Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
LÝ THUYẾT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN GIẢI TÍCH
Kiến thức bổ sung

Cách xét dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
0
2
≠++=
acbxaxxf
( )



<
≤∆
⇔∈∀≤
0
0
0
a
Rxxf
( )



>
≤∆
⇔∈∀≥

0.
21
<⇔<<
αα
faxx
•
( )







<−
>
>∆
⇔<<
0
2
0.
0
21
α
αα
S
faxx
•
( )


21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )



>
<
⇔<<<
0.
0.
21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )



⇔<<<
βα
β
α
βα
2
0.
0.
0
21
S
fa
fa
xx
 KHẢO SÁT HÀM SỐ
Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm
Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
( )
xfy =
I. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
xfy =
xác định trên
( )
ba,
1.
f
tăng trên
( )

xfxf >
.
3.
( )
bax ,
0
∈
được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó
( )
xf
′
không nh hay
bằng 0.
II. Định lý:
1. Định lý Lagrăng: Nếu hàm số
( )
xfy =
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
và có đạo hàm trên
khoảng
( )
ba,
thì tồn tại một điểm
( )
bac ,∈
sao cho
( ) ( ) ( )( )
abcfafbf −

( )
ba,
.
• Nếu f’(x)<0
( )
bax ,∈∀
thì hàm số
( )
xfy =
nghịch biến trên
( )
ba,
.
( Nếu
( )
0=
′
xf
tại một số hữu hạn điểm trên khoảng
( )
ba,
thì định lý vẫn còn đúng ).
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
B
1
: Tìm tập xác định
B
2
: Tính
( )

Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
B
1
: Tính
( )
xf
′
B
2
: Sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu của dạng 1
B
3
: Giải tìm m.
Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng
( )
βα
;
Phương pháp giải tương tự dạng 2.
Chủ đề 2. Cực trị của hàm số
( )
xfy =
1.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
xfy =
xác định trên
( )
ba,
và điểm
( )

liên tục
( )
ba,
có đạo hàm tại
( )
bax ,
0
∈
và đạt cực
trị tại điểm đó thì
( )
0
0
=
′
xf
.
Định lí 1:
Giả sử hàm số
( )
xfy =
liên tục trên khoảng
( )
ba,
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng
( )
0

điểm
0
x
.
b. Nếu
( )
0
0
>
′
xf

( )
0
, xax ∈∀
và
( )
0<
′
xf

( )
bxx ,
0
∈∀
thì hàm số
f
đạt cực đại tại điểm
0
x

0
x
.
1. Nếu
( )
0
0
>
′′
xf
thì
0
x
là điểm cực tiểu.
2. Nếu
( )
0
0
<
′′
xf
thì
0
x
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1.
( )
0
0

x
là điểm cực đại.
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
( )
xfy =
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
Áp dụng 1 trong 2 quy tắc sau:
Quy tắc 1:
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho
( )
0=
′
xf
giải tìm các
i
x
B
3
: Xét dấu
( )
xf
′

B
3
: Tìm
( )
xf
′′
và tính các
( )
i
xf
′′
• Nếu
( )
0<
′′
i
xf
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x
• Nếu
( )
0>
′′
i
xf
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x
Dạng 2: Bài toán có tham số m

đgl giá trị lớn nhất
của hàm số
f
trên
D
, kí hiệu
( )
xfM
Dx∈
= max
• Nếu tồn tại
Dx ∈
0
sao cho
( ) ( )
Dxxfxf ∈∀≥
0
thì số
( )
0
xfm =
đgl giá trị lớn nhất của
hàm số
f
trên
D
, kí hiệu
( )
xfm
Dx∈

xf
,
( ) ( )
bfaf ,
B
4
: So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của
f
trên
đoạn
[ ]
ba;
, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của
f
trên đoạn
[ ]
ba;
.
Chủ đề 4. Tiệm cận
1. Tiệm cận đứng:
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình
0

hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4. Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
Khảo sát hàm số
1. Hàm số bậc 3
( )
0
23
≠+++= adcxbxaxy
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
y
x −∞→

0
24
≠++= acbxaxy
 Yêu cầu khảo sát: tương tự như hàm số bậc 3
Chú ý: nếu phương trình
0=
′′
y
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì đồ thị (C )
3. Hàm số
( )
0,0 ≠−≠
+
+
= bcadc
dcx
bax
y
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
c
a
yy
xx
==
+∞→−∞→
limlim
suy ra đường thẳng


 Nếu
Dxy ∈∀<
′
0
thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 Nếu
Dxy ∈∀>
′
0
thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 Cho vài điểm đặc biệt và vẽ đồ thị
4. Hàm số
( )
0,0
2
≠
′
≠
′
+
′
++=
′
+
′
++
= aa
bxa
r

−→
lim
suy ra đường thẳng
a
b
x
′
′
−=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã
cho.
•
( )
[ ]
( )
[ ]
0limlim =+−=+−
−∞→+∞→
qpxyqpxy
xx
suy ra đường thẳng
qpxy
+=
là tiệm cận xiên
của đồ thị hàm số đã cho
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′
 Cho

 Nếu phương trình
( )
1
vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung
 Nếu phương trình
( )
1
có nghiệm kép thì hai đồ thị tiếp xúc nhau
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
 Nếu phương trình
( )
1
có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu điểm chung
 Chú ý:
Phương trình bậc 3:
( )
10
23
=+++ dcxbxax

 Nếu
( )
1
có 1 nghiệm là
α
thì:
( ) ( )
( )
( )


phương trình
( )
2
có 1 nghiệm kép
α
≠x
hoặc có hai
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
α
=x
• Phương trình
( )
1
có 3 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 2 nghiệm phân biệt khác
α
 Nếu không nhẩm được nghiệm
• Phương trình
( )
1
có 1 nghiệm
⇔
hàm bậc 3 không có cực trị ( phương trình
0=
′
y

0
2
≥= txt
• Khi đó
( ) ( )
201
2
=++⇔ cbtat
 Phương trình
( )
1
vô nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
 Phương trình
( )
1
có 1 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 1 nghiệm kép
0
=
x
hoặc có

x
và 1
nghiệm kép
0
=
x
 Phương trình
( )
1
có 4 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 2 nghiệm đơn
0>x
.
 Hai đồ thị
( ) ( )
xfyC =:
và
( ) ( )
xgyC =
′
:
tiếp xúc nhau
⇔
hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )

dyxxky
00
+−=
Để (d) tiếp xúc với (C):
( )
xfy =
thì hệ phương trình sau phải có nghiệm:

( ) ( )
( )



=
′
+−=
kxf
yxxkxf
00
 Chủ đề 3: Vấn đề cố định của hàm số
 Lý thuyết
 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
• Gọi
( )
00
; yxM
là điểm cố định cần tìm
• Viết phương trình
( )
0,

C
B
A
sau đó
giải hệ suy ra điểm cố định.
 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số hàm số không đi qua với mọi m
• Tìm điểm mà đồ thị hàm số không xác định
• Khi hàm số xác định
 Viết phương trình
( )
0, =− ymxf
theo ẩn m có dạng:
0
=+
BAm
hoặc
0
2
=++ CBmAm
 Lý luận cho phương trình vô nghiệm
o
0
=+
BAm
vô nghiệm



≠
=

Ta có:
( )
( )
( )











′
<−






′
≥
==
2
1
0
0

là phần đồ thị lấy đối xứng phần
0<y
của đồ thị (C) qua trục Ox.
b. Cho hàm số
( )
ax
xU
y
−
=
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C
’
)
( )
ax
xU
y
−
=
hoặc
( )
ax
xU
y
−
=
Ta có:
( )
( )
( )

1
Cax
ax
xU
Cax
ax
xU
ax
xU
y
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C
là phần đồ thị của (C) ứng với
ax >
•




xfxf =−

⇒
hàm số
( )
xfxf =
là hàm số chẵn
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C
là phần đồ thị của (C) ứng với
0
≥
x
•



nếu
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
( )
( )
( )



±=
≥
⇔=
xfy
xf
xfy
0
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C

. Trong đó:
•
( )
xfy =
chính là đồ thị đã khảo sát.
•
( )
mgy =
chỉ chứa tham số m có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox.
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của 2 đường
( )
xfy =
và
( )
mgy =
.
 Chủ đề 6: Cực trị
 Lý thuyết
• Hàm số
( )
xfy =
đạt cực trị
( )
( )
( )



=
=

( )
xV
xU
y =
có hoành độ cực trị là
0
x
thì
( )
( )
0
0
0
xV
xU
y
′
=

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
 Hàm bậc 3
( )
0
23
≠+++= adcxbxaxy
• Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị
• Chia
y
cho
y

xV
xU
y =
• Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị
• Gọi
( )
yxM ,
là cực trị
( )
( )
bax
xV
xU
y +=
′
=⇒
là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
 Chủ đề 7: Khoảng cách
 Lý thuyết
• Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm
( )
00
, yxM
đên đường thẳng
( )
0=++∆ CByAx
:
( )
22
00

sau đó
suy ra
y
, điều kiện
( )
0>a
o Nếu B ở nhánh bên trái thì ta nên gọi B có giá trị hoành độ là
bTCĐx −=
sau đó
suy ra
y
, điều kiện
( )
0>b
• Sau đó tính AB và áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần như ở trên.
 Chủ đề 8: Quỹ tích
 Lý thuyết
Để tìm quỹ tích của 1 loại điểm nào đó ta thường làm theo các bước sau:
• Tìm điều kiện tồn tại quỹ tích theo tham số m
• Tính tọa độ quỹ tích
( ) ( )
( ) ( )



=
=
2,
1
mxgy

0
2
≠++= acbxaxxg

( )



<
≤∆
⇔∈∀≤
0
0
0
a
Rxxg

( )



>
≤∆
⇔∈∀≥
0
0
0
a
Rxxg
Hàm số

Trường hợp 2: Khi
0≠a
và
0≤∆
 Nếu bài toán yêu cầu hàm số tăng ta xét



>
≤∆
0
0
a
 Nếu bài toán yêu cầu hàm số giảm ta xét



<
≤∆
0
0
a
Trường hợp 3: Khi
0
≠
a
và
0
>∆
, khi đó phương trình

+=
+=
0
0
yYy
xXx
thế vào hàm số ban đầu
( )
xfy =
ta được hàm số mới
( )
XGY =
Chứng minh hàm số
( )
XGY =
là hàm số lẻ, tức là chứng minh
( ) ( )
XGXG −=−
Chú ý:
• Cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ có tọa độ là
( ) ( )
002001
,,, yxMyxM −−
• Cặp điểm đối xứng nhau qua trục hoành có tọa độ là
( ) ( )
002001
,,, yxMyxM −
• Cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung có tọa độ là
( ) ( )
002001

( )
xfy =
• Gọi
d
′
là đường thẳng vuông góc với
d
suy ra
( )
bx
a
yd
′
+−=
′
1
:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của
d
′
và đồ thị
• Gọi A, B là giao điểm của
d
′
và đồ thị, I là trung điểm của AB
⇒
2
BA
I
xx


( )
xF
được gọi là nguyên hàm của
( )
xf

( ) ( )
xfxF =
′
⇔

Tính chất

Nếu
gf ,
là hai hàm liên tục trên K thì
•
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫ ∫
+=+ dxxgdxxfdxxgxf
• Với mọi số thực
0≠k
ta có:
( ) ( )
∫ ∫
= dxxfkdxxkf
Các phương pháp tìm nguyên hàm

222
1211
2
1
2
1
2
1
1
2
1
Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
x
e
x
xf
2
3
=
Đặt
dxdu
x
u
3
1
3
=⇒=


1
.
3
1
2
1
.
33