Lời nói đầu
Trong các môn khoa học kỹ thuật Toán học giữ một vị trí nổi bật nó có tác
dụng lớn đối với các ngành khoa học đối với kỹ thuật, đối với sản xuất và chiến
đấu. Toán học quả là có tác dụng to lớn đối với các ngành khoa học khác vì ngày
nay toán học không chỉ là tập hợp các sự kiện dới dạng định lý mà đó là một hệ
thống các phơng pháp, đó là ngôn ngữ để diễn tả các sự kiện và phơng pháp trong
các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và đời sống thực tiễn.
Thông qua việc học tập môn toán, học sinh nắm đợc vững hệ thống kiến
thức và phơng pháp toán học cơ bản, phổ thông theo quan điểm hiện đại, biết vận
dụng những kiến thức và phơng pháp toán học vào kỹ thuật, lao động, quản lý kinh
tế, vào việc tự học tự nghiên cứu khoa học.
Hơn nữa chúng ta đều biết toán học là cơ sở của mọi ngành khoa học khác
vì thế nó đóng vai trò rất quan trọng trong nhà trong phổ thông nó đòi hỏi ngời
thầy giáo một sự lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo ra những phơng pháp để dạy
các em học sinh học toán và giải toán. Trong chơng trình THCS hiện nay hệ thống
bài tập toán rất đa dạng, phong phú và cũng có rất nhiều loại bài tập phức tạp làm
cho học sinh gặp khó khăn trong việc giải chúng. Giải bài toán bằng cách lập ph-
ơng trình hoặc hệ phơng trình là một loại toán khó đối với học sinh bởi vì đặc trng
của loại toán này là đề bài thờng bằng lời văn và thờng xen trộn nhiều dạng ngôn
ngữ: ngôn ngữ thông thờng, ngôn ngữ toán học, ngôn ngữ vật lý, hoá học, bài thơ
cổ học sinh phải suy luận tốt mới tìm đ ợc sự liên quan giữa các đại lợng dẫn đến
lập phơng trình hoặc hệ phơng trình.
Trong chơng trình Tiểu học và THCS bài toán giải phơng trình có mặt hầu
hết từ lớp 1 cho đến lớp 9 đợc cho ở nhiều dạng khác nhau ví dụ nh ở lớp 1, 2 thì
giải phơng trình cho dới dạng điền vào ô trống, toán đố; ở lớp 3 thì bài toán đố tiếp
tục đợc nâng cao hơn về số lơn hơn, kiến thức đa dạng hơn; ở lớp 4, 5, 6 thì dạng
toán đóo đã mở rộng tơng đối phong phú có kiến thứ toàn diện hơn với nội dung
có liên quan đến số học, hình học, toán chuyển động, toán tìm tuổi, toán về đoạn
thẳng, về phần trăm %, toán tính ngợc, toán giải bằng giả thiết tạm nói chung là
cho dới dạng phức tạp hơn nhiều. ở lớp 7, 8, 9 vẫn những mối quan hệ nh trên nh-
ng không gọi là toán đố nữa mà gọi là giải toán bằng cách lập phơng phơng trình

về giải bài toán. Quy tắc về giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng
trình là phân tích các dạng bài toán, dựa vào sự biến thiên của các đại lợng (tăng,
giảm, thêm, bớt ) làm sáng tỏ mối quan hệ giữa cá đại l ợng dẫn đến lập phơng
trình hoặc hệ phơng trình đợc dễ dàng.
Trong đề tài của tôi về giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ ph-
ơng trình, tôi chỉ nêu một số quan điểm trong quá trình nghiên cứu giải bài toán
bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình và chọn ra một hệ thống bài tập ở
các dạng khác nhau để thuận lợi cho ngời dạy, ngời học và mục đích chính là giúp
các em học sinh có cách nhìn nhận về loại toán giải bài toán bằng cách lập phơng
trình hoặc hệ phơng trình một cách đơn giản hơn và hứng thú hơn trong việc học
và giải loại toán này.
Trong quá trình viết đề tài do kinh nghiệm, năng lực của bản thân và thời
gian còn hạn chế nên đề tài đợc viết cha đáp ứng đầy đủ nhu cầu của bạn đọc mà
chỉ nêu đợc những dạng toán có tính chất điển hình và không tránh khỏi còn nhiều
thiếu sót. Vì vậy tôi mong đợc nhận nhiều ý kiến đóng góp giúp đỡ từ phía các
thầy cô và ý kiến đóng góp phê bình từ phía bạn đọc và đồng nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Ninh Bình, ngày 16 tháng 4 năm 2007
Tác giả

Mục lục
Phần thứ nhất: lời nói đầu
Phần thứ hai: nội dung
Chơng I:
Lý Luận chung
I. Phơng pháp nghiên cứu
II. Yêu cầu về lời giải một bài toán.
III. Các căn cứ, các yêu cầu chọn hệ thống bài tập.
Chơng II:
Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng

giải các bộ phận hình thành phơng trình hoặc hệ phơng trình.
- Nhờ sự liên quan giữa các số liệu, căn cứ vào đề bài mà lập phơng trình
hoặc hệ phơng trình.
Bớc 2: Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình.
Bớc 3: Nhận định kết quả, thử lại và trả lời.
Chú ý so sánh với điều kiện đặt ra cho ẩn xem xét có thích hợp không sau
đó trả lời bằng đánh số (có kèm theo đơn vị).
Mặc dù đã có nội dung quy tắc có nghĩa là cách hớng dẫn để giải các loại
toán trên song ngời giáo viên trong quá trình hớng dẫn giải bài toán này cấn làm
cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu để giải bài toán nói chung.
II. Yêu cầu về lời giải một bài toán.
Yêu cầu 1: Lời giải không sai sót.
Muốn cho học sinh không mắc sai phạm này trớc hết ngời giáo viên cần
làm cho học sinh hiểu bài toán, nếu hiểu sai thì dẫn đến đáp số sai, có thể cái sai
sót là rất nhỏ có khi chỉ là những điều kiện của ẩn số. Nếu bỏ qua khi giải xong thì
bài toán có phần nào cha toàn diện.
Ví dụ: Mẫu của một phân số gấp 4 lần tử số của nó. Nếu tăng cả tử và mẫu
thêm 2 đơn vị thì đợc phân số 1/2 . Tìm phân số đó.
* Hớng dẫn học sinh: để học sinh hiểu rõ bài toán:
Gọi tử số của phân số phải tìm là x (xZ, x0) : ở đây học sinh dễ nhầm là đặt
điều kiện x > 0 (vì khi thêm cả tử và mẫu 2 đơn vị thì đợc 1/2 > 0). Chính vì thế
mà học sinh chỉ nghĩ xN chứ xZ, nếu tử số là x thì mẫu là 4x.
Theo bài rá ta có phơng trình:
1
22
2442
24)2(2
2
1
24

Ôtô du lịch
B
A Ôtô tải C
- Thời gian ôtô du lịch đi từ A đến C mất bao lâu
- Thời gian ôtô tải đi từ B đến C mất bao lâu
- Nếu thời gian ôtô du lịch đi từ A đến B là x thì thời gian ôtô du lịch đi từ B
đến C là bao nhiêu giờ? ( 5-x giờ)
- Vận tốc ôtô du lịch là bao nhiêu?
x

5
1
( Quãng đờng BC)
- Vận tốc ô tô tải là bao nhiêu?

5
1
( Quãng đờng BC)
Mà vận tốc của ôtô tải và ôtô du lịch có liên quan nh thế nào? Dựa vào các
mối quan hệ học sinh chọn ẩn và giải.
Lời giải:
Gọi thời gian ôtô du lịch đi từ A đến B là x (giờ, 0<x<5)
thời gian ôtô du lịch đi từ B đến C là 5 - x (giờ)
Vận tốc của ôtô du lịch là
x

5
1
( Quãng đờng BC)
Vận tốc của ôtô tải là

4
3
cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng
thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm
2
.Tính
chiều cao và cạnh đáy.
* Hớng dẫn học sinh:
Giáo viên cần cho học sinh hiểu bất kỳ tam giác nào cũng có:
Diện tích tam giác =
2
1
(cạnh đáy x chiều cao)
Lời giải
Gọi chiều dài cạnh đáy là x (dm, x>0)
Chiều cao của tam giác là:
4
3
x
Ta có phơng trình:
2
1
(x - 2)(
4
3
x + 3) -
2
1
x.
4

* Hớng dẫn học sinh:
Tóm tắt các dữ kiện đã cho bằng ký hiệu số đã cho
ab
Tổng hai chữ số là 16 nên ta có : a + b = 16
Đổi chỗ hai chữ số đó cho nhau thì đợc một số mới là
ba
khi đó ta có:
ba
-
ab
= 18
Yêu cầu học sinh nhắc lại quan hệ thứ tự giữa các số:
ab
= 10a + b
Nếu chữ số hàng chục là a = x thì chữ số hàng đơn vị là b = 16 x
Dựa vào quan hệ để lập phơng trình.
Lời giải
Gọi chữ số hàng chục là x (xN, 1x9) thì chữ số hàng đơn vị là : 16 x
Ta đợc số ban đầu là :
1691610)16(
+=+=
xxxxx
Đổi hai chữ số cho nhau ta đựơc:
xxxxx 9160)16(10)16(
=+=
Theo bài ra ta có phơng trình:
160 9x (9x + 16) = 18 (1)
Giải phơng trình ta có: x = 7
Ta có x = 7 thoả mãn điều kiện đầu bài và thoả mãn điều kiện phơng trình
(1). Vậy chữ số hàng chục là 7, chữ số hàng đơn vị là 9 nên số phải tìm là số 79.

y
1
=
14
9
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:






=+
4
91
x
1
9 =y +x
y




=+
=+
xyyx
yx
91414
9

=
x

Ta có x
1
= 7, x
2
= 2 thoả mãn điều kiện của bài toán.
Vậy nếu số thứ nhất là 7 thì số thứ hai là 2
nêú số thứ nhất là 2 thì số thứ hai là 7
III. Các căn cứ, các yêu cầu chọn hệ thống bài tập.
1. Các căn cứ chọn hệ thống bài tập.
- Căn cứ vào mục đích giảng dạy: Bài tập phải rèn luyện đợc kỹ anng t duy,
rèn luyện trí tởng tợng thông minh có những bài tiên nhấn mạnh từng mục đích,
có những bài rèn luyện tính thực tế.
- Căn cứ vào chơng trình, sách giáo khoa, sách hớng dẫn, sách tham khảo...
- Căn cứ vào tình hình cụ thể, chú ý tới tình huống phân hoá các lớp, các tr-
ờng, sự phân hoá trong một lớp học hiện nay.
- Căn cứ vào tình huống dạy học: Vừa dạy xong kiến thức ra bài tập ứng
dụng thờng ra bài tập đơn giản, không răc rối.
Bài tập để ôn tập chơng trình thờng là bài tập tổng hợp. Bài tập cho đội
tuyển thì chọn bài phức tạp hơn, những bài có tính chất tổng hợp kiến thức.
2. Yêu cầu của hệ thống bài tập.
- Bài tập phải đầy đủ, hợp lý cả nội dung và hình thức.
- Bài tập phải vừa sức, có những loại bài tập phù hợp với những đối tợng học
sinh yếu, trung bình, khá và giỏi.
- Bài tập phải cân đối với các bộ môn khác.
- Bài tập có những loại bài riêng cho 6 loại đồng thời, có nững loại bài tập
đan xen theo hai loại.
Chơng II:

Trong đó a, b, c, a, b, c không đồng thời bằng 0 là hệ phơng trình bậc
nhất hai ẩn số.
Nếu phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c = 0 (a 0) là phơng trình bậc hai một
ẩn số.
Để đảm bảo 6 yêu cầu về giải một bài toán và ba bớc trong quy tắc giải bài
toán bằng cách phơng trình và hệ phơng trình thì yêu cầu giải một bài toánở các
dạng phơng trình và hệ phơng trình ở trên cần phải qua 7 giai đoạn sau. Về thực
chất 7 giai đoạn giải bài toán này là cụ thể hoá rõ hơn ba bớc trong quy tắc giải bài
toán bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình.
Giai đoạn 1: Phân tích viết giả thiết của bài toán cho học sinh hiểu bài
toán cho những dữ kiện gì, có thể mô tả bằng hình vẽ đợc không?
Giai đoạn 2:
Nêu rõ các vấn đề để lập phơng trình và hệ phơng trình tức là chọn ẩn số thế
nào cho phù hợp điều kiện của ẩn thế nào cho thoả mãn. Dùng các giả thiết đã biết
và ẩn số biểu thị những đại lợng khác trong bài toán.
Giai đoạn 3:
Lập phơng trình và hệ phơng trình. Nhờ sự liên quan đến các số liệu, ẩn số
đã chọn mà đặt phơng trình và hệ phơng trình.
(Ba giai đoạn này chính là Bớc 1 trong quy tắc giải bài toán bằng cách
lập phơng trình và hệ phơng trình)
Giai đoạn 4:
Giải phơng trình và hệ phơng trình vừa lập đợc
(Giai đoạn 4 là Bớc 2 trong quy tắc giải bài toán bằng cách lập phơng
trình và hệ phơng trình)
Vận dụng các kỹ năng giải phơng trình bậc nhất một ẩn số, hệ phơng trình
bậc nhất hai ẩn, phơng trình bậc 2 một ẩn số để giải.
Giai đoạn 5:
Nghiên cứu nghiệm của phơng trình và hệ phơng trình để xác định lời giải

10
120

x
- Giai đoạn 3:
Vì xe thứ hai đi lâu hơn xe thứ nhất 1 giừo nên ta có phơng trình:
x
120
+ 1 =
10
120

x
(1)
- Giai đoạn 4:
Ta có (1) 120(x - 10) + x(x 10) = 120x
x
2
- 10x 1200 = 0
= (-10)
2
- 4(-1200) = 4900
70
=
Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
40
2
7010
1
=

Ta có BC = 10m
AB và AC hơn kém nhau 2m tức là : AC AB = 2 A C
Ta có: BC
2
= AC
2
+ AB
2
- Giai đoạn 2:
Gọi cạnh góc vuông thứ nhất là x (m, x > 0)
Cạnh góc vuông thứ hai là x + 2 (m)
áp dụng định lý Pitago ể lập phơng trình.
- Giai đoạn 3:
Cách Quá trình AB AC BC Phơng trình cần tìm
1
Cha bình phơng
Bình phơng
x
x
2
x + 2
(x + 2)
2
10
10
2

x
2
+ (x + 2)

Giải phơng trình (1) ta có:
x
2
+ (x + 2)
2
= 10
2
x
2
+ x
2
+ 4x + 4 = 100
2x
2
+ 4x 96 = 0
x
2
+ 2x 48 = 0
= 1
2
+ 48 = 49
7
=

Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
6
1
71
1
=