PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
VẤN ĐỀ 1: ĐIỂM – ĐƯỜNG THẲNG
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Điểm – vectơ
1. Tọa độ điểm:
( )
;OM xi y j M x y= + ⇔
uuuur r r
Các điểm đặc biệt:
a. Điểm nằm trên trục tọa độ:
M nằm trên trục Ox thì M(x; 0)
M nằm trên trục Oy thì M(0; y)
b. Điểm đối xứng: Cho M(x; y)
M’ đối xứng với M qua Ox thì M’(x; -y)
M’ đối xứng với M qua Oy thì M’(- x; y)
M’ đối xứng với M qua O thì M’(-x; -y)
M’ đối xứng với M qua đường thẳng y = x thì M’(y; x)
c. Công thức tọa độ trung điểm: I là trung điểm của AB thì
;
2 2
A B A B
x x y y
I
+ +
 
 ÷
 
d. Công thức tọa độ trọng tâm: G là trọng tâm tam giác ABCthì:
;
3 3
A B C A B C

'
'
'
x x
u u
y y
=

= ⇔

=

r ur

( )
' '; 'u u x x y y± = ± ±
r ur

( )
;ku kx ky=
r

. ' . ' . 'u u x x y y= +
r ur
3. Độ lớn của vectơ và khoảng cách giữa hai điểm:
( )
2 2
;u x y u x y= ⇒ = +
r r
( ) ( ) ( ) ( )

r ur
cùng phương
'
'
x kx
y ky
=

⇔

=

II. Đường thẳng
1. Phương trình đường thẳng
a. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Ax + By + C = 0,
+ ≠
2 2
A B 0

( )
;n A B=
r
là VTPT và
( )
;u B A= −
r
là VTCP của đường thẳng
Chú ý: Đường thẳng qua điểm
( )
0 0

c. Phương trình đường thẳng qua M(x
0
;y
0
) và có hệ số góc k là: y = k(x – x
0
) + y
0
2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng :
Cho
∆
: ax + by + c = 0 và
∆
’ : a’x + b’y +c’ = 0
Xét hệ phương trình:
0
' ' ' 0
ax by c
a x b y c
+ + =


+ + =

TH1: hệ có duy nhất một cặp nghiệm thì hai đường thẳng cắt nhau
TH2: hệ vô nghiệm thì hai đường thẳng song song
TH3: hệ có vô số nghiệm thì hai đường htẳng trùng nhau
Chú ý: Có thể xét các trường hợp ( a’ và b’ khác 0)
1:
' '

0 0
2 2
ax by c
d(M, )
a b
4. Đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng :
Cho
∆
: ax + by + c = 0 và
∆
’ : a’x + b’y +c’ = 0
Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng trên là:
+ + + +
=±
+ +
2 2 2 '2
ax by c a'x b'y c'
a b a' b
5. Góc giữa hai đường thẳng
Cho
∆
: ax + by + c = 0 và
∆
’ : a’x + b’y +c’ = 0
Gọi
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng
∆
và
∆

r
u(a;b)
(là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng). Điều kiện:
+ ≠
2 2
a b 0
B2 : Tìm một điểm M(x
0
; y
0
) nằm trên đường thẳng
B3: thế vào phương trình :
= +


= +

0
0
x x at
y y bt
3. Viết phương trình đường thẳng đi qua (x
0
; y
0
) và có hệ số góc k:
y = k(x-x
0
) + y
0

; y
0
). Tìm H là hình chiếu của M trên d.
Ta viết phương trình đường thẳng d’ ⊥ d thì d’ : - Bx +Ay + C’ = 0 (2), thế tọa độ M vào (2) để tìm C’.
Khi đó H là giao điểm của d và d’ nên tọa độ điểm H là nghiệm của hệ phương trình (1) và (2).
2
Đặc biệt: Nếu H là hình chiếu của M trên trục hoành thì H(x
0
; 0)
Nếu H là hình chiếu của M trên trục tung thì H(0; y
0
).
Nếu tìm tọa độ M’ đối xứng với M qua d thì H là trung điểm của MM’ nên:
M' H M
M' H M
x 2x x
y 2y y
= −


= −

Ta xét các bài tập dưới đây trong hệ trục Oxy.
1. Viết phương trình tổng qt của đường thẳng;
a. đi qua A(1; 2) và có vectơ pháp tuyến
=
r
n (2;1)
b. đi qua B(-2; 3 ) và vuông góc với trục Ox
c. đi qua C( 3 ; -1) và vuông góc với trục Oy

10. Cho hai điểm A( 1; 2), B( 3; 4). Hãy tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA+MB bé nhất.
11.Cho hai điểm A( -7; 1) , B(-5; 5). Hãy tìm trên đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0 điểm M sao cho MA+MB bé
nhất.
12.( A – 2002) Cho tam giác ABC vng tại A, phương trình cạnh BC:
3 3 0x y− − =
, các đỉnh A, B thuộc trục
hồnh và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tìm tọa trọng tâm G của tam giác ABC. (Đs:
7 4 3 6 2 3 4 3 1 6 2 3
; ; ;
3 3 3 3
G G
   
+ + − − − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
13.Cho tam giác ABCcó A(1; 0), đường cao BH: x – 2y + 1 = 0 và đường cao CH: 3x + y – 1 = 0. Tính diện tích
tam giác ABC. ( Đs: 14)
14.(B – 2004) Cho A(1;1), B(4; -3). Tìm C trên đường thẳng x – 2y – 1 = 0 sao cho khoảng cách từ C đến cạnh AB
bằng 6 ( Đs: C(7; 3),
43 27
;
11 11
C
− −
 
 ÷
 
15.(D – 2004) Cho A(-1; 0), B(4; 0), C(0; m),
0m

)
19. (A- 2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(0; 2) và B(-
3
; - 1) . Tìm tọa độ trực tâm và
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
20.(A- 2006) Cho d
1:
x + y + 3 = 0, d
2
: x – y – 4 = 0, d
3
: x – 2y =0. Tìm tọa độ điểm M thuộc d
3
sao cho khoảng cách
từ M đến hai đường thẳng d
1
gấp đơi khoảng cách từ M đến d
2
.
( Đs: M(-22; -11) hoặc M(2; 1))
21.Cho tam giác ABC có A nằm trên đường thẳng d: x – 4y – 2 = 0, đường thẳng BC song song với đường thẳng d,
phương trình đường cao BH: x + y + 3 = 0, trung điểm cạnh AC là M(1; 1). Tìm tọa độ A, B, C.
( Đs:
2 2
;
3 3
A
− −
 
 ÷

29.Cho đường thẳng d: x – y + 2 = 0, d
’
: 2x + y – 5 = 0 và M(-1; 4). Viết phương trình đường thẳng cắt d, d’ tại A,
B sao cho M là trung điểm AB.
( Đs: x + 1 = 0)
30. Viết phương trình đường thẳng qua M(4; 3) và tạo với 2 trục Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 3. ( Đs: 3x
– 8y + 12 =0, 3x – 2y – 6 = 0)
31.Cho I(-2; 0), d; 2x – y + 5 = 0. d’: x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d qua I và cắt d, d’ tại A, B sao
cho
2IA IB=
uur uur
(Đs: 7x – 3y + 14 = 0)
32. (B – 2007)
Cho điểm A(2; 2) và các đường thẳng d
1
: x + y – 2 = 0; d
2
: x + y – 8 =0. Tìm 2 điểm B, C thuộc d
1
; d
2
sao cho
tam giác ABC vng cân tại A. ( Đs: B(-1; 3), C(3; 5) hoặc B(3; -1), C(5; 3))
33.( D- 2009)
Cho tam giác ABC có M(2; 0) là trung điểm AB. Đường trung tuyến và đường cao đỉnh A lần lượt có phương
trình 7x – 2y – 3 = 0; 6x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC. (Đs: 3x – 4y + 5 = 0)
34.(B- 2009) Cho tam giác ABC cân tại A(-1; 4), hai điểm B, C thuộc đường thẳng x – y – 4 = 0. Tìm tọa độ B, C
biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
(đs:
11 3 3 5

37. (A- 2009)Trong mp (Oxy), cho hình chữ nhật ABCD có I(6; 2) là giao điểm 2 đường chéoAC và BD. Điểm
M(1; 5) thuộc đường thẳng AB và trung điểm E của cạnh CD thuộc đường thẳng
∆
: x + y – 5 = 0. Viết pt đường
thẳng AB.
38. (B – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vng tại A, C(-4; 1), đường phân giác trong góc A
có phương trình ; x + y – 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24, A có
hồnh độ dương.
4
39.(D – 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3; -7), trực tâm H(3; -1), tâm đường tròn ngoại
tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ C, biết C có hồnh độ dương.
40. (D – 2010 NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(0; 2), đường thẳng
∆
qua O, H là hình chiếu của A lên
∆
. Viết phương trình
∆
biết khoảng cách từ H đến trục hồnh bằng AH.
41.(A – 2010 NC) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân đỉnh A(6; 6). Đường thẳng qua trung điểm
AB, AC có phương trình : x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B, C biết E(1; -3) nằm trên đường cao qua đỉnh C của tam
giác đã cho.
42.Cho tam giác ABC, có B(4; -1), đường cao AH có phương trình : 2x – 3y + 12 = 0, đường trung tuyến AM có
phương trình : 2x + 3y = 0. Viết phương trình các đường thẳng qua 3 cạnh của tam giác.
(Đs: 3x + 2y – 10 = 0, 3x + 7y – 5 = 0; 9x + 11y + 5 = 0
VẤN ĐỀ 2: ĐƯỜNG TRỊN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
I. Phương trình đường tròn
1. Dạng thu gọn: (x –a)
2
+ (y – b)

2
c. Tâm I(a; b), tiếp xúc với trục Ox là: (x-a)
2
+ (y – b)
2
= b
2
d. Tâm I(a; b), tiếp xúc với trục Oy là: (x-a)
2
+ (y – b)
2
= a
2
4. Chú ý:
Viết phương trình đường tròn
Cách 1: Xác đònh tâm I( a, b) và tính bán kính R rồi thế vào phương trình :
(x – a)
2
+ (y – b )
2
= R
2
(*)
Chú ý :
1. Nếu đường tròn qua điểm A thì R = IA
2. Nếu đường tròn có đường kính AB thì tâm là trung điểm AB và bán kính R =
1
2
AB
3. Nếu đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

2
+y
2
+ 2ax + 2by + c = 0 ( **)
Từ điều kiện của bài toán đưa đến hệ phương trình với ẩn số a, b, c.
Giải hệ phương trình tìm a, b, c thế vào (**)ta được phương trình đường tròn.
II. Vị trí của điểm so với đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R, một điểm M(x
0
; y
0
)
Tính
( ) ( )
2 2
0 0
IM x a y b= − + −
1. Nếu IM > R thì M nằm ngồi (C)
2. Nếu IM = R thì M nằm trên (C)
3. Nếu IM < R thì M nằm trong (C)
III. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R, đường thẳng
: 0Ax By C∆ + + =
Tính
( )
2 2
;
Aa Bb C
d I
A B

Cho 2 đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R và (C') có tâm I(a';b'), bán kính R'.
Tính
2 2
II' (a' a) (b' b)= − + −
Nếu II' > R + R' thì 2 đường tròn không giao nhau.
Nếu II' = R + R' thì 2 đường tròn tiếp xúc ngoài
Nếu II' = |R - R'| thì 2 đường tròn tiếp xúc trong
Nếu |R - R'| <II' < R + R' thì 2 đường tròn cắt nhau tại 2 điểm
V. Tiếp tuyến của đường tròn
Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm M
0
(x
0
;y
0
) thuộc đường tròn
o Xác đònh tâm I(a;b)
o Tiếp tuyến qua M và vuông góc với IM nên có VTPT là
IM
uuur
Loại 2: Lập phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với d: Ax + By + C = 0
o Xác đònh tâm I(a;b) và bán kính R.
o Phương trình tiếp tuyến
∆
có dạng : Ax + By + C’ = 0 ( C’ chưa biết và C’
≠
C)
o Dùng điều kiện tiếp xúc d(I,
∆
) = R để tìm C’ rồi thế vào phương trình tiếp tuyến

c) Đi qua 2 điểm A(0; 1), B(1; 0) và có tâm thuộc d: x+ y + 2 = 0
d) Có tâm I(-1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng: x – 2y – 2 = 0
e) Đi qua hai điểm A(1; 2), B(3; 4) và tiếp xúc với d: 3x + y -3 = 0
f) Tiếp xúc với Ox tại A(-1; 0) và đi qua B(3; 2)
g) Tiếp xúc với d: x – y – 2 = 0 tại M(1; -1) và có bán kính bằng 3.
h) Tiếp xúc với 2 đường thẳng d
1
: 3x – y + 3 = 0, d
2
: x – 3y + 9 = 0 và có tâm thuộc đường thẳng d:
x – 5 = 0
i) Qua 3 điểm A(1; 4), B(-4; 0), C(-2; -2)
j) qua A(2;-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy.
2. Cho hai đường thẳng d
1
: 4x-3y-12= 0 và d
2
:4x+3y-12= 0
a. xác đònh các đỉnh của tam giác có ba cạnh là d
1
,d
2
, và Oy.
b. Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vừa xác đònh
3. Trong mp Oxy, hãy viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết các cạnh AB,
BC, CA lần lượt có các phương trình sau: y- x- 2=0, 5y- x+2= 0 và y + x – 8 = 0
4. Cho họ đường cong (C
m
): x
2

-2m-3 = 0. Tìm quỹ tích của tâm đường
tròn
7. Trong mp Oxy xét họ đường tròn có phương trình :x
2
+y
2
- 2(m+1)x-2(m+2)y+6m+7= 0
a. tìm quỹ tích tâm của đường tròn
b. Xác đònh tọa độ tâm của đường tròn thuộc họ đã cho mà tiếp xúc với Oy.
8. Cho đường tròn ( C): x
2
+y
2
+2x-4y-4 = 0 và A(2;5). Hãy tìm phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến
đường tròn. Giả sử các tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn tại M, N ; hãy tính MN.
9. Trong mp Oxy cho họ đường cong (C
m
) : x
2
+y
2
+ 2mx -6y+4 - m= 0
a) Chứng minh rằng (C
m
) là đường tròn với mọi m. Hãy tìm tập hợp tâm đường tròn khi m thay
đổi.
b) Với m = 4, hãy viết phương trình đường thẳng vuông góc với(d): 3x- 4y + 10 = 0 và cắt đường
tròn tại hai điểm A, B sao cho AB=6.
10. Cho (C
m

và N là trung điểm của AB và BC. Lập phương trình đường tròn qua H, M, N.
( Đs: x
2
+ y
2
– x + y – 2 = 0)
16. (B – 2009) Cho đường tròn(C):
( )
2
2
4
2
5
x y− + =
và hai đường thẳng d
1
:x – y = 0, d
2
: x – 7y = 0.
Xác định tọa độ tâm K và tính bán kính đường tròn (C
1
), biết (C
1
) tiếp xúc với 2 đường thẳng d
1
, d
2
và
có tâm K thuộc (C).
17. Cho đường tròn

20. Cho đường tròn (C): x
2
+ y
2
= 4 và điểm M(2; 4). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MT
1
; MT
2
với (C) trong đó
T
1
, T
2
là các tiếp điểm.
a) Viết phương trình đường thẳng T
2
T
1
b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) song song với T
1
T
2
21. Cho điểm M(6; 2) và đường tròn (C): x
2
+ y
2
– 2x – 4y = 0. Lập phương trình d qua M cắt (C) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho
10AB =
22. Cho(C): (x-1)

mp / MF
1
+MF
2
= 2a}
với F
1
, F
2
cố đònh, F
1
F
2
=2c
và a> c > 0
Phương trình
chính tắc
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
;
222
cab −=

( )
0;2 2N
f) elip có tâm sai bằng 2/5 và độ dài trục nhỏ bằng 10
2. Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
2 2
2 2
1
x y
a b
+ =
. Tính tâm sai của elip trong mỗi trường hợp
sau:
a) Khoảng cách từ một đỉnh nằm trên trục lớn đến một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự của elip.
b) Các đỉnh trên trục bé nhìn 2 tiêu điểm dưới 1 góc vng
3. Cho elip (E):
2 2
1
9 1
x y
+ =
. Tính độ dài dây cung của (E) đi qua một tiêu điểm và vng góc với trục
chứa 2 tiêu điểm.
4. Cho (E): 9x
2
+ 25y
2
= 225. Tìm tọa độ các điểm M thuộc (E) có tổng các khoảng cách từ đó đến 2
điểm A(0; 4) và B(0; -4) bằng 10.
5. Cho (E) có phương trình chính tắc:
2 2

+ =
)
7. (B- 2010NC) Cho
( )
( )
2 2
2; 3 , : 1
3 2
x y
A elip E + =
có 2 tiêu điểm F
1
, F
2
( F
1
có hoành độ âm), Gọi
M là giao điểm có tung độ dương của AF
1
với (E), N là điểm đối xứng của F
2
qua M. Viết phương
trình đường tròn ngoại tiếp đường tròn tam giác ANF
2
.
9