Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“Một số phương pháp giải toán cực trị”.
MỞ ĐẦU
I - CƠ SỞ THƯC TIỄN
Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt
trội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục
nào đó mà không ai vượt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy
trong mỗi lĩnh vực lại có những đại lượng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" người
ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các
đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũng
như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm… Nội dung các bài toán cực trị
rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khi
khá độc đáo và bất ngờ.
Ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loại
toán này với dạng chuyên đề. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồng
nghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh.
Với những lí do như vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số
phương pháp giải toán cực trị”. Với mong muốn được trình bày một vài kinh
nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự
đóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả.
II - NHIỆM VỤ CỦA SÁNG KIẾN:

1/ Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:
1
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)
- Phương pháp nghiên cứu:
+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh.
+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinh
giỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện.

xác định trên miền
D
, ta nói
M
là giá trị lớn
nhất của
, ),( yxf
trên
D
nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
i) Với
, yx
thuộc
D
thì
Myxf ≤, ),(
với
M
là hằng số.
ii) Tồn tại
,
00
yx
thuộc
D
sao cho
Myxf =, ),(
2/ Định nghĩa 2:
Cho biểu thức
, ),( yxf

Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này,
ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản
xạ sau:
+ Chứng tỏ
Myxf ≤, ),(
hoặc
myxf ≥, ),(
) với mọi
, , yx
thuộc
D
+ Chỉ ra sự tồn tại
,
00
yx
thuộc
D
để
, ),( yxf
đạt cực trị.
Chú y đến miền giá trị của biến.
Ta ký hiệu
MaxA
là giá trị lớn nhất của
MinAA,
là giá trị nhỏ nhất
của
A
II - MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ
NHẤT CỦA HÀM SỐ:

2
xfxfMin
Dx
Dx
∈
∈
=
3/ Tính chất 3:
)()())()(/
21
xfMaxxfMaxxgxfMaxa
DxDxDx ∈∈∈
+≤+

)1(
)()())()(/
21
xfMinxfMinxgxfMinb
DxDxDx ∈∈∈
+≤+

)2(
4
Một số phơng pháp giải toán cực trị
Du bng trong
)1(
xy ra khi cú ớt nht mt im
0
x
m ti ú

=
thỡ
{ }
mMMaxxfMax
DxDx
,)(

=
.
6/ Tớnh cht 6:
Gi s
{ }
0)(;
1
= xfDxD
v
{ }
0)(;
2
= xfDxD
thỡ

{ }
)(min);(max)(
2
1
xfxfMinxfMin
Dx
DxDx


Ta có:
xxxx ∀≥+−=+− ,44)12(544
22
x
xx
∀≤
+−
⇒ ,
4
3
544
3
2
2
1
4
3
=⇔=⇒ xAMax
Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “
A
có tử số là số không đổi nên
A
có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà
chưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương.
Ta đưa ra một ví dụ:
Xét biểu thức
4
1
2
−

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức:
Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự
nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét:
44)12(544
22
≥+−=+− xxx
nên tử và mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra
0
>
A
,
do đó
A
lớn nhất khi và chỉ khi
A
1
nhỏ nhất
544
2
+−⇔ xx
nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
22
yxA +=
biết
4=+ yx
Lời giải sai:
6
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ

x
nhỏ nhất
20)2(44
22
=⇔=−⇔−=⇔ xxxx
.
Dẫn đến:
24
2
=⇔= xMinx
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min
00
2
=⇔= xx
Cách giải đúng:
Ta có:
1624)(
2222
=++⇔=+ yxyxyx
)1(
Ta lại có:
020)(
222
≥+−⇒≥− yxyxyx
)2(
Từ
)1(
,
)2(
:



++=+= xxxxxA
Vậy
4
1
−=MinA
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh
,
4
1
)( −≥xf
chưa chỉ ra
trường hợp
7
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
xẩy ra dấu đẳng thức
.
4
1
)( −≥xf
Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
,
2
1
−=x
vô lý.
Lời giải đúng:
Để tồn tại
x

64
1
=MaxA
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp
xẩy ra dấu đẳng thức. Điều kiện để
64
1
=A
là:
8









≥
=++
=+
=+
=+
0,,
1
zyx
zyx
yxz
xzy

do 2 vế đều không âm)
3
3
9
2
.92






≤⇒≥ AA
3
1
9
2
3
===⇔






= zyxMaxA
CHƯƠNG II:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
1/ Phương pháp tam thức bậc hai
I - NỘI DUNG:

P
nếu
0
<
a
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/
1515)4(18
22
−≥−−=+−= xxxA
415min
=⇔−=⇒
xA
2/
11)1(2142
22
−≥−−=+−= xxxB
11min
=⇔−=⇒
xB
3/
3
7
3
7
3
2
3143
2

2
22
−
−






−=






++=++=
+ Nếu
a
b
x
a
acb
Pa
24
4
min:0
2
=⇔

NkxfB
k
∈=
VD2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
)7)(4)(3( −−−= xxxxC
HD: Dùng phương pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là
hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai.
VD: Tìm giá trị lớn nhất của
544
3
2
+−
=
xx
M
Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là
bình phương nhị thức:
VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
)1(
1
+
++
=
x
xx
P

2
2
≥+






−=+−= yyyP
1
2
1
4
3
=⇔=⇔= xyMinP
Cách 2: Viết
N
dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không
âm:
4
3
1(2
1
4
3
)1(4
444
2
2

11
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
Biết
yx,
là nghiệm của phương trình:
1025 =+ yx
Giải:
Ta có:
2
510
1025
x
yyx
−
=⇔=+

)10016059(
4
1
2
−+−=⇒ xxA
25
59
160
4
59
2
−



25
59
1600
59
80
4
59
2
−+






−−= x
59
125
59
80
4
59
59
125
2
≤





b/
132
2
++−= xxB
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/
)5)(3(2)(1( −−−−= xxxxA
b/
542
22
+++−= yyxxB
22
52 yxP +=
với
73· =− y
abbaQ ++=
33
với
1
=+
ba
IV - TIỂU KẾT:
12
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức
bậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ
năng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để
biến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai.
2/ Phương pháp miền giá trị của hàm số:
I - NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:

Vì
0
y
là một giá trị bất kỳ của
)(xf
nền từ
)3(
ta thu được:
axfMin =)(
và
bxfMax =)(
trong đó
.Dx
∈
Như vậy thực chât của phương pháp này là đưa về phương trình bậc
hai và sử dụng điều kiện
.0
≥∆
II - CÁC VÍ DỤ:
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
1
1
2
2
++
+−
=
xx
xx
A


1
22
+−=++⇔ xxaaxax

)2(0)1()1()1)(
2
=−+++−⇔ axaxa
+ TH1: Nếu
1
=
a
thì
)2(
có nghiệm
0
=
x
+ TH2: Nếu
0
≠
a
thì để
)2(
có nghiệm, cần và đủ là
0
≥∆
, tức là:
0)1(4)1(
22

=
−
+−
=
Với
3
1
=a
thì
,1=x
với
3
=
a
thì
1
−=
x
Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có:
1
3
1
=⇔= xMinA
13
−=⇔=
xMaxA
Cách khác:
3
1
)1(2

)1(3
)12(2
)1(3
1
333
333
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
++
−
+=
++
+−
+
++
++
=
++
+−
=
xx
x
xx

2
=−
++
+−
m
xx
xx
3/ Cho phương trình: (
01)3102()123
222
=−++−++ xmmxmm
có 2
nghiệm
.,
21
xx
Tìm giá trị lớn nhất của tổng
.
21
xx +
III - BÀI TẬP TỰ GIẢI:
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
1
/
2
2
+
++
=

=∈∃
∈∀≤
⇔=
MxfDx
DxMxf
xMaxfM
00
(:
,)(
)(



=∈∃
∈∀≥
⇔=
mxfDx
DxMxf
xfMinm
00
(:
,)(
)(
Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
)(xf
trên
miền
D
nào đó, ta tiến hành theo hai bước:
+ Chứng minh một bất đẳng thức

k
,0)(
2
≤−
nguyên dương
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
3/
.0≥a
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
4/
aaa ≤≤−
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
5/
baba +≤+
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0≥⇔
cùng dấu)

baba +≥−
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0≥⇔

ba,
bất kỳ.
ab
ba
≥
+
2
(hoặc
)2
22
abba ≥+
. Xẩy ra dấu đẳng thức
ba
=⇔
+ Đối với
:, ,1;0
1
nia =≥∀
n
n
aaa
n
aaa
221
21≥
+++
9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:

b
a
b
a
=⇔
(với quy ước rằng nếu
0=
i
a
thì
0=
i
b
).
10/ Bất đẳng thức Trêbưsép.
+ Nếu
n
aaa ≥≥≥
21n
bbb ≥≥≥
21
thì
) ).( () (
21212211 nnnn
bbbaaabababan ++++≥+
Dấu bằng xẩy ra
ji

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
444
zyxP ++=
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpsxki đối với
),,( zyx
và
),,( xzy
22222222222
)(1))(()(1 zyxxzyzyxzxyzxy ++≤⇒++++≤++=

)1(
Mặt khác, đối với
)1,1,1(
và
),,,
222
zyx
ta có:
).()111().1.1.1(
44422222222
xzyzyx ++++≤++
)2(
Từ
)1(
và
)2(
suy ra:
3
1








==
==
⇔=
222
111
3
1
zxy
x
z
x
y
y
x
MinP
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng:
ab
ba
≥
+
2
Ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:

b/ Điều kiện:
2;1 ≥≥ yx
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích:
2
ba
ab
+
≤
Ta xem các biểu thức:
2,1 −− yx
là các tích:
)1.(11 −=− xx
2
)2.(2
2
−
=−
y
y
Theo bất đẳng thức Côsi:
2
1
2
11
)1.(1
1
=
−+
≤
−



=
=
⇔



=−
=−
⇔
+
=+=
4
2
22
11
4
22
4
2
2
1
y
x
x
x
MaxB
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
32 −+−= xxA

10001000
∈⇔=⇒≥−+−= xYxxY
Vậy
100000010001999 531
2
==++++=yMin
Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:
2004 21 −+++−+−= xxxy
2/ Chứng minh bất đẳng thức:
20
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
6
102004 21 ≥−++−+−= xxxy
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2002 21 −++−+−= xxxy
III - BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
32
)1()1( xxA −−=
với
1≤x
HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm:
3
1
;
3
1
;
3

21
Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n cùc trÞ
KẾT QUẢ ÁP DỤNG
Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi,
phần chuyên đề “Toán cực trị” đã phát huy tính tích cực sáng tạo của học
sinh - học sinh không còn cảm thấy ngại mà ngược lại còn rất hứng thú khi
gặp những bài toán về cực trị. Kết quả thể hiện như sau:
Khi chưa áp dụng: Đối với 9B năm học 2006 - 2007 số học sinh đạt
điểm giỏi môn toán của 9B chỉ đạt 30%. Những khoá học trước HSG huyện
môn toán lớp 9 chỉ đạt 1 đến 2 em. Năm học 2005 - 2006, lớp 9B tôi dạy
môn toán có đến 60% số học sinh đạt điểm giỏi và 5 em đạt HSG huyện.
Đây là một kết quả đáng ghi nhận trên một địa bàn giáo dân như xã Sơn
Tiến.
22