GV : Nguy ễn Thu Hiền - Tr ờng THCS An Đà
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
Dạng toán qui về đơn vị
Bài tập 1:Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bẻ không có nớc trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ ,
mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trớc 4 h .
Giải
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1 giờ vòi đầu chảy đợc
x
1
( bể )
1 giờ vòi sau chảy đợc
y
1
( bể )
1 giờ hai vòi chảy đợc
x
1
+
y
1
( bể ) (1)
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =
4
15
h
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1:
4
15
=





=
=



=
=






+=



=
=




+=
=


5
4
4
11
22
b
y
x
a
y
x
xy
x
x
xy
xx
xy
xx
xy
xx
Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
Bài tập 2:Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số
giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh
vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?
Giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )





=
=






=
=








=+
=+
5
2
15
2
15
5

(con đờng )
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc
4
1
(con đờng )
Vậy ta có pt:
x
1
+
6
1
+x
=
4
1

=+=++ 0242)6(4)6(4
2
xxxxxx
x
1
= 6; x
2
= -4
X
2
= - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài tập 4:Hai đội công nhân làm một đoạn đờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2

1
Hay x
2
-42x 1080 = 0

/
= 21
2
+ 1080 = 1521 =>
/
= 39
x
1
= 21 + 39 = 60 ; x
2
= 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
Bài 5:Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1
phải trồng 40 ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế
hoạch .Đội 2 hoàn thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong một
thời gian bằng thời gian đội 2 đã làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích
trồng đợc của hai đội bằng nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 trồng đợc
2
40
x

/
= 26
2
5.20 = 576 ,
/
= 24
x
1
=
5
2426 +
= 10 ; x
2
=
5
2
5
2426
=

x
2
< 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .
Bài 6:Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm trong 3
giờ và ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó
trong mấy giờ thì xong .
Giải:

3
GV : Nguy ễn Thu Hiền - Tr ờng THCS An Đà

trong 2 giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc
5
2
bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì
đầy bể ?
Giải :
Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt



=
=








=+
=+








1
(công việc )
Một giờ ngời thứ hai làm đợc
y
1
(công việc )
Một giờ cả hai ngời làm đợc
12
1
(công việc )
Nên ta có pt :
x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8.
12
1
=
3
2
(công việc )
Công việc còn lại là 1 -
3
2

=
3
10
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :

x
1
+
y
1
=
12
1




=
=
20
30
y
x

6
y
=
3
10

==
==










=+
=+
=+
4
5
100
5
504
126
4
504
168
3
504
56
111
63
111

của năng suất đội I và năng suất đội II và nếu mỗi đội làm một mình một phần ba công việc thì
phải mất 37 ngày mới xong. Hỏi nếu mỗi dội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc .
Giải :
Gọi x , y , z lần lợt là số ngày đội I , II , III làm một mình xong công việc, x > 0, y > 0 , z > 0

5
GV : Nguy ễn Thu Hiền - Tr ờng THCS An Đà
Một ngày đội I , II , III theo thứ tự làm đợc
z
1
,
y
1
,
z
1
( công việc ) (
x
1
>
y
1
vì năng suất đội I cao
hơn năng suất đội II )
Năng suất đội ba bằng trung bình cộng của hai đội còn lại , nên ta có phơng trình :

z
1
= (
x

:
3
1
;
3
1
:
3
1 z
z
y
y
x
x
===
và hoàn thành công việc trong 37 ngày nên ta có pt :

37
333
=++
zyx
(3)
Vậy : từ (1) , (2) , (3) ta có hệ pt :z
1
= (
x
1

41616
0
1
2
1
2
1
zyx
zyx
zyx










=++
=++
=+
111
1
41616
0
422
zyx
zyx

36
30
45
1
1
1
z
y
x
,





=
=
=
36
45
30
2
2
2
z
y
x
Nghiệm thứ nhất bị loại vì
x
1

Thời gian để hai đội làm chung xong công việc là
42
)4(
+
+
x
xx
(giờ)
Vậy ta có pt : 2x + 4 = 4,5 .
42
)4(
+
+
x
xx
hay x
2
+ 4x 32 = 0 x
1
= - 8 ( loại ) x
2
= 4 ( thoả mãn
điều kiện của ẩn ).
Vậy Đội I làm một mình xong công việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ .
Câu 12 :Hai đội công nhân I và II đợc giao sửa một đoạn đờng. Nếu cả hai đội cùng làm chung
thì sau 4 giờ là hoàn thành công việc. Nếu đội I làm một mình trong 2 giờ, sau đó đội II tiếp tục
làm một mình trong 3 giờ thì họ đã hoàn thành đợc
7
12
công việc. Hỏi mỗi đội làm riêng thì sẽ

3
, do đó hoàn thành trớc 1h20 so với quy định. Tính dung tích của bể.
Cõu 19:
Đờng sông từ A đến B ngắn hơn đờng bộ 25km. Để đi từ A đến B ô tô mất 2h30, ca nô hết
4h10. Vận tốc của ôtô lớn hơn vận tốc của ca nô 22km/h. Tính vận tốc của ôtô và ca nô.
Cõu 20: Hai máy bơm cùng bơm nớc vào một cái bể cạn (không có nớc), sau 4 giờ thì đầy bể.
Biết rằng nếu để máy thứ nhất bơm đợc một nửa bể, sau đó máy thứ hai bơm tiếp (không dùng
máy thứ nhất nữa) thì sau 9 giờ bể sẽ đầy. Hỏi nếu mỗi máy bơm bơm riêng thì mất thời gian bao
lâu sẽ đầy bể nớc.
Cõu 21: Trên đờng quốc lộ đi qua ba thành phố A, B, C ( B nằm giữa A và C) cả hai ngời M và N
chuyển động đều. M xuất phát từ A và đi về C bằng ô tô, N xuất phát từ B và cũng đi về C bằng xe
máy. Họ cùng xuất phát vào lúc 8 giờ và cùng tới C vào lúc 10 giờ 30 phút cùng ngày. Trên đờng
sắt liền kề với quốc lộ có một tàu hoả chuyển động đều từ C đến A với vận tốc bằng 2/3 vận tốc
của M. Tàu hoả gặp N vào lúc 8 giờ 30 phút và gặp M vào lúc 9 giờ 6 phút. Biết rằng quãng đ-
ờng AB dài 75 km. Hãy tính quãng đờng BC
Cõu 22: Lúc 9 giờ sáng một chiếc bè bắt đầu trôi tự do trên sông từ địa điểm A đến địa điểm B.
Cùng lúc đó một chiếc thuyền khởi hành đi từ B đến A và sau 5 giờ thì thuyền gặp bè. Khi đến A
thuyền quay lại B ngay và về đến B cùng một lúc với bè. Hỏi thuyền và bè có về B trớc 21 giờ
cùng ngày hôm đó không ?
Cõu 23: Hai ngi i b khi hnh cựng mt lỳc hai a im A v B cỏch nhau 18km. H i ngc
chiu nhau v gp nhau sau khi mi ngi ó i c 2 gi. Bit rng c i 1 km thỡ ngi i t A i lõu
hn ngi i t B l 3 phỳt. Tớnh vn tc ca mi ngi?
Cõu 24: Mt thuyn mỏy xuụi theo khỳc sụng di 28,5km, ri lin quay tr v mt on 22,5km, thi
gian i v v mt 8 gi. Tỡm vn tc riờng ca thuyn mỏy bit rng vn tc ca dũng nc 2,5km.

8
GV : Nguy ễn Thu Hiền - Tr ờng THCS An Đà
Cõu 25: Hai vũi nc cựng chy vo b khụng cú nc v chy y b sau 1gi 48 phỳt . Nu chy
riờng, vũi th nht chy y nhanh hn vũi th hai trong 1 gi 30 phỳt. Hi nu chy riờng, mi vũi s
chy y b trong bao lõu ?

Cõu 33: Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp đợc
1
10
khu đất. Nừu máy ủi thứ nhất
làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả
hai máy ủi san lấp đợc 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu
đất đã cho trong bao lâu.
Hớng dẫn giải:

9
GV : Nguy Ơn Thu HiỊn - Tr êng THCS An §µ
Câu 34: Mét m¶nh ®Êt h×nh ch÷ nhËt cã chiỊu dµi h¬n chiỊu réng 6(m) vµ b×nh ph¬ng ®é dµi ®-
êng chÐo gÊp 5 lÇn chu vi. X¸c ®Þnh chiỊu dµi vµ chiỊu réng m¶nh ®Êt ®ã
Híng dÉn gi¶i:
Gäi x(m) lµ chiỊu dµi h×nh ch÷ nhËt →nx-6(m) lµ chiỊu réng h×nh ch÷ nhËt.
§K: x-6>0 → x>6.
Chu vi h×nh ch÷ nhËt lµ: [x+(x-6)]=2.(2.x-6)=4x-12
Theo ®Þnh lÝ Pitago, b×nh ph¬ng ®êng chÐo h×nh ch÷ nhËt b»ng:
x
2
+(x-6)
2
=x
2
+x
2
+36-12=2x
2
-12x+36
Theo ®iỊu kiƯn ®Ị bµi th×:2x

2
=(8-4)/1=4<6 (lo¹i)
KL: ChiỊu di b»ng 12m, chiỊu réng =6 m
Câu 35: Một đồn xe vận tải nhận chun chở 15 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì 1 xe phải điều
đi làm cơng việc khác, nên mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn 0,5 tấn hàng so với dự định. Hỏi
thực tế có bao nhiêu xe tham gia vận chuyển. (biết khối lượng hàng mỗi xe chở như nhau)
Híng dÉn gi¶i: Gäi sè xe thùc tÕ chë hµng lµ x xe ( x
∈
N
*
)
Th× sè xe dù ®Þnh chë hµng lµ x +1 ( xe ).
Theo dù ®Þnh mçi xe ph¶i chë sè tÊn lµ:
1
15
+x
(tÊn)
Nhng thùc tÕ mçi xe ph¶i chë sè tÊn lµ:
x
15
(tÊn)
Theo bµi ra ta cã PT:

x
15
-
1
15
+x
= 0,5

Hớng dẫn giải: Gọi chiều dài của thửa ruộng là x(m)
Chiều rộng của thửa ruộng là y(m) ( x>45, x>y)
=>
45
3
2
x y
x
y x y
=



+ = +


Giải hệ ta đợc x = 60, y = 15 (thoả mãn)
Vậy diện tích của thửa ruộng là: 60.15 = 900(m
2
).
Cõu 38: Một ca nô chuyển động xuôi dòng từ bến A đến bến B sau đó chuyển động ngợc dòng từ B về A
hết tổng thời gian là 5 giờ . Biết quãng đờng sông từ A đến B dài 60 Km và vận tốc dòng nớc là 5 Km/h .
Tính vận tốc thực của ca nô (( Vận tốc của ca nô khi nớc đứng yên )
Hớng dẫn giải: Gọi vận tốc thực của ca nô là x ( km/h) ( x>5)
Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 5 (km/h)
Vận tốc ngợc dòng của ca nô là x - 5 (km/h)
Thời gian ca nô đi xuôi dòng là :
60
5x +
( giờ)

AB
l
x

km (
0x
>
), khi ú di quóng ng BC l
24x
+
km, di quóng ng
AC
l
2 24x
+

km. V do ú, thi gian i quóng ng
AB
l
( )
4
x
h
, thi gian i quóng ng
BC
l
24
( )
40
x

BC
l
6 6 24
2.25( )
4 40
h
+
+ =
, thi gian i quóng ng
CA
(lỳc v) l
2 6 24
2.25( )
16
h
ì +
=
Vy di quóng ng
AC
l 36 km.
Cõu 40: Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh
Mt i xe cn phi chuyờn ch 150 tn hng . Hụm lm vic cú 5 xe c iu i lm nhim v
khỏc nờn mi xe cũn li phi ch thờm 5 tn . Hi i xe ban u cú bao nhiờu chic ? ( bit rng
mi xe ch s hng nh nhau )
Cõu 41: Một đội xe cần chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành đội đợc điều thêm 3 xe nữa nên mỗi
xe chở ít hơn dự định 8 tấn. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc? Biết rằng các xe chở nh nhau.
Hớng dẫn giải:
Gọi x, y lần lợt là số xe và số hàng chở đợc của mỗi xe lúc đầu. (x N
*
, y>8)

2
+1) 4
-2 ab 2
2007 S 2011
MinS = 2007 ab = -2 và a
2
= 1 a = 1 , b =
m
2
Cõu 42: Mt mnh vn hỡnh ch nht cú din tớch l 720m
2
, nu tng chiu di thờm 6m v gim chiu
rng i 4m thỡ din tớch mnh vn khụng i. Tớnh kớch thc (chiu di v chiu rng) ca mnh vn
Hớng dẫn giải: Gi x (m) l chiu rng ca mnh vn; (x > 4).
Chiu di ca mnh vn l
x
720
(m).
Tng chiu rng thờm 6m v gim chiu di i 4m thỡ din tớch khụng i nờn ta cú phng trỡnh : (x -
4). (
x
720
+ 6) = 720.


x
2
- 4x - 480 = 0




Chiu di ca HCN l : x + 2 (cm)
Theo bi ra ta cú PT: x(x+2) = 15 .
Gii ra tỡm c :x
1
= -5 ( loi ); x
2
= 3 ( tha món ) .
Vy chiu rng HCN l : 3 cm , chiu di HCN l: 5 cm.
Cõu 45: Một ngời đi xe đạp phải đi trong quãng đờng dài 150 km với vận tốc không đổi trong một
thời gian đã định. Nếu mỗi giờ đi nhanh hơn 5km thì ngời ấy sẽ đến sớm hơn thời gian dự định
2,5 giờ. Tính thời gian dự định đi của ngời ấy.
Cõu 46: Hai ngi i xe p cựng xut phỏt mt lỳc t A n B vi vn tc hn kộm nhau 3km/h.
Nờn n B sm ,mn hn kộm nhau 30 phỳt. Tớnh vn tc ca mi ngi .Bit qung ng AB
di 30 km.
Hớng dẫn giải: Gi x(km/gi )l vn tc ca ngi th nht .
Vn tc ca ngỡ th hai l x+3 (km/gi )
2
1
2
30 30 30
:
3 60
30( 3).2 30. .2 .( 3)
3 180 0
3 27 24
12
2.1 2
3 27 30
15( )


( )
4
500 x x 50
5
2500 5x 4x 200 9x 2700 x 300
=
= = =
Vậy số sách lúc đầu ở giá thứ nhất là 300 cuốn, số sách ở giá thứ hai là 450 300 = 150 cuốn.
Cõu 48: Một ôtô khách và một ôtô tải cùng xuất phát từ địa điểm A đi đến địa điểm B đờng dài
180 km do vận tốc của ôtô khách lớn hơn ôtô tải 10 km/h nên ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36
phút.Tính vận tốc của mỗi ôtô. Biết rằng trong quá trình đi từ A đến B vận tốc của mỗi ôtô không
đổi.
Hớng dẫn giải: Đổi 36 phút =
10
6
h
Gọi vận tốc của ô tô khách là x ( x >10; km/h)
Vận tốc của ôtô tải là x - 10 (km/h)
Thời gian xe khách đi hết quãng đờng AB là:
x
180
(h)
Thời gian xe tải đi hết quãng đờng AB là:
10
180
x
(h)
Vì ôtô khách đến B trớc ôtô tải 36 phút nên ta có PT:


vuụng ca tam giỏc lờn 2 ln v gim cnh gúc vuụng cũn li xung 3 ln thỡ c mt tam
giỏc vuụng mi cú din tớch l 51m
2
. Tớnh di hai cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng
ban u.
Hớng dẫn giải: Gi di cnh gúc vuụng bộ l x (m) (/k:
x 0
>
)
Thỡ di cnh gúc vuụng ln l x + 8 (m)
Theo bi ta cú PT:
1 x 8
.2x. 51
2 3
+
=
hoc
1 x
. .2(x 8) 51
2 3
+ =
2
x 8x 153 0 + =
; Gii PT c :
1 2
x 9 (tm ; x 17 (lođk) ại)= =
Vy: di cnh gúc vuụng bộ l 9m ; di cnh gúc vuụng ln l 17m
Cõu 50:

14

Giải được: x
1
= 12 (thoả mãn điều kiện của ẩn)
x
2
= -15 (không thoả mãn điều kiện của ẩn)
Vậy vận tốc của người đó đi từ A đến B là 12 km/h.

15