 8m + 5;
5x
1
+ 6x
2
+ 8x
3
− 27x
4
= 18m + 10;
3x
1
+ 5x
2

= 2;
5x
1
+ 10x
2
− 17x
3
+ 23x
4
= 1;
3x
1
+ 6x
2
− 10x
3
+ mx
4
= 13 − m,
6
d)







x
1

= m + 1;
2x
1
− 5x
2
+ x
3
− 2x
4
+ 2x
5
= m − 1.
Bài 1.18. Cho hệ phương trình



x
1
+ x
2
− x
3
= 1;
2x
1
+ 3x
2
+ kx
3
= 3;

1
+ x
2
+ kx
3
= 1.
Xác định trị số k ∈ K sao cho:
a) hệ có một nghiệm duy nhất;
b) hệ không có nghiệm;
c) hệ có vô số nghiệm.
Bài 1.20. Cho hệ phương trình







5x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 4x
4
= 3;
4x
1
− 2x







3x
1
+ 2x
2
+ 5x
3
+ 4x
4
= 3;
2x
1
+ 3x
2
+ 6x
3
+ 8x
4
= 5;
x
1
− 6x
2
− 9x
3

;
c) B =


1 −2 2
2 −3 6
1 1 7


; d) A =


1 2 −4
−1 −1 5
2 7 −3


;
e) B =


1 3 −4
1 5 −1
3 13 −6


; f) A =


2 5 7

; j) A =


3 1 0
−1 −1 2
1 1 1


;
k) A =




0 0 1 −1
0 3 1 4
2 7 6 −1
1 2 2 −1




; l) A =




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 0 0



;
8
o) A =




1 1 1 −3
0 1 0 0
1 1 2 −3
2 2 4 −5




; p) A =

sin α cos α
− cos α sin α

.
Bài 1.23. Cho A =

1 1
0 1

, B =


. Tính A
n
và B theo A; I
2
và
n.
Bài 1.25. Giải các phương trình ma trận
a)

1 2
3 4

X =

3 5
5 9

;
b) X

3 −2
5 −4

=

−1 2
−5 6

;
c)


;
e)


1 2 −2
3 2 −4
2 −1 0


X =


7 3 0
6 8 4
1 0 5


;
f) X


13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5


=




.
Bài 1.26. Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp ma trận nghịch đảo:
a)



x
1
+ x
2
− 3x
3
= −2;
x
1
+ 2x
2
− 3x
3
= 6;
2x
1
+ 4x
2
− 5x
3
= −6.
b)


3
− x
4
= −1.
c)







x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= −1;
x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
= 1;