Bài tập toán cao cấp
Tập 1 Nguyễn Thủy ThanhNXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 276 Tr.Từ khoá: Số phức, Đa thức và hàm hữu tỷ, Ma Trận, Định thức, Hệ phương trình
tuyến tính, Không gian Euclide, Dạng toàn phương.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
NGUY
ˆ
E
˜
N THUY
’
THANH
B

`
AXU
ˆ
A
´
TBA
’
NDA
.
IHO
.
CQU
ˆ
O
´
C GIA H
`
AN
ˆ
O
.
I
H`a Nˆo
.
i – 2006
Mu
.
clu
.
c

´
ph´u
.
c................. 8
1.3 Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod
un v`a acgumen . . . . . . . . 13
1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.

-
ath´u
.
c trˆen tru
.
`o
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c R ......... 46
2.2 Phˆan th´u
.
ch˜u
.
uty
’
..................... 55
3 Ma trˆa
.
n. D
-
i
.
nh th´u
.
c66
3.1 Ma trˆa

c ......................... 85
3.2.1 Nghi
.
ch thˆe
´
..................... 85
3.2.2 D
-
i
.
nh th´u
.
c..................... 85
3.2.3 T´ınh chˆa
´
tcu
’
ad
i
.
nh th´u
.
c............. 88
2MU
.
CLU
.
C
3.2.4 Phu
.

n ......109
3.4 Ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o.................... 118
3.4.1 D
-
i
.
nhngh˜ıa .................... 118
3.4.2 Phu
.
o
.
ng ph´ap t`ım ma trˆa
.
n nghi
.
ch d
a
’
o .....119
4Hˆe
.
phu
.

o
.
ng ph´ap Cramer . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.3 Phu
.
o
.
ng ph´ap Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 Hˆe
.
t`uy ´y c´ac phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh . . . . . . . . . . 143
4.3 Hˆe
.
phu
.
o
.
ng tr`ınh tuyˆe
´
n t´ınh thuˆa
`
n nhˆa
´
t......... 165

.D
-
ˆo
’
ico
.
so
.
’
..................... 188
5.3 Khˆong gian vecto
.
Euclid. Co
.
so
.
’
tru
.
.
cchuˆa
’
n ......201
5.4 Ph´ep biˆe
´
nd
ˆo
’
i tuyˆe
´

nhˆa
.
nda
.
ng du
.
`o
.
ng
v`a m˘a
.
tbˆa
.
c hai 236
6.1 Da
.
ng to`an phu
.
o
.
ng ....................236
6.1.1 Phu
.
o
.
ng ph´ap Lagrange . . . . . . . . . . . . . . 237
6.1.2 Phu
.
o
.

’
ad
u
.
`o
.
ng bˆa
.
c hai v`a m˘a
.
t
bˆa
.
c hai vˆe
`
da
.
ng ch´ınh t˘a
´
c ................263
L`o
.
i n´oi d
ˆa
`
u
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p to´an cao cˆa
´

.
iv`ad˜a d u
.
o
.
.
cD
a
.
iho
.
c Quˆo
´
c gia H`a Nˆo
.
i thˆong
qua v`a ban h`anh.
Mu
.
cd
´ıch cu
’
a gi´ao tr`ınh l`a gi´up d˜o
.
sinh viˆen c´ac ng`anh Khoa ho
.
c
Tu
.
.

nh to`an bˆo
.
cˆa
´
utr´uc cu
’
a gi´ao tr`ınh. Trong
mˆo
˜
imu
.
c, d
ˆa
`
u tiˆen ch´ung tˆoi tr`ınh b`ay t´om t˘a
´
tnh˜u
.
ng co
.
so
.
’
l´y thuyˆe
´
t
v`a liˆe
.
tkˆenh˜u
.

.
ndu
.
ng c´ac kiˆe
´
nth´u
.
cl´y thuyˆe
´
td
˜a tr`ınh b`ay. Sau c`ung, l`a phˆa
`
n B`ai
tˆa
.
p.O
.
’
d
ˆay, c´ac b`ai tˆa
.
pdu
.
o
.
.
cgˆo
.
p th`anh t`u
.

˜
i nh´om dˆe
`
u
c´o nh˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
phu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i. Ch´ung tˆoi hy vo
.
ng r˘a
`
ng viˆe
.
c
l`am quen v´o
.
il`o
.
i gia

ba
’
n.
Gi´ao tr`ınh B`ai tˆa
.
p n`ay c´o thˆe
’
su
.
’
du
.
ng du
.
´o
.
isu
.
.
hu
.
´o
.
ng dˆa
˜
ncu
’
a
gi´ao viˆen ho˘a
.

˜a c´o phˆa
`
n C´ac v´ı du
.
tr`ınh b`ay nh˜u
.
ng chı
’
dˆa
˜
nvˆe
`
m˘a
.
tphu
.
o
.
ng ph´ap gia
’
i to´an.
T´ac gia
’
gi´ao tr`ınh chˆan th`anh ca
’
mo
.
n c´ac thˆa
`
y gi´ao: TS. Lˆe D

`
cˆa
´
utr´uc v`a nˆo
.
i dung v`a d˜a g´op ´y cho t´ac
gia
’
vˆe
`
nh˜u
.
ng thiˆe
´
u s´ot cu
’
aba
’
n tha
’
o gi´ao tr`ınh.
M´o
.
i xuˆa
´
tba
’
nlˆa
`
nd

´
n s´ach d
ˆe
’
gi´ao tr`ınh ng`ay du
.
o
.
.
c ho`an thiˆe
.
nho
.
n.
H`a Nˆo
.
i, M`ua thu 2004
T´ac gia
’
Chu
.
o
.
ng 1
Sˆo
´
ph´u
.
c
1.1 D

1.4 Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac . 23
1.1 D
-
i
.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c
Mˆo

.
pho
.
.
p c´ac c˘a
.
pd
´o quan hˆe
.
b˘a
`
ng nhau, ph´ep cˆo
.
ng v`a
ph´ep nhˆan d
u
.
o
.
.
cd
u
.
a v`ao theo c´ac d
i
.
nh ngh˜ıa sau dˆay:
(I) Quan hˆe
.
b˘a

.
nh ngh˜ıa sˆo
´
ph´u
.
c 7
(a
1
,b
1
)+(a
2
,b
2
)
def
=(a
1
+ a
2
,b
1
+ b
2
).
1
(III) Ph´ep nhˆan
(a
1
,b

´
ph´u
.
cd
u
.
o
.
.
ck´yhiˆe
.
ul`aC. Ph´ep cˆo
.
ng (II) v`a ph´ep nhˆan
(III) trong C c´o t´ınh chˆa
´
t giao ho´an, kˆe
´
tho
.
.
p, liˆen hˆe
.
v´o
.
i nhau bo
.
’
i
luˆa

.
p th`anh mˆo
.
t tru
.
`o
.
ng (go
.
i l`a tru
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c) v´o
.
i phˆa
`
n
tu
.
’
khˆong l`a c˘a
.
p (0; 0) v`a phˆa
`
ntu

pda
.
ng d
˘a
.
cbiˆe
.
t(a, 0), ∀ a ∈ R theo (II) v`a (III) ta
c´o
(a, 0) + (b, 0)=(a + b, 0),
(a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
T`u
.
d
´ovˆe
`
m˘a
.
tda
.
isˆo
´
c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a, 0), a ∈ R khˆong c´o g`ı kh´ac biˆe
.
t
v´o

`
ng nhˆa
´
t c´ac c˘a
.
pda
.
ng (a; 0) v´o
.
isˆo
´
thu
.
.
c a:
(a;0)≡ a ∀ a ∈ R.
D
˘a
.
cbiˆe
.
t l`a (0; 0) ≡ 0; (1; 0) ≡ 1.
D
ˆo
´
iv´o
.
isˆo
´
ph´u

`
n
a
’
ov`ak´yhiˆe
.
ul`ab =Imz.
2
+
Sˆo
´
ph´u
.
c
z =(a,−b)go
.
il`asˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
pv´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z

’
asˆo
´
ph´u
.
c
Mo
.
isˆo
´
ph´u
.
c z =(a; b) ∈ C d
ˆe
`
u c´o thˆe
’
viˆe
´
tdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib. (1.1)
Thˆa
.
tvˆa

.
c liˆen ho
.
.
p ta c´o
z = a − ib.
Du
.
´o
.
ida
.
ng d
a
.
isˆo
´
c´ac ph´ep t´ınh trˆen tˆa
.
pho
.
.
psˆo
´
ph´u
.
cd
u
.
o

.
ng: z
1
± z
2
=(a
1
± a
2
)+i(b
1
± b
2
).
(II) Ph´ep nhˆan: z
1
z
2
=(a
1
a
2
− b
1
b
2
)+i(a
1
b
2

− a
2
b
1
a
2
1
+ b
2
1
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. 1
+
T´ınh i
n
.T`u
.
d
´och´u
.
ng minh r˘a
`


1+i
√
2

n
+

1 − i
√
2

n
=0.
Gia
’
i. 1
+
Ta c´o i
0
=1,i
1
= i, i
2
= −1, i
3
= −i, i
4
=1,i
5

=(i
4
)
k
i
r
= i
r
1.2. Da
.
ng d a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 9
(v`ı i
4
= i). T`u
.
d
´o, theo kˆe
´
t qua
’

T`u
.
(1.2) dˆe
˜
d`ang suy ra a) v`a b).
2
+
a) T`u
.
hˆe
.
th´u
.
c(1+i)
n
=(1− i)
n
suy ra

1+i
1 − i

n
=1.
Nhu
.
ng
1+i
1 − i
= i nˆen

`
ng

1+i
1 − i

n
= −1
v`a do d
´o i
n
= −1 ⇒ n =4k +2, k ∈ Z. 
V´ı d u
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u n l`a bˆo
.
icu
’
a3th`ı

−1+i
√
3
2

n
= −1.
Gia
’
i. 1
+
Nˆe
´
u n =3m th`ı
S =

−1+i
√
3
2

3

m
+

−1 − i
√
3
2

3

m
=

ph´u
.
c
2
+
Nˆe
´
u n =3m +1th`ı
S =

−1+i
√
3
2

3

m

−1+i
√
3
2

+

−1 − i
√
3
2

u n =3m +2tac˜ung c´o S = −1. 
V´ı d u
.
3. T´ınh biˆe
’
uth´u
.
c
σ =

1+
1+i
2

1+

1+i
2

2

1+

1+i
2

2
2

···

n

2
1 −
1+i
2
=
1 −

1+i
2

2
n+1
1 −
1+i
2
·
Ta cˆa
`
n t´ınh

1+i
2

2
n+1
=

1+i

1
2
2
n
1 −
1+i
2
=
2

1 −
1
2
2
n

1 − i
×
1+i
1+i
=

1 −
1
2
2
n

(1 + i) 
V´ı d u

nt`ımsˆo
´
ph´u
.
c w sao cho w
2
=4− 3i.
Nˆe
´
u w = a + bi, a, b ∈ R th`ı
4 − 3i =(a + bi)
2
= a
2
− b
2
+2abi.
1.2. Da
.
ng d a
.
isˆo
´
cu
’
asˆo
´
ph´u
.
c 11

u
1
=
8+
√
100
4
=
8+10
4
=
18
4
=
9
2
,
u
2
=
8 −
√
100
4
=
8 − 10
4
= −
1
2

√
2
−
1
√
2
i


V´ı d u
.
5. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
c
z =
√
5+12i −
√
5 − 12i
√
5+12i +
√
5 − 12i
v´o

ng ph´ap gia
’
i trong v´ıdu
.
4 ta c´o
√
5+12i = x + iy ⇒ 5+12i = x
2
− y
2
− 2xyi
⇐⇒



x
2
− y
2
=5,
2xy =12.
12 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c

.
o
.
.
c
√
5 − 12i = −3+2i.Nhu
.
vˆa
.
y
z =
−3 − 2i − (−3+2i)
−3 − 2i +(−3+2i)
=
2
3
i 
V´ı d u
.
6. Gia
’
su
.
’
z = a + ib, z = ±1. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng w =

+ b
2
+ i
2b
(a +1)
2
+ b
2
·
T`u
.
d
´o suy r˘a
`
ng w thuˆa
`
na
’
o khi v`a chı
’
khi
a
2
+ b
2
− 1
(a +1)
2
+ b
2

(2 − i)
2
− (2 + i)
2
· (DS. −
11
4
i)
3.
(3 − 4i)(2 − i)
2+i
−
(3+4i)(2 + i)
2 − i
· (D
S. −
14
5
)
4.

1+
1 − i
√
2

1+

1 − i
√

˜
n.
´
Ap du
.
ng c´ach gia
’
iv´ıdu
.
3.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng
a)
z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
;b)z
1
z
2
= z
1

.
thu
.
.
c n`ao cu
’
a x v`a y th`ı c´ac c˘a
.
psˆo
´
sau d
ˆay l`a c´ac c˘a
.
p
sˆo
´
ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p:
1) y
2
− 2y + xy − x + y +(x + y)i v`a −y
2
+2y +11− 4i;
2) x + y
2
+1+4i v`a ixy

ph´u
.
c liˆen ho
.
.
p khi v`a chı
’
khi z
1
+ z
2
v`a z
1
z
2
l`a nh˜u
.
ng sˆo
´
thu
.
.
c.
8. T´ınh:
1)
√
−5 − 12i.(DS. ±(2 − 3i))
2)
√
24 + 10i.(DS. ±(5 + i))

+ C
8
8
= 16;
2) 1 − C
2
9
+ C
4
9
− C
6
9
+ C
8
9
= 16;
3) C
1
9
− C
3
9
+ C
5
9
− C
7
9
+ C

udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆodun v`a acgu-
men
Mˆo
˜
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
d
˘a
.
ttu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
id
iˆe
’
m M(a; b)cu
’

u
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib. Ph´ep tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pl`a
d
o

ng to
.
ad
ˆo
.
.M˘a
.
t ph˘a
’
ng d
´odu
.
o
.
.
cgo
.
il`a
m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c. Tru
.
c ho`anh cu
’
an´od
u

il`aTru
.
ca
’
o. Thˆong thu
.
`o
.
ng sˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib c´o thˆe
’
xem
nhu
.
vecto
.
−→
OM.Mˆo
˜
i vecto
.
cu
’
am˘a
.
t ph˘a
’

.
c z = a + ib v`a
ngu
.
o
.
.
cla
.
i.
Su
.
.
tu
.
o
.
ng ´u
.
ng d
u
.
o
.
.
c x´ac lˆa
.
pgi˜u
.
atˆa

.
cl`ad
iˆe
’
m
hay vecto
.
.
V´o
.
i ph´ep biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
csˆo
´
ph´u
.
c, c´ac ph´ep to´an cˆo
.
ng v`a tr`u
.
c´ac sˆo
´
ph´u
.
cd
u

tu
.
o
.
ng ´u
.
ng v´o
.
isˆo
´
ph´u
.
c z
d
u
.
o
.
.
cgo
.
il`amˆod
un cu
’
a n´o.
Nˆe
´
u z = a + ib th`ı
r = |z| =
√

.
.
c xem l`a g´oc
du
.
o
.
ng nˆe
´
u n´o c´o d
i
.
nh hu
.
´o
.
ng ngu
.
o
.
.
c chiˆe
`
u kim d
ˆo
`
ng hˆo
`
)du
.

c x´ac d
i
.
nh khˆong do
.
n tri
.
,n´o
x´ac d
i
.
nh v´o
.
isu
.
.
sai kh´ac mˆo
.
tsˆo
´
ha
.
ng bˆo
.
i nguyˆen cu
’
a2π v`a
Arg z = arg z +2kπ, k ∈ Z,
trong d
´o arg z l`a gi´a tri

na
’
ocu
’
asˆo
´
ph´u
.
c z = a + ib d
u
.
o
.
.
cbiˆe
’
udiˆe
˜
n qua
mˆod
un v`a acgument cu
’
a n´o nhu
.
sau



a = r cos ϕ,
y = r sin ϕ.




cos ϕ =
a
√
a
2
+ b
2
,
sin ϕ =
b
√
a
2
+ b
2
·
C
´
AC V
´
IDU
.
V´ı d u
.
1. T`ım mˆod
un cu
’


(xy
√
2)
2
+(

x
4
+ y
4
)
2
=
x
2
+ y
2
x
2
+ y
2
=1. 
V´ı d u
.
2. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng ∀ z

2
|; (iv) z
1
− z
2
|  |z
1
|−|z
2
.
Gia
’
i. (i) Ta c´o
|z
1
+ z
2
|
2
=(z
1
+ z
2
)(z
1
+ z
2
)=|z
1
|

1
|
2
+ |z
2
|
2
+2|z
1
||z
2
| =(|z
1
| + |z
2
|)
2
⇒|z
1
+ z
2
|  |z
1
| + |z
2
|.
(ii) V`ı |z
2
| = |−z
2

v`a thu du
.
o
.
.
c
|z
1
|  |z
1
+ z
2
| + |z
2
|→|z
1
+ z
2
|  |z
1
|−|z
2
|.
16 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u

viˆe
´
tdu
.
´o
.
i
da
.
ng
(iii)
∗
. |z
1
+ z
2
| 


|z
1
|−|z
2
|


; (iv)
∗
. |z
1

2
|−|z
1
|. C´ac
vˆe
´
pha
’
i kh´ac nhau vˆe
`
dˆa
´
udod
´onˆe
´
ulˆa
´
yvˆe
´
pha
’
idu
.
o
.
ng th`ı thu d
u
.
o
.

2
.
V´ı d u
.
3. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1
− z
2
|
2
=2(|z
1
|
2

+ iy
1
, z
2
= x
2
+ iy
2
. Khi d´o
z
1
+ z
2
= x
1
+ x
2
+ i(y
1
+ y
2
),
z
1
− z
2
= x
1
− x
2

=(x
1
− x
2
)
2
+(y
1
− y
2
)
2
.
T`u
.
d
´othudu
.
o
.
.
c
|z
1
+ z
2
|
2
+ |z
1

th´u
.
cd
˜a c h ´u
.
ng minh suy r˘a
`
ng trong mˆo
˜
ih`ınh b`ınh h`anh tˆo
’
ng c´ac
b`ınh phu
.
o
.
ng d
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac du
.
`o
.
ng ch´eo b˘a
`
ng tˆo
’
ng c´ac b`ınh phu

z
3
− z
2
z
3
− z
1
=
1
2
arg
z
2
z
1
·
Gia
’
i. Theo gia
’
thiˆe
´
t, c´ac d
iˆe
’
m z
1
, z
2

1
, z
1
v`a
z
2
(h˜ay v˜e h`ınh).
1.3. Biˆe
’
udiˆe
˜
n h`ınh ho
.
c. Mˆod un v`a acgumen 17
B˘a
`
ng nh˜u
.
ng nguyˆen do h`ınh ho
.
c, dˆe
˜
thˆa
´
yr˘a
`
ng
arg
z
3

2
z
1
= argz
2
− argz
1
c˜ung ch˘a
´
nch´ınh cung tr`on d´o. Theo di
.
nh l´y quen thuˆo
.
ccu
’
ah`ınh ho
.
c
so
.
cˆa
´
p ta c´o
arg
z
3
− z
2
z
3

3
=0
th`ı c´ac d
iˆe
’
m z
1
, z
2
v`a z
3
l`a c´ac dı
’
nh cu
’
a tam gi´ac dˆe
`
unˆo
.
itiˆe
´
p trong
d
u
.
`o
.
ng tr`on d
o
.

.Tat`ımd
ˆo
.
d`ai cu
’
a c´ac ca
.
nh tam gi´ac.
1
+
T`ım dˆo
.
d`ai |z
1
− z
2
|.Tac´o
|z
1
− z
2
|
2
=(x
1
− x
2
)
2
+(y

2
1
)+2(x
2
2
+ y
2
2
) − [(x
1
+ x
2
)
2
+(y
1
+ y
2
)
2
]
=2|z
1
|
2
+2|z
2
|
2
− 2|z

2
+2|z
2
|
2
−|z
3
|
2
=2· 1+2· 1 − 1=3
v`a t`u
.
d
´o
|z
1
− z
2
| =
√
3 .
2
+
Tu
.
o
.
ng tu
.
.

18 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
V´ı d u
.
6. V´o
.
id
iˆe
`
ukiˆe
.
n n`ao th`ı ba diˆe
’
m kh´ac nhau t`u
.
ng d
ˆoi mˆo
.
t z
1
,
z
2

.
`o
.
ng th˘a
’
ng cho tru
.
´o
.
c
th`ı vecto
.
d
it`u
.
z
2
dˆe
´
n z
1
c´o hu
.
´o
.
ng nhu
.
cu
’
a vecto

ud´o c´o ngh˜ıa l`a c´ac g´oc nghiˆeng cu
’
a
c´ac vecto
.
n`ay d
ˆo
´
iv´o
.
i tru
.
c thu
.
.
c ho˘a
.
cnhu
.
nhau ho˘a
.
c sai kh´ac g´oc π.
Nhu
.
ng khi d
´o ta c´o
arg(z
1
− z
2

.
ysˆo
´
ph´u
.
c
z
1
− z
2
z
1
− z
3
c´o acgumen b˘a
`
ng 0 ho˘a
.
cb˘a
`
ng π,t´u
.
cl`asˆo
´
z
1
− z
2
z
1

`
ng d
´oc˜ung l`a diˆe
`
ukiˆe
.
ndu
’
. Gia
’
su
.
’
z
1
− z
2
z
1
− z
3
= α, α ∈ R.
Khi d
´oIm
z
1
− z
2
z
1

=
x
1
− x
3
x
1
− x
2
· (1.5)
Phu
.
o
.
ng tr`ınh d
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng qua d
iˆe
’
m(x
1
,y
1
)v`a(x
2

m trˆen du
.
`o
.
ng th˘a
’
ng d
´o. 
V´ı d u
.
7. X´ac d
i
.
nh tˆa
.
pho
.
.
pd
iˆe
’
m trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c tho
’
a m˜an c´ac

d
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng m`a tˆo
’
ng khoa
’
ng c´ach t`u
.
d
´odˆe
´
n hai diˆe
’
mcho
tru
.
´o
.
c F
1
= −2v`aF
2
= +2 l`a h˘a

iˆe
’
m ±2.
2) Qu˜y t´ıch c´ac d
iˆe
’
mcu
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng C tho
’
a m˜an diˆe
`
ukiˆe
.
n


|z − 2|−|z +2|


=3l`ad
u
.
`o
.
ng hypecbˆon. D

a nh´anh d´o.
3) Rez  c ⇒ x  c.D
´ol`anu
.
’
am˘a
.
t ph˘a
’
ng bˆen pha
’
id
u
.
`o
.
ng th˘a
’
ng
x = c (kˆe
’
ca
’
d
u
.
`o
.
ng th˘a
’

ng d
´o). 
V´ı d u
.
8. X´ac d
i
.
nh tˆa
.
pho
.
.
pd
iˆe
’
m trˆen m˘a
.
t ph˘a
’
ng ph´u
.
c C d
u
.
o
.
.
ccho
bo
.

’
z = x + iy. Khi d
´ot`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
|z| =Rez +1⇒

x
2
+ y
2
= x +1⇒ y
2
=2x +1.
20 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
D´o l`a phu
.


(x, y) ∈ R
2
: x  −
1
2
,y =0

.
2) Gia
’
su
.
’
z = x + iy. Khi d
´ot`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho suy ra:
|x − 1+iy|  2|x + i(y − 1)|
⇒

(x − 1)
2
+ y
2

`
ukiˆe
.
nd˜a cho x´ac di
.
nh h`ınh tr`on tˆam z
0
= −
1
3
+i
4
3
v`a b´an k´ınh
2
√
2
3
.
3) V`ı tam th´u
.
cbˆa
.
c hai (d
ˆo
´
iv´o
.
i u)o
.

.
i tˆam ta
.
i z
0
=2− i v`a b´an k´ınh b˘a
`
ng 1.
4) T`u
.
d
iˆe
`
ukiˆe
.
nd˜a cho ta thu du
.
o
.
.
c
log
3
2+|z
2
+ i|
2+|z
2
− i|
=0

´
thu
.
.
cbˆa
´
t
k`y ho˘a
.
csˆo
´
thuˆa
`
na
’
obˆa
´
tk`y. Nhu
.
vˆa
.
ychı
’
c´o c´ac d
iˆe
’
mn˘a
`
m trˆen c´ac
tru

`
ng
1) |z
1
· z
2
| = |z
1
|·|z
2
|;
2) |z
1
± z
2
|  |z
1
| + |z
2
|;
3) |z
1
± z
2
| 


|z
1
|−|z



|z|−1


+ |z||argz|.
3. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh argz = arg(a + ib) tho
’
a m˜an
d
iˆe
`
ukiˆe
.
n −π<argz  π th`ı n´o du
.
o
.
.
c t´ınh theo cˆong th´u
.
c

´
u a<0,b<0.
4. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng nˆe
´
u gi´a tri
.
ch´ınh arg(a + ib) tho
’
a m˜an d
iˆe
`
ukiˆe
.
n
0  arg(a + ib) < 2π th`ı
arg(a + ib)=











.
ch´ınh cu
’
a arctg
b
a
∈

−
π
2
,
π
2

.
5. Ch´u
.
ng minh r˘a
`
ng |a + b|
2
+ |a − b|
2
=4|a|
2
nˆe
´
u |a| = |b|.
6. Ch´u

th´u
.
c |z|
2
= zz.
22 Chu
.
o
.
ng 1. Sˆo
´
ph´u
.
c
7. Ch´u
.
ng minh d
ˆo
`
ng nhˆa
´
tth´u
.
c
1) |a + b|
2
=(|a| + |b|)
2
− 2


u
diˆe
˜
ndu
.
´o
.
ida
.
ng
z =
1+ti
1 − ti
,t∈ R.
Chı
’
dˆa
˜
n. Biˆe
’
udiˆe
˜
n t qua z v`a ch´u
.
ng minh t =
t.
9. Ch´u
.
ng minh r˘a
`

`
ukiˆe
.
n
|z − 25i|  15
h˜ay t`ım sˆo
´
c´o acgument du
.
o
.
ng nho
’
nhˆa
´
t.
11. T`ım acgumen cu
’
a c´ac sˆo
´
ph´u
.
csaud
ˆay
1) cos
π
6
− i sin
π
6

7) − sin ϕ − i cos ϕ.(D
S.

−
π
2
− ϕ

)
1.4. Biˆe
’
udiˆe
˜
nsˆo
´
ph´u
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac 23
1.4 Biˆe

’
udiˆe
˜
ndu
.
o
.
.
cdu
.
´o
.
ida
.
ng
z = a + ib = r(cos ϕ + i sin ϕ) (1.7)
trong d
´o r = |z| =
√
a
2
+ b
2
, ϕ l`a mˆo
.
t trong c´ac acgumen cu
’
a n´o.
Ph´ep biˆe
’

da
.
ng d
a
.
isˆo
´
sang da
.
ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac ta chı
’
cˆa
`
nt`ım mˆod
un
v`a mˆo
.
t trong c´ac acgument cu
’
a n´o. V`ı mˆod
un v`a acgumen cu
’
atˆo
’
ng

ng lu
.
o
.
.
ng gi´ac l`a khˆong
kha
’
thi. Ngu
.
o
.
.
cla
.
i, ph´ep nhˆan, ph´ep chia, ph´ep nˆang lˆen l˜uy th`u
.
av`a
khai c˘an d
u
.
o
.
.
c thu
.
.
chiˆe
.
nrˆa

1
), z
2
= r
2
(cos ϕ
2
+ i sin ϕ
2
),
z = r(cos ϕ + i sin ϕ). Khi d
´o
1
+
z
1
z
2
= r
1
r
2
[cos(ϕ
1
+ ϕ
2
)+i sin(ϕ
1
+ ϕ
2

4
+
w
k
=
n
√
r

cos
ϕ +2kπ
n
+ i sin
ϕ +2kπ
n

, k =
0,n− 1.
T`u
.
3
+
suy ra
[cos ϕ + i sin ϕ]
n
= cos nϕ + i sin nϕ. (1.8)
Cˆong th´u
.
c (1.8) d
u

c
e
z
= e
x+iy
def
= e
x
(cos y + i sin y). (1.9)
Ch˘a
’
ng ha
.
n