TỔNG HỢP CÁC PHƯƠNG
PHÁP GIẢI TOÁN:
ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG
GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG.

TRƯỜNG THPT QUỐC HỌC∆
1
1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
1.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Định nghĩa 1:
Góc giữa hai đường thẳng
∆
1
và
∆
2
là góc giữa hai
đường thẳng
∆
’
1
và
∆
’
2
cùng đi qua một điểm và lần lượt

II.CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP ĐỂ CHỨNG MINH
2 ĐƯỞNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU TA CÓ THỂ
SỬ DỤNG 1 TRONG CÁC PHƯƠNG PHÁP SAU:
CÁCH 1:QUY VỀ HÌNH HỌC PHẲNG:
*nếu 2 đường thẳng đó đổng phẳng ta vận dụng pp
c/mtrong hình học phẳng:
a,b đồng phẳng
a’ // hoặc trùng a
b’ // hoặc trùng b
a’ cắt b’
Khi đó: góc (a,b)=góc(a’,b’)
a
b
a’
b’Sau đó c/ tỏ góc tạo bởi 2 đường thẳng là 1v
Sau đó c/ tỏ góc tạo bởi 2 đường thẳng là 1v
a. Tính ch t các hình(Hình vuông, HBH ,Tam giác vuông,cân, ấ
a. Tính ch t các hình(Hình vuông, HBH ,Tam giác vuông,cân, ấ
đ u…)ề
đ u…)ề
Vd:
Vd:2 đchéo hình vuông thì vuông
2 đchéo hình vuông thì vuông


2
= AB
= AB
2
2
+AC
+AC
2
2
⇔ AB ⊥AC tại A
5cm
3cm
4cm
A B
CCÁCH 2:S D NG TÍCH VÔ H NGỬ Ụ ƯỚ
CÁCH 2:S D NG TÍCH VÔ H NGỬ Ụ ƯỚ
a) NÕu lÇn lît lµ c¸c vÐct¬ chØ ph¬ng cña AB vµ CD th×:
,u v
r r
AB ⊥ CD ⇔
u. v = 0
PHƯƠNG PHÁP:
B1. Chọn bộ 3 vectơ không đồng phẳng (hệ cơ sở )
có chung 1 điểm gốc (A,B,C,D…)
B2. Biểu diễn các vectơ cần chứng minh qua hệ cơ
sở :
+áp dụng qui tắc chèn (3 điểm )
v i m i đ ng th ng ớ ọ ườ ẳ
v i m i đ ng th ng ớ ọ ườ ẳ
n m trong mp.ằ
n m trong mp.ằ
a
a
⊥
⊥mp(P).
mp(P).
b thu c mp(P). ộ
b thu c mp(P). ộ
⇒ a ⊥b
P
a
b

C n chú ý ph ng pháp này kháquan tr ng trong bài ầ ươ ọ
C n chú ý ph ng pháp này kháquan tr ng trong bài ầ ươ ọ
toán c/m vuông góc gi a đ ng v i đ ng b ng cách ữ ườ ớ ườ ằ
toán c/m vuông góc gi a đ ng v i đ ng b ng cách ữ ườ ớ ườ ằ
th c hi n tu n t và k t h p v i các m nh đ sau.ự ệ ầ ự ế ợ ớ ệ ề
th c hi n tu n t và k t h p v i các m nh đ sau.ự ệ ầ ự ế ợ ớ ệ ề
Đ nh lí 3 đ ng vuông góc:ị ườ
Đ nh lí 3 đ ng vuông góc:ị ườCho đ ng th ng a khônh vuông góc v i mp (P) ươ ẳ ớ
Cho đ ng th ng a khônh vuông góc v i mp (P) ươ ẳ ớ
.Khi đó , đi u ki n c n và đ đ b vuông góc a là b ề ệ ầ ủ ể
.Khi đó , đi u ki n c n và đ đ b vuông góc a là b ề ệ ầ ủ ể
vuông góc v i hình chi u a’ c a a trên (P).ớ ế ủ
vuông góc v i hình chi u a’ c a a trên (P).ớ ế ủ
H
O
d
M
A’
B’
A
B
P
a’Cách 4:c/m b ng ph ng pháp ph n ch ng.ằ ươ ả ứ
Cách 4:c/m b ng ph ng pháp ph n ch ng.ằ ươ ả ứ
-Gia s đi u c n ch ng minh là sai.ử ề ầ ứ
-Gia s đi u c n ch ng minh là sai.ử ề ầ ứ
(P) (Q)= ∆
a ⊥(P); a ⊥ ∆
b ⊥(Q);b ⊥ ∆
⇒ a ⊥c ∆
a
b
P
PBÀI T P V N D NG Ậ Ậ Ụ
BÀI T P V N D NG Ậ Ậ ỤBÀI 1.Ch ng minh r ng n u hai c p c nh đ i ứ ằ ế ặ ạ ố
BÀI 1.Ch ng minh r ng n u hai c p c nh đ i ứ ằ ế ặ ạ ố
c a m t t di n vuông góc v i nhau thì c p ủ ộ ứ ệ ớ ặ
c a m t t di n vuông góc v i nhau thì c p ủ ộ ứ ệ ớ ặ
c nh đ i th ba cũng vuông góc v i nhauạ ố ứ ớ
c nh đ i th ba cũng vuông góc v i nhauạ ố ứ ớ
.
.GI I:Ả
GI I:Ả
Cho t di n ABCD .gi s ứ ệ ả ử
Cho t di n ABCD .gi s ứ ệ ả ử
AB
AB
+AC.CD
+AC.CD
=AC.(BA+AC+CD) (DO BA
=AC.(BA+AC+CD) (DO BA
⊥
⊥
CD)
CD)
=AC.BD =0 (DO AC
=AC.BD =0 (DO AC
⊥
⊥
BD)
BD)V y BC ậ
V y BC ậ
⊥
⊥
AD
ADK AH (BCD) .Ta có :ẻ
K AH (BCD) .Ta có :ẻ
CD
CD

⊥
⊥
AH
AH
A
B
D
C
D’
B’
C’ H
⇒ CD ⊥(ABH) ⇒ CD ⊥ BH
⇒ BC⊥(ADH) ⇒ BC ⊥ AD
CÁCH 2: CHỨNG MINH BẰNG HÌNH HỌC CÁCH 3:CH NG MINH B NG PH N CH NGỨ Ằ Ả Ứ
CÁCH 3:CH NG MINH B NG PH N CH NGỨ Ằ Ả Ứ

BÀI 2.Cho t di n ABCD có ứ ệ
BÀI 2.Cho t di n ABCD có ứ ệ
AB=6cm,CD=8cm .G i I,J,K l n l t là ọ ầ ượ
AB=6cm,CD=8cm .G i I,J,K l n l t là ọ ầ ượ
trung đi m các c nh BC, AC, BD.Cho bi t ể ạ ế
trung đi m các c nh BC, AC, BD.Cho bi t ể ạ ế
JK=5cm. Ch ng minh r ng AB ứ ằ
JK=5cm. Ch ng minh r ng AB ứ ằ

Do đó IJ
2
2
+IK
+IK
2
2
=9+16=25=JK
=9+16=25=JK
2
2⇒
⇒∆
∆
IJK vuông góc
IJK vuông góc
t i I SUY RA (IJK)=90ạ
t i I SUY RA (IJK)=90ạ
0
0
;IJ // BA,IK // CD.Nên
;IJ // BA,IK // CD.Nên
(AB,CD)=JIK= 90
(AB,CD)=JIK= 90
0

BÀI GI I:ẢCách 1:
Cách 1:G i I là trung đi m c a AC .ọ ể ủ
G i I là trung đi m c a AC .ọ ể ủBA=BC
BA=BC
⇒
⇒
BA
BA
⊥
⊥
AC (1)
AC (1)DA=DC
DA=DC
⇒
⇒
DI
DI
⊥
AC.BD =2AI .(BI+ID)
AC.BD =2AI .(BI+ID)=2AI.BI+2AI.ID (Do AI
=2AI.BI+2AI.ID (Do AI
⊥
⊥
BI và AI
BI và AI
⊥
⊥
ID )
ID )= 0
= 0Suy ra AC
Suy ra AC
⊥
⊥
BD.(dpcm)
BD.(dpcm)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
.Cho hình vuông ABCD.Trên đường thẳng

Ví dụ 3
Cho hình tròn tâm O,đường kính AB nằm
trong mặt phẳng (P).Trên đường vuông
góc với (P) tại A lấy điểm S,trên dường
tròn (O) lấy điểm C,kẻ AI vuông góc
SC,AK vuông góc AB.Chứng minh rằng:
a)Các mặt tứ diện SABC là các tam giác
vuông.
b) AI vuông góc IK,IK vuông góc SB.I
S
A
B C
D
Vi du 4
Cho hình chóp
S.ABCD có đáy là
hình thang ABCD
vuông ở A và
B,AD=2AB=2BC.
a)Chứng minh
các mặt bên của
hình chóp là
những tam giác
vuông.
b)Gọi I là trung
điểm của AD
chứng minh BI

αI
A
S
C
B
H
Ví dụ 5
Cho hình chóp S.ABC có
SA vuông góc
(ABC),AB=AC,I là trung
điểm của BC
AH vuông góc SI.Chứng
minh:
a)BC vuông góc AH.
b)AH vuông góc SB.
c)SC không vuông góc
với AI.
⊥