Bài giảng toán kinh tế
2. Giới hạn vô hạn của hàm số:
∀N > 0 lớn tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0| < δ ⇒ f(x) > N
∀N < 0 nhỏ tuỳ ý, δ∃ > 0: 0 < |x – x0|< δ ⇒ f(x) < N
Ví dụ: chứng minh
3. Các tính chất của giới hạn hàm số:
Định lý: nếu lim f(x) = L
1
và lim g(x) = L
2
thì
• Lim [f(x) ± g(x)] = L
1
± L
2
• Lim [f(x)g(x)] = L
1
L
2
• Lim [f(x)/g(x)] = L
1
/L
2
(L
2
≠ 0)
• Lim [f(x)]m = L
1
m
(L
1

lim
0
=
→
x
x
x
1lim
0
=
→
x
arctgx
x
1
+∞=
→
)(lim
0
xf
xx
−∞=
→
)(lim
0
xf
xx
+∞=
−
→

2
8
lim )
3
2
−
−
→
x
x
c
x
=>==
→→
Lxhxg
xxxx
)(lim)(lim
00
Lxf
xx
=
→
)(lim
0











+
∞→
1
1lim
a
x
a
x
x
ln
1
lim
0
=
−
→
( )
ex
x
x
=+
→
/1
0
1lim
1






−
+
x
x
x
x
Bài giảng toán kinh tế
5. So sánh vô cùng bé
Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé trong một quá trình nếu limf(x) = 0
Định nghĩa: Cho f(x), g(x) là hai VCB trong một quá trình:
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 0, f(x) là VCB bậc cao hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = ∞, f(x) là VCB bậc thấp hơn g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = A, f(x), g(x) là hai VCB cùng bậc
• Nếu lim[f(x)/g(x)] = 1, f(x), g(x) là hai VCB tương đương. Ký hiệu f(x)~g(x)
• Nếu lim[f(x)/g(x)] không tồn tại, ta nói f(x), g(x) là hai VCB không so sánh được
Định lý: Nếu f(x), g(x) là hai VCB, Nếu f(x)~f
1
(x), g(x)~g
1
(x) thì lim[f(x)/g(x)] =
lim[f
1
(x)/g
1
(x)]

thì f được gọi là liên tục bên phải (bên trái) tại x
0

Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x
0
nếu nó không liên tục tại x
0
. Vậy x
0
là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu:
Nguồn:
www.nguyenngoclam.com
2
3
2
3
arcsin2sin
lim
22
0
=
−+
→
x
xarctgxx
x
32
~sin xxxx +
xxx
xxx

Bài giảng toán kinh tế
- Hoặc f(x) không xác định tại x
0
- Hoặc f(x) xác định tại x
0
nhưng lim f(x) ≠ f(x
0
) khi x → x
0
- Hoặc không tồn tại lim f(x) khi x → x
0
Ví dụ: Xác định tính liên tục tại x
0
= 0
Định nghĩa: f được gọi là liên tục trong khoảng mở (a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm
thuộc khoảng đó,
• f được gọi là liên tục trong khoảng đóng [a,b] nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc
khoảng mở (a,b), liên tục bên phải tại a và liên tục bên trái tại b
Định lý: Nếu f, g là các hàm số liên tục tại x
0
thì các hàm số sau cũng liên tục tại x
0
: kf (k
hằng số), f+g, fg, g/f (g(x
0
)≠0).
Định lý: Trong cùng một quá trình nếu limu(x) = u
0
và f liên tục tại u0 thì Lim f[u(x)] =
f[lim u(x)] = f(u

Đạo hàm bên phải:
Đạo hàm bên trái:
- Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong
khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a,b),
có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x
2
, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
• u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
• u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
Nguồn:
www.nguyenngoclam.com
3



>−
≤+
=
0 x khi1
0 xkhi1
)(
x
x
xf
x
xf

lim'
x
y
y
x
∆
∆
=
−→∆ 0
lim'
Bài giảng toán kinh tế
• u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)≠0 và
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u = u(x) thì
hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f
-1
(y) thì
hàm số x = f
-1
(y) có đạo hàm tại y = f(x):
Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0
(xα)’ = αxα-1
(ax)’ = axlna
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx







)](['
1
)('
1
)()'(
1
1
yffxf
yf
−
−
==
ax
x
a
ln
1
)'(log =
x
x
1
)'(ln =
2
1

x
arctgx
+
=
2
1
1
)'cot(
x
gxarc
+
−=
2
2
2
2
,
dx
fd
dx
yd
n
n
n
n
dx
fd
dx
yd
,

f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
ξ
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn
tại c ∈ (a,b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại c ∈
(a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong trường
hợp f(b) = f(a).
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0,
∀x ∈ (a,b) thì tồn tại c ∈ (a,b) sao cho
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong trường
hợp g(x) = x.
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x
0
thì ∀x ∈ D, x
≠ x
0
thì tồn tại c nằm giữa x và x
0
sao cho:
Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
• Đa thức Taylor:
Khi x
0
=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x ∈ (a,b)
Nguồn:
www.nguyenngoclam.com

0
0
)(
)!1(
)(
)(
!
)(

)(
!2
)("
)(
!1
)('
)()(
+
+
−
+
+−+
+−+−+=
n
n
n
n
xx
n
cf
xx

k
k
k
n
xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
!
)(
)(
1
)1()(
2
)!1(
)(
!
)0(

!2
)0("
!1
)0('
)0()(
+
+

)('
lim
)('
)('
lim
Bài giảng toán kinh tế
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
1. Dạng 0/0, ∞/∞
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng ∞/∞)
2. Dạng 0.∞, ∞ - ∞: Chuyển chúng về dạng 0/0, ∞/∞.
Ví dụ:
3. Dạng vô định: 00, 1∞, ∞0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ:
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại x
0
nếu tồn tại một lân cận của
x
0
sao cho f(x) ≤ f(x
0
) (f(x) ≥ f(x
0
)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):
1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x ∈ (a,b) thì f tăng.

∞==
∞→∞→
)(lim)(lim xgxf
xx
34
27
lim
2
3
3
+−
−
→
xx
x
x
xx
xtgx
x
sin
lim
0
−
−
→
3
0
sin
lim
x

x
+∞→
lim
xx
x
lnlim
5
0+→
)4/()4(lim
2
2
xtgx
x
π
−
→
)
cos
1
(lim
2/
tgx
x
x
−
→
π
2
0
lim

0
.
c) Nếu x vượt qua x
0
mà f’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại x
0.
Định lý: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân cận điểm x
0
và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x
0
) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x
0
) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Giá trị lớn nhất bé nhất của hàm số trên một đoạn:
1. Tính giá của f tại các điểm tới hạn và tại điểm hai đầu mút.
2. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá trị được tính trên là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất
cần tìm).
Ví dụ: tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của hàm số:
f(x) = x
3
– 3x
2
+1 trên đoạn [-1/2, 4]
Biến kinh tế:
Q Quantity Sản lượng
QS Quantity Supplied Lượng cung
QD Quantity Demanded Lượng cầu
P Price Giá cả

• Ví dụ: Hãy tìm sản lượng biên của một doanh nghiệp và cho nhận xét khi L=100
cho bởi hàm sản xuất sau:
• Chi phí biên MC: (Marginal Cost)
Hàm chi phí: TC = TC(Q)
MC là đại lượng đo lường sự thay đổi của chi phí khi sản lượng tăng lên một đơn vị.
• Ví dụ: Tìm MC và MC là bao nhiêu khi Q = 50 và cho nhận xét.
TC = 0,0001Q
3
– 0,02Q
2
+ 5Q + 100
• Doanh thu biên MR: (Marginal Revenue)
Hàm doanh thu: TR = PQ
• Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định thì MR là đại
lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị.
• Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, giá do thị trường quyết định thì MR là đại
lượng đo lường sự thay đổi của doanh thu khi giá tăng thêm 1 đơn vị.
• Ví dụ: Một sản phẩm trên thị trường có hàm cầu là:
Q = 1.000 – 14P
Tìm MR khi p = 40 và p = 30
• Lợi nhuận biên MP: (Marginal Profit)
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = PQ – (FC + VC(Q))
Lợi nhuận biên là đại lượng đo lường sự thay đổi của lợi nhuận khi giá hay sản lượng
tăng thêm 1 đơn vị
• Tối đa hóa lợi nhuận:
Hàm chi phí: TC = TC(x)
Hàm cầu: x = QD = f(P)
Giả sử thị trường độc quyền:
Hàm lợi nhuận: π = TR – TC = Px – TC(x)
• Ví dụ: Một công ty độc quyền, phòng kinh doanh cung cấp thông tin:

=
0
)(
0
)(
0
0
2
2
2
2
dx
TCTRd
dx
TCTRd
dx
d
dx
d
π
π
Bài giảng toán kinh tế
Nguồn:
www.nguyenngoclam.com
9