Bài tập chương 2
Bài 2.1. Tính các định thức cấp 3 sau:
a)






2 1 1
0 5 −2
1 −3 4






; b)






3 −2 −4
2 5 −1
0 6 1










;
e)






1 2 3
4 −2 3
0 5 −1






; g)









; b)








3 1 1 1
1 3 1 1
1 1 3 1
1 1 1 3








;
c)












;
e)








1 1 0 0
1 1 1 0
0 1 1 1
0 0 1 1








; f)


1 0 a b
1 a 0 c
1 b c 0








; h)








1 1 1 1
1 2 3 4
1 4 9 16
1 8 27 64







2
(a + b)
2
bc b
2
+ c
2
(b + c)
2
ca c
2
+ a
2
(c + a)
2






;
1
c)












1 + 2a 2 a x
1 + 2b 3 b x
1 + 2c 4 c x
1 + 2d 6 d x








; f)








a b c 1
b c a 1
c a b 1
c + b b + a a + c 2

5 6 7
8 9 1


; b)


2 3 −4
0 −4 2
1 −1 5


;
c)


3 2 1
4 5 2
2 1 4


; d)


2 5 7
6 3 4
5 −2 −3


;

(Z) ⇔ |detA| = 1.
Bài 2.9. Hãy tính các định thức sau và cho biết khi nào ma trận tương ứng khả
nghịch?
a)






1 a
2
a
a 1 a
2
a
2
a 1






; b)











a − b + c a − b b + 2c + 2a
b − c + a b − c c + 2a + 2b
c − a + b c − a a + 2b + 2c






;
e)








a 1 1 1
b 0 1 1
c 1 0 1
d 1 1 0










a a a a
a b b b
a b c c
a b c d








; h)








a x x b
x a b x

c)


2 3 −4
0 −4 2
1 −1 5


; d)


3 2 1
4 5 2
2 1 4


;
e)




1 1 1 1
1 1 −1 −1
1 −1 0 0
0 0 1 −1







;
c)


1 −3 2
3 −7 m + 5
−m 2m 1


.
Bài 2.12. Giải các hệ phương trình sau bằng cách áp dụng quy tắc Cramer.
a)



x
1
+ x
2
− 2x
3
= 6;
2x
1
+ 3x
2
− 7x
3

2
+ 5x
3
= 36.
c)



x
1
+ x
2
+ 2x
3
= 1;
2x
1
− x
2
+ 2x
3
= 4;
4x
1
+ x
2
+ 4x
3
= 2.
d)



x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 2;
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 2;
2x
1
+ 3x
2
+ 5x
3
+ 9x
4
= 2;
x

3
− 4x
4
= −1;
3x
1
+ 6x
2
− 2x
3
+ x
4
= 8;
2x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
− 3x
4
= 2.
g)








2
+ 3x
3
+ 4x
4
= 2.
h)







2x
1
− x
2
+ 3x
3
+ 2x
4
= 4;
3x
1
+ 3x
2
+ 3x
3
+ 2x

3
= 1;
x
1
+ mx
2
+ x
3
= m;
x
1
+ x
2
+ mx
3
= m
2
.
b)



ax
1
+ x
2
+ x
3
= 4;
x

3
= −1;
3x
1
+ (m + 1)x
2
− 9x
3
= 0.
d)



(2m + 1)x
1
− mx
2
+ (m + 1)x
3
= m − 1;
(m − 2)x
1
+ (m − 1)x
2
+ (m − 2)x
3
= m;
(2m − 1)x
1
+ (m − 1)x




mx
1
+ 2x
2
+ 2x
3
= 2;
2x
1
+ mx
2
+ 2x
3
= m;
2x
1
+ 2x
2
+ mx
3
= m,
g)



(3m + 5)x
1

(m − 2)x
1
+ (m − 3)x
2
+ x
3
= −m;
(m + 2)x
1
+ 3x
2
+ (m − 1)x
3
= 2m,
k)



(2m + 1)x
1
+ (m − 2)x
2
+ (m + 2)x
3
= m − 1;
(2m − 1)x
1
+ (2m − 5)x
2
+ mx

2
+ 3x
3
= b.
a) Xác định a để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm và tìm nghiệm tương ứng.
5