CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
1
MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SỬ DỤNG
TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
_________________________________________________________
Hệ phương trình là một trong những nội dung trọng tâm, phổ biến trong chương trình đại số phổ thông. Đặc
biệt, đây cũng là một bộ phận hữu cơ trong cấu trúc đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng môn Toán, thường
được bố trí vào câu 3 trong đề thi chính thức những năm gần đây (sau câu giải phương trình lượng giác). Để
giải hệ phương trình chúng ta có khá nhiều phương pháp, từ những phương pháp đơn giản nhất như phép thay
thế, cộng đại số, đến phép đặt ẩn phụ, hình học, đồ thị, hàm số, song hành cùng các kỹ năng phân tích nhân tử,
kỹ năng giải phương trình bậc cao và phương trình vô tỷ tạo ra hệ thống bài tập vô cùng đa dạng. Trong những
phương pháp ấy hương pháp sử dụng tính chất đơn điệu hàm số là một phương pháp mới, tích hợp nhiều kiến
thức, kỹ năng, thực tế đã xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh những năm gần đây (2012 và 2013, môn Toán
khối A). Có thể nói đây là một kỹ thuật đột phá, nhạy bén, mặc dù kiến thức sử dụng hết sức cơ bản, thuần túy –
tính chất đơn điệu của hàm số, nhưng cho chúng ta thu được lời giải gọn gàng, đẹp mắt, bất ngờ. Bài viết nhỏ
này nhằm chia sẻ với các bạn một số ý tưởng và kinh nghiệm xử lý lớp bài toán thú vị này.
Để mở đầu bài viết, xin trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán khối A, Đề chính thức, năm 2012.
B
B
à
à
i
it
p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
3 2 3 2
2 2
3 9 9 22 3 9 ,
;
1 1
1
4 4
1 12 1 1 12 1 1
1 1
1 2
2 2
x x x x y y y y
x x y y
x x y y
x y
Xét hàm số
3
3 3
12 ; ;
2 2
f t t t t
2 2 2 2 2 2
x x x x y
.
Kết luận hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm.
Nhận xét.
Để giải quyết bài toán trên, các bạn học sinh cần nhận ra sự đồng điệu giữa hai ẩn x và y trong phương trình
thứ nhất, cố gắng thêm bớt tạo ra sự tương đồng hàm số kiểu
f u f v u v
. Tuy nhiên để có được điều
này thì các hàm số cần đơn điệu (cùng đồng biến hoặc nghịch biến trên một miền xác định). Kết quả của chúng
ta thu được hàm số không cho phép điều đó
3
12
f t t t
!
Tuy nhiên nếu để ý một chút, từ phương trình thứ hai của hệ có thể suy ra miền giá trị của x và y, ngoài cách
phân tích bình phương như lời giải trên đây, các bạn hoàn toàn có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương
1 3
4 4 3 0 4 4 3 0
2 2
x x x x x
.
Mời các bạn đến với bài toán 2, trích lược Đề thi chọn Đội tuyển dự thi HSG Quốc gia Môn Toán, Trường
THPT Chuyên, trực thuộc Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2010 – 2011.
B
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n2
2
.
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
2 2
2 2
2 3 2 2 3 4 18,
;
7 6 14 0.
x x y y
x y
x y xy x y
Điều kiện có nghiệm của hai phương trình trên là
2
1
2
2
7
1
3 10 7 0
3
10
3 16 20 0
2
3
y
y y
x x
x
2 3 4; 1;
3
f y y y y
đều liên tục, đồng biến.
Suy ra
. 2 . 1 3
f x f y f f
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2; 1
x y
. Hệ phương trình đề bài có nghiệm duy nhất.
Nhận xét.
Đối với bài toán này, việc phân tích bình phương phương trình hai đã trở nên khó khăn (không phải thực
hiện được), nếu có nó tương tự việc tìm giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai hai ẩn x và y. Rõ ràng chúng ta
chọn phương án ít chông gai hơn, sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ẩn x và ẩn y lần lượt.
Chúng ta vẫn sử dụng tích hai hàm đồng biến
.
f x g y
để thu được
2; 1
x y
.
B
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n
ơ
n
n
g
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
3 3 2 2
2 2
3 20 2 5 39 100,
;
4 4 3 .
x y x xy y x
x y
x y xy y x
CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
3
2
1 2
2
7
1
3 10 7 0
3
0; 0
4
3 4 0
0
3
y
y y
x x
x
thì
2
4
9 36 45 0, 0;
3
f x x x x
.
Hàm số liên tục, đồng biến trên miền đó nên
4
0;
3
4 892
3 9
x
Max f x f
7 4 80
1;
3 3 9
y
y Max g y g
, suy ra
108
Max f x g y
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
4
3
x y
. Thử lại, kết luận hệ đã cho có nghiệm duy nhất
4
xem thế nào, đó chính là các điều kiện căn thức. Mời các bạn học sinh theo dõi bài toán 4 sau đây.
B
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n4
4
.
.G
G
i
i
ì
ì
n
n
h
h
2
3 3 2 2
1 3 1,
;
4 3 5 35 5.
x y y
x y
x y x y x y
.
Lời giải.
Điều kiện
2;0
ta có
2
5
3 8 5; 0 1;
3
f x x x f x x
.
Trên miền
2;0
thì hàm số
f x
nghịch biến, liên tục, do đó
5
Max f x g x
. Dấu đẳng thức xảy ra khi
2; 1
x y
.
Cặp giá trị này không thỏa mãn hệ ban đầu, kết luận bài toán vô nghiệm. CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
4
B
B
à
à
i
it
t
o
o
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
3 3 2
2 2 2
3 3 2,
;
1 2 3 2 .
3 3 1 3 6 3 3 1 3 1 3x x x x x y y x x y y
.
Xét hàm số
3 2 2
3 3 0, 0;2
f t t t f t t t t
. Hàm số nghịch biến, liên tục trên
0;2
.
Do đó
1 1
3 2 2
3 3
f t t t f t t t
, dấu của đạo hàm chưa xác định. Tuy nhiên để ý một tý, với điều
kiện
1 0;2 , 0;2
x y
dễ thấy hàm này nghịch biến. Thao tác giải phương trình trùng phương cuối cùng
có lẽ bạn nào cũng xử lý OK.
B
B
à
à
i
it
t
p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
3 3
3
2 2
2
3 2 2 7 3 1 1 1 1
2 2 7 3
1 1
2 1 1 0 2 0 2
2 2 7 3
x
x
x x y y y y
x x
x y y x x
x x
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
2 0
x
Min f x f
.
Xét hàm số
3
3 8 4; 0
g y y y y y
ta có
2
1
9 8 0, 1
2
g y y y
y
.
Hàm số này cũng liên tục, đồng biến suy ra
1
y y y
sẽ tìm miền giá trị của biến x chặt hơn so với
2
x
. Có thể nhiều bạn học sinh vội vàng xét ngay các hàm số
,
f x g y
sẽ gặp phải trở ngại dấu đạo hàm
2
3 6 2; 2?
f x x x x
. Ngoài ra các bạn có thể giải bất phương trình sau để tìm ra
2
x
:
2 2 7 8
x x
.
G
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
.
Lời giải.
Điều kiện
1; 1
y x
. Phương trình thứ nhất của hệ biến đổi thành
3 2 3
2
3 3 2
3 2
3 2
2
2
2 5 4 13 3 1
3 1 2 5 4 1 14 1 2 1 14 14
3 4
8 3 1 6 0 2 2 4 0
1 2
3 2
2 2 4 0 2 0 2
1 2
x x x y y y
17 2 3 1 6 2 4 1
17 2 3 1 6 8 2 2
x x x y y y
x x x y y y f x g y
Xét hàm số
2
4
17 2 3 1 6 1 6
f x x x x f
.
Xét hàm số
3 2
8 ; 2
g y y y y y
ta có
2
f x g x
trong đó
0
g x
với điều kiện căn thức của bài toán. Để tìm điều kiện
của biến y, ngoài lời giải như trên có thể sử dụng tính đơn điệu của hàm số như sau
3 2 3
3 3 2
2 5 4 13 3 1
3 1 2 5 4 1
x x x y y y
g y y y y x x x f x
Dễ thấy các hàm
,
f x g y
đều đồng biến với điều kiện
1; 1
á
n
n8
8
.
.G
G
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
2 2 2 5 7 .
x y y y x
x y
x y y y x y x x
Lời giải.
Điều kiện
1
y
. Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương với
2
3
2
3
2
3
2 2 4 2 3 2
thì
2 1 1 53
y y
(Vô nghiệm). Xét
2
x
thì phương trình thứ nhất của hệ trở thành
3 2
2
9 24 19 2 1 1 0
2 5 2 1 1 1 0 1
x x x y y y
x x y y y
CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
6
Để ý rằng
2
2 5 2 1 1 1 0, 2; 1
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n9
9
.
.G
G
i
i
ả
ả
i
n
h
h
4 2 2 4
2 2 2 2
4 2 2 1 1 ,
;
1 3 .
y x x x y y
x y
x y y xy
.
Lời giải.
Điều kiện
1
2
Xét hàm số
2
2
2
1
1 1 ; 0 1 0, 0
f t t t t f t t
t t
.
Hàm số liên tục, đồng biến với
0
t
nên
2
1 1
x
x x x x x x x
x x
x x
x x
Xét hai trường hợp sau
2
2
0
0
1 1
2 1 0
1 0
x
x
.
Đối chiếu điều kiện ban đầu ta có bốn cặp nghiệm
; 1;1 , 1; 1 , 2 2; 2 1 , 2 2; 2 1
x y
.
Nhận xét.
Bài toán này yếu tố hàm số đã gần như lộ liễu, các bạn học sinh cố gắng cô lập hai ẩn về “Hai bên vĩ
tuyến”, tuy nhiên lưu ý đạo hàm của hàm số phân thức, liên tục trên khoảng, do đó cần xét các trường hợp đặc
biệt trước khi chia, trước khi sử dụng công cụ đạo hàm. Để giải phương trình một ẩn x, có rất nhiều phương án,
ngoài lời giải phân tích bình phương như trên, chúng ta có thể sử dụng đại lượng liên hợp (kèm theo nhẩm
nghiệm), nâng lũy thừa – biến đổi tương đương hay thậm chí đưa về hệ đối xứng loại 2, nhưng e chừng tình
hình sẽ phức tạp hơn!
CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
7Sau đây mời quý độc giả theo dõi bài toán 10, trích lược câu 3, Đề thi tuyển sinh Đại học môn Toán, khối A, Đề
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
r
Lời giải.
Điều kiện
1
x
.
Phương trình thứ hai của hệ tương đương với
2
2 2
2 1 2 1 4 1 4 4 0 0
x x y y y y x y y y y
.
Khi đó phương trình thứ nhất trở thành
4 4 4 4
4 4
4 4
1 1 2 1 1 1 1 1 1x x y y x x y y
.
Xét hàm số
4
1 1, 1
f t t t t
thì
. Thay thế vào phương trình thứ hai thu được
2
4 7 4
7 4
0
4 2 4 0
2 4 0
y
y y y y y y y
g y y y y
Để ý rằng
6 3
7 8 1 0, 0
g y y y y g y
Ngoài cách phân tích bình phương như trên, các bạn có thể coi phương trình thứ hai có dạng ẩn x, tham số
y cũng thu được kết quả tương tự.
B
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n1
1
1
1
.
.G
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
3 3
2
3 2
2 3 1 ,
;
4 16 5 1 2 20 3.
y x x y y
x y
x y y x
3 3 3
1 2 3 1 1 1 0 1
y y y x x y y y
Phương trình thứ hai của hệ tương đương
3 2
4 20 16 20 20 8 0 8
x x y y y f x g y
.
Xét hàm số
3
4 20 ; 2;3
f x x x x
thì
. Do đó
2 8
f x f
và
1 8
g y g
, suy ra
0
f x g y
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
2; 1
x y
2 3
f x x x
trên miền
2;3
.
3. Sử dụng bất đẳng thức căn thức thông thường:
a b a b
, các biến không âm.
Lưu ý dấu đẳng thức xảy ra khi
0
ab
.
Sau khi có miền giá trị các biến, dễ thấy các hàm chứa x và y không tương đồng
f u f v
nên các bạn có
thể liên tưởng tới trường hợp
1
2
2
.
.G
G
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
x x x y y
x y
x y
x
x y
.
Lời giải.
Điều kiện
2 2
2 2 0
x y
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 2 2
1
1
1 0,
1 1 1
t t
t t t
f t t
t t t
.
Như vậy hàm số đang xét đồng biến, và
2 2
1 1 1 0
f x f y x y
.
Phương trình thứ hai của hệ trở thành
2
2
1 1
x x x x x x x x x x
x
x x
.
Kết luận hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
B
B
à
à
i
it
t
p
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
2
2
2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 4 2 2
x x x x x x x
.
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
2 2
3 2
2 6 1 2 6 1 2 1 2 0 1
y y x x x x y y y y
.
Phương trình thứ hai khi đó biến đổi thành
3 2 4 3
4 24 36 3 4 15 15
x x x y y f x g y
0;2
0;2 1 16
x
x Max f x f
.
Xét hàm số
4 3
3 4 ; 1
g y y y y
thì
3 2 2
12 12 12 1 0, 1
g y y y y y y g y
đồng biến.
x y
.
B
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n1
1
4
4
.
.G
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
3 3 2 2
2 3
3 2 10 15 2 4 3 4 ,
;
6 17 1 19 97 72.
x y y x x y
x y
y y x x
y y y x x
x
Xét trường hợp
1
x
thì phương trình thứ hai trở thành
2
6 17 1 6
y y
.
Dễ thấy
2
6 17 1 6, 1 1
y y y y
là nghiệm duy nhất, khi đó
; 1;1
2 30
f x f
, hơn nữa
2
6 17 1 6
g y y y
nên
36 0
f x g y
.
Trường hợp này vô nghiệm.
Kết luận hệ ban đầu có duy nhất nghiệm
; 1;1
x y
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
.
Lời giải.
Điều kiện
1
; 0
2
x y
. Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
4 2
2
4 2
2
2
4 2
2
2
3
1 2 2 1
3 2 6 8 2 0
2
3 2 1
Để ý rằng
2
2
3
2 1 1
3 1
1
0, 1 3 0 1
2 2
x
x
x y y y
x x
f x x x f x
x
Lập bảng biến thiên hàm
f x
, rõ ràng trên miền
1
;
2
1
; 1 1
2
x
x Min f x f
0;1
1 1
y
Min g y g
. Như vậy
0
f x g y
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi
1
x y
. Thử lại vào hệ ban đầu ta có cặp nghiệm
; 1;1
x y
.
Nhận xét.
Thao tác biến đổi phương trình thứ nhất của hệ hết sức thú vị, việc tạo ra các hằng đẳng thức trên thực tế
x
x x x x x y y y x
x
y y y y y y
x
B
B
à
à
i
it
t
o
o
á
á
n
n
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
r
r
ì
ì
n
n
h
h
4 2 2 2
3 3
3 2 4 1,
;
6 .
x y x y
3 3
3 2 2 2 1
3 2 1
3 3
3 3
x y x xy y x xy y y
x y x y x y y
x y x y x y x y
x y x y x y x y
Từ phương trình thứ nhất suy ra
2
2
11
1 1
1 1
3 2
3 ; 1;1 3 3 0, 1;1
f t t t t f t t t
, hàm số liên tục, nghịch biến.
Phương trình thứ hai khi đó có dạng
0
f x y f x y x y x y y
.
Từ đây suy ra
2
1 1 2 2
2 1 ; ; ;0 , ;0
2 2
2 2
x x x y
G
G
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
Điều kiện
1 1
;
3 5
x y
.
Xét phương trình thứ nhất của hệ, để ý rằng
CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
11
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
0
2 2 3
a b b c c a ab bc ca a b c
ab bc ca a b c a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức trên ta có
x y x y x x x y y
f x y g x h y
Xét hàm số
3 2
12 ; 2 3 12 0
f x y x y x y x y f t x y
,
2
x y
.
Hàm số đồng biến với
2
x y
, suy ra
2 16
x
x Min g x g
.
Xét hàm số
3 2 2
0
1
2 3 24; 6 6 ; 0
1
5
y
h y y y y h y y y h y
y
0
f x y g x h y
.
Hệ có nghiệm khi các dấu đẳng thức xảy ra đồng thời, nghĩa là
3 1 4 5 1 1
2; 1 1
x x y y x
x y x y y
Kết luận hệ phương trình ban đầu có duy nhất nghiệm
; 1;1
x y
.
Nhận xét.
Vẫn motip cũ, bài toán không nằm ngoài phạm vi sử dụng tính chất đơn điệu hàm số giải hệ phương trình.
Điểm đáng lưu ý là lời giải sử dụng tổng ba hàm số, trong đó có hai hàm số cần khảo sát sự biến thiên, tìm giá
trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất, may mắn khi các dấu đẳng thức xảy ra đẹp mắt. Thao tác tìm miền giá trị của
tổng
t x y
G
G
i
i
ả
ả
i
ih
h
ệ
ệp
p
h
h
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
g
.
Lời giải.
Điều kiện
2
x
.
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
2 2 4
2 4
2 4
2 1 2 1 2 2 14 49 4 44
2 1 2 2 11 4 4
2 1 2 1 2 9 9 4 3
x x x x x x x y y
x x x x y y
x x x x y y
Rõ ràng
2 1
2 3 0, 2
2 1
x
x x
x
nên từ (1) suy ra
3 0 3
x x
.
Xét phương trình thứ hai của hệ
6 3 2
2
12 42 30 0, 3
f x x x x f x
đồng biến, liên tục nên
3 0
f x f
.
Phương trình (3) có nghiệm khi và chỉ khi
2
3
1 0
1
3
x
y
y
x
pt
t
ư
ư
ơ
ơ
n
n
g
gt
t
ự
ự
.
.Giải các hệ phương trình sau trên tập hợp số thực
1.
3 3 2
3
7 3 6 1 12 ,
3.
3 2
3 2 3
2 5 3 10 6 3 ,
6 13 10.
x y x x y x y
x x x y y
4.
3
3
3 1 3 1,
1 1 1.
x x y y
x y
Lời kết.
Trên đây là 17 bài toán nhỏ, trọng tâm phương pháp sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình
hữu tỷ, hệ phương trình chứa căn nói chung, chỉ là chút chia sẻ phần nào của tác giả. Kiến thức hàm số, đồ thị
hàm số và các kỹ thuật giải phương trình bậc cao, vô tỷ khác chắc hẳn các bạn học sinh đã thuần thục, đáng
lưu ý hơn hết là cách tìm miền giá trị của các biến, đây là mấu chốt và là điểm nhấn của từng bài toán, là đòn
quyết định tính đơn điệu của hàm số đang xét trên một miền, và tất nhiên điều này không đơn giản, như các bạn
đã thấy. Nó đòi hỏi quan sát tinh tế, một chút tư duy, liên hệ, biến đổi đại số và kiến thức bất đẳng thức – cực
trị vừa đủ! Mong các em đọc kỹ và rút được kinh nghiệm quý báu cho bản thân mình.
CREATED BY LUONGTUANDUCXYZ MOON.VN
13
Tính đến thời điểm này, thời điểm nước rút khi mà các bạn thí sinh khắp mọi miền đất nước chuẩn bị bước
vào kỳ thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng đợt 1 năm 2014, một kỳ thi cam go, quyết liệt với nhiều kỷ niệm khó
phai trong quãng đường thư sinh mỗi chúng ta.
Tác giả chúc các bạn học sinh, các bạn độc giả sức khỏe, vui vẻ, bình tĩnh, tự tin, bứt phá, đánh bật đề thi,
đạt kết quả cao trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng sắp tới, cùng nhau vững bước làm chủ tri thức,
làm chủ tương lai, cùng nhau mang sức trẻ và ý chí xây dựng tổ quốc Việt Nam công chính, dân chủ, vững bền,
giàu mạnh, sánh vai cùng các nước trong khu vực, ít ra là CHND Trung Hoa chẳng hạn!
HẾT
Copyright: Tài liệu đại học ©