Phần I. CÁC BÀI TẬP
TÍNH BIỂU THỨC
1. Cho các số x,y,z. Tính a,b nếu:
iii)
2. Cho 2 số thực c và d tính:
Trong đó x
1
-nghiệm lớn, x
2
- nghiệm bé củng phương trình:
3.
- Có tam giác mà các cạnh có độ dài tường ứng a, b, c là các số thực cho trước hay không?
- Nếu có, hãy tính độ lớn của các góc trong tam giác đó.
4. Biết độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Tinh:
- Độ dài của các chiều cao.
- Độ dài của các trung tuyến.
- Bán kính các vòng tròn nôi tiếp và ngoại tiếp.
5. Cho số thực x. Chỉ được sử dụng các phép toán cộng, trừ, nhân, hãy tính biểu thức:
i) 2x
4
– 3x
3
+ 4x
2
– 5x +6
(Không sử dụng quá 4 phép nhân và 4 phép cộng, trừ, nhân (tất cả không quá 8 phép toán)).
1
ii) 3x

không?
10. Cho các số thực x1, x2, x3, y1, y2, y3. Gốc tọa độ có nằm trong tam giác được tạo bởi 3 đỉnh
(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) hay không?
11. Cho số thực a. Hãy tính f(a) nếu:
2
12. Cho số thực a và hàm f(x) được cho bằng đồ thị như các hình vẽ dưới đây. Tính giá trị f(a).

13. Cho D là phần gạch chéo trên mặt phẳng ( xem các hình vẽ dưới). Tính ứng dụng của mỗi
hình vẽ u phụ thuộc vào x,y như dưới đây. Tính giá trị của u:
14. Cho số tự nhiên n (n ≤ 100).
a) Có bào nhiêu chữ số trong n?
b) Tổng các chữ số của n bằng bao nhiêu?
15. Cho số tự nhiên n ( n ≤ 9999). Kiểm tra:
a) Các chữ số của n có khác nhau từng đôi một hay không?
3
b) Xét n luôn có đủ 4 chữ số ( các chữ số vắng được coi là 0). Khi đó ba trong bốn chữ số của n
có trùng nhau không?
16. Bàn cờ quốc tế được coi như mảng 2 chỉ số: chỉ số hang ( tính từ trái sang phải), chỉ số cột
(tính từ dưới lên trên ); các chỉ số này không vượt quá 8. Cho các số tự nhiên k, l, m, n mỗi số
đều không vượt quá 8.
a) Hai ô (k,l) và (m,n) có trùng nhau không?
b) Đặt hậu ở ô (k, l). Nó có khống chế được ô (m,n) hay không?
c) Tương tự câu b, song thay hậu bở mã.
CHU TRÌNH ĐƠN
17,cho số tự nhiên n.Hãy tính:
a, 2
n
b.n!
c.(1+ )( )…(1+ )
d. + +….+

0
=1 a
k
=ka
k-1
+1/k;(k=1,2…).Hãy tính a
n
26.giả sử a
1
=b
1
=1 ,a
k
=3b
k-1
+2a
k-1
,
5
b
k
=2a
k-1
+b
k-1
,k=2,3…
cho số tự nhiên n.hãy tính
27.giả sử a
1
=u, b

Hãy tính:
6
30.cho số tự
nhiên n và ký hiệu
n!! =
nếu n lẻ
nếu n chẵn
hãy tính a. n!!
b.(-1)
n-1
.n!!
31.cho các số tự nhiên n và các số thực a
1
….,a
,n
.hãy tính
a. a
1
+… +a
n
b. a
1
a
2
….a
n
c. . a
1
+… +a
n

2
m. sin(a
1
+… +a
n
);
p. )
2
…+. )
2
;
s. +…
32.cho số tự nhiên n và các số thực a
1
….a
n
.hãy tính:
a. a
1
,a
1
+a
2
… a
1
+a
2
+…+a
n
b. a

2
…a
n
e,- a
1
,a
2
,-a
3
,…,(-1)
n
a
n
g.a
1
+1!,a
2
+2!,…,a
n
+n!
33.cho số tự nhiên n.hãy tìm dãy (i=1,2,…n).còn các được xác định theo:
a, i; b,i
2
c.i! d,2
i+1
e,2
i
+3
i+1
; g,

= u
i
-1+ u
i
-2(i=2,3…)
a.cho số tự nhiên n>1.tính theo u
0
,u
1
,….u
n
8
b.dãy f
0,
f
1
…được lập theo quy luật f
0
=0,f
1
=1,f
i
=f
i-1
+ f
i-2
+u
i-2
(i=2,3…)
cho số tự nhiên n>1.hãy tính f

=1; x
i
=(3+i) )+ (4+i) ;
(i=4,5…).hãy tính x
1
, x
2
… x
20
39.Cho số tự nhiên n và các số thực a,b(a khác b).hãy tìm r
0
,r
1,
….,r
n;
Trong đó r
i
=a+ih,h=(b-a)/n
40. Hãy tính dãy các giá trị của hàm:p
1
(x)=x; p
2
(x)=(3x
2
-1)/2,
p
3
(x)= (5x
2
-3x)/2 với các giá trị của đối số x=0,0.05,0.1,…,20.

1
(b-a)+d
2
(b-a) (b-a-h)+…+d
n
(b-a) (b-a-h)…
(b-a-(n-1)h)
46. Cho số tự nhiên n và các số thực a,b,x
1
,y
1
,…,x
n
,y
n
.cặp a,b là tọa độ một trường học.các cặp
x
1
,y
1
(i=1,….n) là tọa độ tương ứng của các tòa nhà trong trường .hãy tìm các khoảng cách từ các
tòa nhà đến trường và trung bình số học của các khoảng cách đó.
9
48. Cho số tự nhiên n và các số thực x
1
,….,x
n
(n 2).hãy tính
( +x
2

1
+2x
2
+x
3
)x
2
+)( x
2
+2x
3
+x
4
)x
3
+….+(x
n-2
+2x
n-1
+x
n
)x
n-1
;
50. Cho số tự nhiên n và các số thực a,b(b>a>0).tìm dãy số thực y
0
,y
1
…y
n

i
+2 (i=1,…n-2).
53. Cho các số tự nhiên n và các số thực ,l
1
, ,l
2
… ,l
n
Trong đó (l
1
, l
2
…. l
n
0).hãy tìm các tọa độ cuối của đường gấp khúc biểu diễn trên hình vẽ
54.cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,…,a
n
(i ).hãy tìm trung bình số học của tất cả các số a
1
,
…,a
n
trừ a
i
56. Cho các số thực a
1
…,a
50

,a
2
….a
n
;
b.trung bình số học của . a
1
,a
2
….a
n
;
c.a
1
,a
1
a
2
, a
1
a
2
a
3
, a
1
a
2
… a
n

n
k.
59. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,a
2
….a
n
;.hãy tinh các số b
1
,b
2
….b
n
;trong đó :
a
1
=b
1
,b
n
=a
n
,b
i
= (i=2,…,n-1)
60. Cho các số thực x,y
1
,…,y
100

j
+a
k
+a
l
có giá trị bé nhất.
Trong nhiều bài toán người lập trình mong muốn thể hiện các kết quả tính toán trên màn hình ở
dạng các hình vẽ . Các kết quả như thế có thể là đồ thị của một hàm dưới dạng bảng, là các biểu
đồ liệt kê , các hình vẽ cho hướng thể hiện riêng nào đó . Khác với cách thể hiện hình vẽ trên các
máy in dạng bút hình vẽ ở đây sẽ gần với các hình thật sự hơn .
Trong các phần mềm PASCAL của máy cho phép sử dụng các thủ tục để vẽ các hình . Với
TURBO PASCAL , hệ thống các thủ tục và hàm chuẩn để vẽ khá phong phú .
62. Vẽ các hình với các tham số được cho dưới đây :
a) Tam giác có các đỉnh (100,100) , (150,100) , (80,150).
b) Hình chữ nhật có các đỉnh (80,80) , (170,80) , (170,150) , (80,150).
c) Đa giác có các đỉnh (100,100) , (150,100) , (170,120) , (150,140) , (100,140) , (80,120) .
d) Lục giác có các đỉnh ( 120,100) , ( 140,120) ,( 140,140) , 9120,160) , (100,140) ,
(80,120).
e) Các đa giác trên với các cạnh viết rời nét cách một điểm vẽ một điểm .
63. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a3n-1. Mỗi một bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i
là bội của 3 , cho tọa độ của tâm hình vuông (ai;ai+1) và độ dài cạnh của nó là ai+2. Giả sử các
cạnh hình vuông nằm song song với cá trục tọa độ của màn hình . Hãy thiết lập và tô màu bằng
các màu nào đó các hình vuông được chobởi dãy sau đây :
a0,a1,a2, ….a3n-1.
64. . Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a3n-1. Mỗi một bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i
là bội của 3 , cho tọa độ của tâm hình vuông (ai;ai+1) và độ dài cạnh của nó là ai+2. Hãy thiết
lập và tô màu bằng các màu nào đó cho các đường tròn cho bởi dãy sau đây a0,a1,a2, ….a3n-1.
65. Cho các số tự nhiên n,a0,a1,a2,a3,….a4n-1. Mỗi một bộ ba các số ai , ai+1 , ai+2 trong đó i
là bội của 4 , cho một hình chữ nhật có các cạnh song song với trục tọa độ của màn hình : các số
ai,ai+1 là tọa độ của tâm hình chữ nhật ;ai+2, ai+3 là độ dài các cạnh của nó . Hãy thiết lập và tô

k :

a) Là các số lẻ.
b) Bội của 3 nhưng không là bội của 5.
c) Là bình phương của các số chẵn .
d) Thỏa mãn điều kiện : a
k
<
e) Thỏa mãn điều kiện : 2
k
<a
k
<kl.
71. Cho các số tự nhiên n, q1,…., qn. Hãy tìm các qk của dãy thỏa mãn :
a) Khi chia cho 7 thì dư 1,2 hoặc 5.
b) Sao cho pt sau có nghiệm thực dương :
x
2
+3qk – 5 = 0
72. Cho số tự nhiên n. Cho dãy số dạng:
i
3
– 3in
2
+ n (i = 1, 2, 3,…,n)
Tính tổng của tất cả các số trong dãy mà là tích của 3 với một số lẻ.
13
73. Cho số tự nhiên n và các số nguyên a
1
,…, a

78. Giả sử x
0
= a; x
k
= q x
k-1
+ b (k = 1,2,…). Cho số nguyên không âm n và các số thực a, b, c, d,
q (c < d). Số x
n
có thuộc (c,d) hay không?
79. Cho số tự nhiên n và các số nguyên a, x
1
,…, x
n
. Nếu trong dãy x
1
,…, x
n
có dù chỉ một thành
phần bằng a thì hãy tính tổng tất cả các thành phần đi sau thành phần đi sau thành phần đàu tiên
đó; ngược lại, để trả lời, đưa ra màn hình số -10.
80. Cho số tự nhiên n và các số thực a, b, c
1
,…, c
n
. Có đúng hay không với 1≤ k ≤ n-1 nếu c
k
< a
thì c
k+1

),…, (a
n
, a
1
)
có mấy điểm thuộc hình tròn bán kính r và có tâm là gốc tọa độ?
83. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,…, a
n
. Hãy tính:
a, max (a
1
,…, a
n
);
b, min (a
1
,…, a
n
);
c, max (a
2
, a
4
,…);
14
d, min (a
1
, a

n
))
2
– min (a
2
1
,…,a
2
n
).
84. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực a
1
,…, a
n
.
a, Trong dãy trên số các thành phần âm có lớn hơn số các thành phần dương hay không?
b, Giá trị tuyệt đối lớn nhất của dãy có lớn hơn 1 hay không?
85. Ở một quầy hàng có n người mua xếp hàng (cùng xếp hàng một thời điểm). Thời gian người
bán hàng phục vụ người mua hàng thứ i là t
i
(i = 1,…,n). Giả sử cho trước số tự nhiên n và các số
thực t
1
, t
2
,…,t
n
. Hãy tính c
1
,…,c

n
.
b, số lớn nhất trong các số lẻ và số lượng các số chẵn nằm trong dã
a
1
,….,a
n
, a
n+1.
89. Cho số tự nhiên n và số thực x. hãy tìm trong số các số:
số gần với một số nguyên nhất.
90. Cho số tự nhiên n và các số thực a
1
,… ,a
n
.
15
Hãy tím tất cả các số tự nhiên j thỏa mãn a
j-1
,< a
j
> a
j+1
91. Giả sử:
;
, i= 2,3…
Hãy tính x
8
,y
18.

vuông với các cạnh song song với các trục tọa độ như sau: x
1,
x
2
là các tọa độ của tâm hình vuông
thứ nhất, x
3
lasddooj dài cạnh của nó. Tương tự các số x
4
, x
5
, x
6
xác định hình vuông thứ hai:x
7
,
x
8
, x
9
xác định hình vuông thứ ba… Có hay không các điểm thuộc tất cả các hình vuông? Nếu có
hãy chỉ ra các tọa độ của một trong các điểm đó.
96. Cho một số tự nhiên n và các số thực x
1
,…,x
3n
. hãy tính tổng các số từ x
n=1
đến x
3n

. Có bao nhiêu thành phần của dãy con với chỉ số 1, 2, 4, 8,16,… (là lũy
thừa của hai 2) có giá trị bé hơn 0.25? Xét các dãy:
a) a
k
= (k = 1, 2,….,1000)
b) a
1
,….,a
1000
là các số thực cho trước;
c) a
1
= 0.01; a
k
= sin(k + a
k-1
) (k = 2,…,1000).
99. Cho số tự nhiên n và dãy các số thực x
1
,…,x
n
. Hãy tính (1 + r)/(1 + s), trong đó r là tổng của
tất cả các thành phần của dãy và không vượt quá 1 còn s là tổng của các thành phần lơn hơn 1.
100. Cho các số nguyên a
1
, a
2
,….Biết rằng a
1
> 0 và trong các a

n
).
101. Cho số tự nhiên n. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên q sao cho n chia hết cho q
2
và không chia hết cho q
3
.
102. Cho dãy các số thực a
1
,…, a
n
. Hãy kiểm tra xem dãy đã cho có được sắp theo thứ tự giảm dần hay
không?
103. Cho các số thực x > 0 và y > 1. Hãy tính số nguyên k (dương, âm hoặc bằng 0) thỏa mãn điều kiện
kk
yxy
<≤
−
1
.
17
104. Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
, a
2
, , a
n
. Hãy giữ nguyên không thay đổi dãy nếu dãy đó là
dãy đã được sắp. Trường hợp ngược lại hãy tìm dãy con
m

> x
2
,…, x
k
> x
k-1
.
106. Cho hai số tự nhiên m và n. Hãy tính:

( )
!
!!
nm
nm
+
+
107. Cho số tự nhiên n và số thực x. Hãy tính:

( )
ns
s
x
sns
+
=
∑





7
8
7
6
5
6
5
4
3
4
3
2
1
2
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
110. Cho số tự nhiên n. Hãy tính:

( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
n
nlg2lg1lg
1

2
1
1

n
xx
−++−+−
1
10
1
2
10
1
1
10
2
21
112. Cho số tự nhiên n và số thực x. Hãy tính:

( ) ( ) ( )
n
n
x
n
xx
1

2
1
1
1
2
21
−

115. Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
… a
n
.
a) Số hạng khác không đầu tiên của dãy là âm hay dương . Nếu tất cả các số hạng của dãy bằng
không thì hãy cho thông báo về điều đó.
b)Tìm chỉ số của thành phần chẵn đầu tiên của dãy. Nếu không có thành phần chẵn thì thông
báo.
c) Tìm chỉ sốcủa thành phần lẻ cuối cùng của dãy. Nếu không có thành phần lẻ cuối cùng thì
thông báo về điều đó.
116. Cho số tự nhiên n và dãy các số nguyên a
1
,….a
30
, b
1
,…,b
40
, c
1
,…,c
n
. Chỉ số của số hạng âm
đầu tiên trong dãy c
1
, ,c
n
có nhỏ hơn chỉ số các số hạng âm đầu tiên trong các dãy a
1

+1 , a
n-1
+2 ,…, a
1
+ n ;
c) a
1
,….a
n ,
n(

a
n-1
+1 ) , ( n-1 ).( a
n-2
+ 2 ) ,…,2(a
1
+ n-1 )
118. Cho các số tự nhiên n , x
0
, y
0
,τ , x
1
, y
1
, x
n
, y
n

) (1 ≤ i

≤ n ) . Kiểm tra điểm (x
i
,y
i
) nào :
a) Nằm trong nửa trên của màn hình.
b) Nằm trong nửa dưới của màn hình.
19
120. Cho các số tự nhiên n , x
1
, y
1
, x
n
, y
n
. Hãy thể hiện trên màn hình các đường tròn với tâm
tại các điểm(x
i
, y
i
) và có bán kình r
i
thoae mãn điều kiện r
i
> 5.
121. . Cho các số tự nhiên n , x
1

1
,
15
i
i
a a
=
=
∑

15
2
1
( )
14
i
i
a a
s
=
−
=
∑
123. Cho các số thực a
1901
,…,a
1950
là lượng mưa tính theo milimet rơi ở hà nội trong khoảng 50
năm đầu của thế kỉ này . Cần tính lượng mưa trung bình của từng năm.
124. Một hệ gồm 25 chất điểm trong không gian được cho bởi một dãy các số thực x

là tọa độ của điểm thứ i , p
i
là trọng lượng
của nó ( i = 1 ,2 ,, 25) > Hãy tính tọa độ của trọng tâm đến tất cả các điểm của hệ và khoảng
cách từ trọng đến tất cả các điểm của hệ.
125. Cho dãy các số nguyên a
1
,…a
99
. Hãy lập dãy mới bằng cách loại bỏ khỏi dãy tất cả các số
hạng có giá trị max(a
1
,…,a
99
)
126. Cho dãy các số nguyên a
1
,…a
n
.Hãy nhân tất cả tất cả các số hạng của dãy có chỉ số chẵn và
đi trước số hạng đầu tiên có giả trị max (a
1
, ,a
n
)với chính max(a
1
, ,a
n
) .
127. . Cho dãy các số nguyên khác 0 a

x’
i
, y’
i
cần phải biến đỏi x
i
, y
i
theo qui tắc : Nếu cả hai số đó là âm thì tăng mỗi số lên 0,5 ; nếu
chỉ có một số âm thì thay mỗi số bằng bình phương của nó; nếu cả hai số là dương thì thay mỗi
số bằng trung bình số học của các giá trị ban đầu.
130. Cho dãy các số thực a
1
, , a
20
. Hãy biến đổi dãy này theo quy tắc:Số lớn hơn trong 2
số a
i
và a
10+i
(i=1,2, ,10)sẽ nhận giá trị mới là a
i
còn số bé hơn sẽ nhận giá trị mới là a
10+i
(i =
1, , 10) sẽ nhận giá trị mới la a
i
còn số bé hơn sẽ nhận giá trị mới là a
10
+ i.

20
khác nhau từng đôi một. Hãy đổi chỗ trong dãy các vị
trí:
a. Phần tử bé nhất và lớn nhất.
b. Số hạng lớn nhất và số hạng sau cùng.
135. Cho dãy các số nguyên a
1
, , a
100
. Hãy lập dãy mới gồm 100 số nguyên bằng cách
thay thế a
i
băng 0 nếu a
i
max(a
1
, , a
100
) và thay thế a
i
bằng 1 trong trường hợp ngược lại (i = 1,
2, , 100).
136. Cho các số nguyên a
1
, , a
25
, b
1
, , b
25

, trong đó b
i
là tổng
của các số hạng của dãy đã cho và thuộc nửa đoạn (i - 1, i] (i = 1, , a
10
). Nếu trong nửa đoạn
không chứa số hạng nào của dãy thì b
i
tương ứng bằng 0.
139. Cho các số thực x
1
, y
1
, x
2
, y
2
, , x
20
, y
20
, r
1
, r
2
, , r
11
(0 < r
1
< r

hoán vị cần phải tìm được một số k sao cho 1 ≤ k ≤ 16 và nếu i ≤ k thì a
i
≥ 0; nếu i >k thì a
i
< 0 (i
= 1, , 16) còn thứ tự các thành phần dương và âm được giữ nguyên.
141. Cho dãy các số thực a
1
, , a
30
. Dãy được giữ nguyên nếu nó là dãy không giảm hoặc
không tăng. Ngược lại, hãy loại ra khỏi dãy các thành phần mà chỉ số thứ tự của nó là bội của 4;
giữ nguyên thứ tự của các thành phần còn lại.
XỬ LÝ DÃY KÝ TỰ
142. Cho số tự nhiên n và dãy các ký tự S
1
, S
2
, , S
n
.
Hãy đếm xem trong dãy các ký tự đó có bao nhiêu:
a) Chữ cái x.
b) Dấu + và bao nhiêu dấu * ;
c) Tổng số các dấu +, -, * .
143. Cho số tự nhiên n và dãy các ký tự S
1
, , S
n
. Hãy biến đổi dãy đã cho bằng cách thay

Ví dụ: từ dãy: 1234. c-2 cho 12.34 và 0; 12-3 cho 0 và 3.
146.cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy tìm số tự nhiên i đầu tiên sao cho các kí tự
S
i
,S
i+1
đều là chữ cái a.Nếu trong dãy không có những cặp như vậy thì cho thông báo.
147.cho số tự nhiên n và dãy các kí tự S
1
,…S
n.
.Biết rằng trong dãy có ít nhất một dấu phẩy.Hãy
tìm số tự nhiên I sao cho:
a)S
i
là dấu phẩy đầu tiên.
b)S
i
là dấu phẩy cuối cùng.
148.cho các kí tự S
1 ,
S
2
,…biết rằng kí tự S
1
khác với dấu chấm than và trong số S

b)tất cả các kí tự khác với *.
150. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.
a)hãy tính số lớn nhất các dấu trống đi liền nhau.
b)có tồn tại hay không 5 chữ cái e đi liền nhau trong dãy đã cho?
151. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy xác định số lần có mặt trong dãy đó của các
nhóm chữ cái sau:
a)abc
b)aba
152. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy thay trong dãy mỗi nhóm chữ cái “child”
bằng nhóm chữ cái “children”.
153. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Hãy loại ra khỏi dãy đó các nhóm kí tự nằm giữa
các dấu ngoặc(,),các dấu ngoặc cũng phải được bỏ đi .Giả sử bên trong mỗi cặp dấu ngoặc không
có các dấu ngoặc khác.
154. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S

157. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Biết rằng trong số các kí tự có ít nhất một kí tự
khác với dấu trống.Cần biến đổi dãy đã cho như sau:loại bỏ các nhóm dấu trống là bắt đầu và kết
thúc của dãy,thay mỗi một nhóm dấu trống bên trong bằng một dấu trống.Nếu không có các
nhóm như vậy thì hãy được giữ nguyên.
158. cho số tự nhiên n và các dãy kí tự S
1
,…S
n
.Các nhóm kí tự được phân cách bằng các dấu
trống và không chứa các dấu trống ở bên trong sẽ được gọi là các từ,Hãy đếm:
a)số các từ ở trong dãy đã cho
b)số các chữ cái a trong từ cuối cùng của dãy
c)số lượng các từ bắt đầu bằng chữ cái b
d)số lượng các từ mà trong đó chữ cái đầu tiên và chữ cái cuối cùng là trùng nhau.
e)hãy tìm một từ nào đó bắt đầu bằng chữ cái a
f) trong dãy đã cho thay mọi từ”eto” bằng “to”
g)tìm độ dài của từ ngắn nhất.
159.cho các dãy kí tự S
1
,S
2
, Biết rằng kí tự S
1
khác với dấu trống và trong số các S
2
,S

1
1

2
1
1
1
222
++
++
+
+
+
=
iiii
f
i
161. Cho các số thực a
1
, …a
24
. Tìm dãy b
1
,…,b
10
. Ở đấy

;
24211
aaab

3
∑∑
==
−
lk
kk
b)
∑∑
==
+
i
ji
ij
1
100
1
;
2
1
163. Cho trước các số tự nhiên n . Tính:
a)
;) 1(
1
2
∑
=
+
n
k
kkk

n
k
m
kx
1
165. Cho trước các số tự nhiên n, m và các số thực a
1
, a
2
, …a
nm
. Tính:

mnnmnmmmmm
aaaaaaaaa 21 2 21
)1()1(21
+++++++
−−
166. Theo định lý Lagrăng, một số tự nhiên bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng tổng của không
quá bốn bình phương của các số tự nhiên.
Cho số tự nhiên n, hãy tìm các số nguyên không âm x, y, z, t sao cho:
2222
tzyxn +++=
167. Cho các số tự nhiên m, n
1
, n
2
, …, n
m
(

,…, a
25
không có các
số trùng nhau, trong b
1
,…, b
n
cũng vậy.
a) Tìm giao của hai dãy trên. ( tức là tất cả các số thuộc cả hai dãy và được sắp xếp theo một
thứ tự nào đó ).
b) Tìm hợp của hai dãy đã cho.
24
c) Tất cả các thành phần của dãy a
1
,…, a
25
có nằm trong dãy b
1
,…, b
n
không?
d) Dãy a
1
,…, a
25
có là dãy con của dãy b
1
,…, b
n
hay không?

+++=
kkkk
bbbb
(
12,11
=
k
).
Hãy tìm b
n
.
171. Cho các số tự nhiên k, n và các số thực a
1
,…,a
kn
. Tìm:
a) Dãy a
1
+…+ a
k
, a
k+1
+…+a
2k
,…,a
k(n-1)
+ 1 +…+a
2k
;
b) Dãy max(a

k+1
+ …+a
2k
, a
k(n-1)
+ 1 +…+ a
kn
);
e) Dãy min(max(a
1
,…,a
k
), max(a
k+1
,…,a
2k
),…, max(a
k(n-1)
+ 1,…,a
kn
);
172. Gỉa sử a
1
, a
2
,…a
n
là một hoán vị của các số tự nhiên 1,2,…,n . Ta nói rằng số m được dịch
chuyển thành số k (
nkm

=2, a
3
=5, a
4
=6, a
5
=1, a
6
=4 thì ta chỉ có tất cả 3 dãy
sau: 1,3,5; 2; và 4,6 ( như vậy: tổng số lượng các phần tử trong các liệt kê phải bằng
n ).
25