PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình
không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9
Họ và tên: Nguyễn Văn Hiến
Đơn vị: THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU 3
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN 3
1. Cơ sở lí luận 3
2. Cơ sở thực tiễn 4
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU 5
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 5
2. Đối tượng nghiên cứu 6
3. Phương pháp nghiên cứu 6
B. NỘI DUNG 6
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ
6
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 6
2. Hệ phương trình đối xứng loại một 8
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai 9
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 10
phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số”. Trong chương trình
toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn
như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ở
mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương
trình chứa dấu căn. Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh
được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại
số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải
hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ,
không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này
là hệ phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu
mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương
đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương
trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng
của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ.
2. Cơ sở thực tiễn
Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học
sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các
phương pháp giải. Trong khi đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phương
trình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa và
ngay cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở.
Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh
phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp
lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ
kiến thức của học sinh. Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên,
đề thi khảo sát chất lượng học kì 2 môn toán 9 nhiều năm gần đây của Sở
- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh
theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập
khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ
phong phú cho tứng phương pháp.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các
phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần
lưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:
- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử.
- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học.
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.
- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát
điều tra thực tế.
B. NỘI DUNG
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CẦN NHỚ
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:
(1)
' ' ' (2)
ax by c
a x b y c
+ =
+ =
+ =
Lời giải:
Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế)
- Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có
5 2y x= −
. Thay vào phương
trình (1) của hệ ta được:
( )
3 2 5 2 4x x− − =
Hay
7 14x
=
.
- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
7 14 2
5 2 1
x x
y x y
= =
⇔
= − =
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2; 1 .x y =
Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)
x y
− =
+ =
có:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
7
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
3 2 4 2 3 4
3.1 2.2 7 0; 4.1 5.2 14; 3.5 2.4 7
2 1 5 1 2 5
x y
D D D
− −
= = + = ≠ = = + = = = − =
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất:
14
2
7
7
1
7
x
y
D
x
D
D
, với điều kiện
2
S 4P 0− ≥
đưa
hệ đã cho về hệ đơn giản hơn đã biết cách giải.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
( )
2 2
11
3 28
x y xy
x y x y
+ + =
+ + + =
Lời giải:
Đặt
S x y= +
và
P xy=
, khi đó hệ đã cho có dạng:
2
11 (1)
2 3 28 (2)
S P
S P S
=
Suy ra
( ) ( )
; 2; 3x y =
hoặc
( ) ( )
; 3; 2 .x y =
* Nếu
10S
= −
thì
21,P =
nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
8
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
( ) ( )
3
10 21 0 3 7 0
7
t
t t t t
t
= −
+ + = ⇔ + + = ⇔
= −
.f , 0
f , 0
x y
x y x y
x y
− =
− = ⇔
=
Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được.
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:
3
3
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x
+ =
+ =
Lời giải:
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
( )
( )
1
2 1 0 1 1 0
1 5
2
x
x x x x x
x
=
− + = ⇔ − + − = ⇔
− ±
=
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
9
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
1; 1 ; ; ; ; .
2 2 2 2
− − − − − + − +
÷ ÷
÷ ÷
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC
2 1 0
1 0
2 1
2 1 2 1 1 0
2 1
5 1 0
2 1 1
0 0
2 1 1
1 1
x y
x y xy
x y
y y y y
x y
y y
x y x
y y
x y x
y y
− + =
− + − =
= −
⇔
( ) ( )
1; 0 ; 1; 1 .−
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
10
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên
ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ,
theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận
được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào
phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình
thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất
hiện mẫu số.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
( ) ( )
2 2
2
1 1 3 4 1 (1)
1 (2)
+ + + = − +
+ + =
x y x y x x
xy x x
Lời giải:
Nhận thấy
2
2
1 1
3 4 1
1
1
1 2 1 1 3 1
1
1
1
1
1
2 1 2 0
2
2
1
1
1
1
5
2
x x
x x x x
x x
x
y
x
x x x x
x
− − = − −
⇔
−
+ =
=
=
= −
− + =
= −
⇔ ⇔ ⇔
= −
Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên
ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên
việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét
( )
0; y
không là nghiệm của hệ để từ đó với
0x ≠
ta có thể tính
2
1
1
x
y
x
−
+ =
và hệ
nhận được tương đương với hệ đã cho.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2
10 0
4 2 20 0
x y x
x y x y
+ − =
= −
= −
⇔ ⇔
= −
= −
= −
= −
2 2
2
2
2
10 0
là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc
cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình
là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
( )
( )
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
+ + + =
+ + − =
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
12
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
Li giai:
*) D thy
0x y= =
l nghim ca h.
*) Cỏc cp s
( )
x y với y 0 hay = =; x 0; x 0; y 0
u khụng l nghim.
*) Vi
xy 0.
( ) ( ) ( )
( )
( )
=
+ + =
=
=
+ =
+ =
=
2
3 2
2 1
2 1 2 1 3 2 1 4 2 1
2 1
2 1
1 10 9 1 0
10 19 10 1 0
2 1
41 1 41 1
1
1
10 10
hoặc hoặc
9 41
1
9 41
20
20
9 41
20
x y
y y y y y y y y
x y
x y
y y y
y y y
x y
( )
( )
( ) ( )
( )
+ + + =
+ + =
+ + + + + =
+ + =
2 5
3 4
3 2 4 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
x y xy x y x y xy x y xy xy
x y xy x y xy
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
+ + =
=
+ + =
2 1 0
3 4
0
3 4
0
3 4
2 1
3 4
xy x y
x y xy x y xy
x
2 2
3 3 3 3 2 2
2 2 2 2
3 3
2 2
2 2
9
9
3 2 3 4
2 4
9 3 3 6 12 9
3 3 6 12 9 9 2 4
1 2
1 2
2 4
2 4
x y
x y
x y x y
x y x y
x y x y x x y y
x x y y x y x y
x y
x y
x y x y
x y x y
=
=
( ) ( )
2
2
2
3
3
3 2 0
3 2 3 4
2
1
1
2
x y
x y
y y
y y y y
x
y
x
y
= +
= +
+ + =
cac hờ sụ cua tng hang t trong mụi phng trinh va hoc sinh a c tiờp
cõn vi cach biờn ụi tng t nh trờn.
BI TP.
Bi 1: Gii cỏc h phng trỡnh sau
( )
( ) ( )
+ =
+ + =
=
+ + = +
+ =
+ =
+ =
+ = =
+ = +
+ = + + =
+ =
+
x y x y x y x y
x y
x
+ + == + + + + =2
2 3 2 2
5 9
8)
2 4 3 2 6 18
x x y
y x y x x y xy x
Bi 2: Cho h phng trỡnh
+ = +
+ =
2 2 2
1
(m l tham số)
2 3
x y m
x y xy m m
a) Gii h phng trỡnh khi m = 3.
+ =
=
= =
+ =
+ = =
== =
2
5 6 0
2 1
2 3 0
2 1
2
2 2
2 2 1
2 1 9 1
33 3
2 1 19 1
2 3 1
2 2
3 3
hoặc
1 1
3
x xy y
x y
x y x y
x y
x y
x y x y
y y
x y y
x yx y x y
x y y
y y
x x
ữ ữ
ữ ữ
2 1 2 1 3 19 19 3 19 19
; ; ; ; ; ; ; .
3 3 3 3 19 19 19 19
Nhõn xet: Trong hờ phng trinh trờn, phng trinh th nhõt chinh la
phng trinh ng cõp bõc hai, tuy nhiờn ụi vi hoc sinh lp 9 khụng nờn
giai bng cach t x = ky vi vi cach giai nay hoc sinh rõt kho hiờu tai sao
lai nghi ra cach t o. Chinh vi võy, khi day giao viờn nờn hng dõn hoc
sinh hay phõn tich phng trinh th nhõt vờ dang tich va biờn ụi tiờp nh
cach giai trờn.
Vớ d 2. Gii h phng trỡnh sau:
2 2
2 2
2 5 2 0 (1)
(TS Chuyờn Toỏn H 2011 2012)
4 0 (2)
x y xy y x
x y x y
+ + + =
+ + + =
ng Yê n
+ + + =
+ + + =
+ + + =
+ =
+ + + =
=
+ + + =
Gii h (a):
Giai hờ (b):
( ) ( )
2 2
2
2
2
2 1 0
4 0
1
1
2 1
2 1
4
5 4 0
2 1 2 1 4 0
5
13
5
x y
x y x y
x
y
y x
y x
x
x x
=
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
16
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
Võy hờ a cho co hai nghiờm:
( )
4 13
1; 1 ; ;
5 5 ữ
.
Nhõn xet:
- Ta cú th xem phng trỡnh (1) ca h l phng trỡnh bc 2 i vi n x
cũn n y l tham s v tin hnh gii nh sau:
( )
= phơng tr ì nh đợc
Khi đ
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 13
; 1; 1 ; ; .
5 5
*) Khi 2 2 thay vo (2) ta cú : 2 2 1 0 1
; 1; 1 .
; 1; 1
x y
x y y x x x x
x y
x y
ữ= + = + = =
+ + =
+
+ =
HSG tỉnh Hng Yê n năm học
Li giai:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
*) : 0
(1) 1
0
x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y x y
x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x x x x x
+ + + + +
=
+
+
+ + =
ữ
+
+
+ = + > + >
+
+ =
= + = =
V ì nê n
Thay vào pt (2) ta đợc : 1 h
( ) ( ) ( )
{ }
2.
; 1; 0 ; 2; 3 .
x
x y
1 0
1 0 Do 0 nờn 0
xy
x y
x y
xy
x y xy xy
x y
x y xy
x y
x y x y x y xy x y
x y x y x y xy
x y x y x y
x y x y x y x y
+ + =
+
+ + + =
+
+ + =
ữ
+
+ + + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ = + > + + + >
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau
2 2
x y x y
x y x y
Do ú ta co:
+ =
+ + =
+ =
+ + =
+ =
+ + =
2 2
2 4
( )
4 2 7
2
2 4
2 4
2 4
4 2 4 2 4 2 7
4 2 7
8 16 11 0
x y
x y
x y
y y y y
xy x y
y y
Vi phng trinh
+ + =
2
8 16 11 0y y
co
' 24 0 = <
nờn vụ nghiờm. Do võy hờ (a)
vụ nghiờm.
Giai hờ (b):
( ) ( )
=
+ =
2
3 2
2 3
4 3 2 3 2 2 7
4 2 7
3 2 1
3 2
1 2
2 3 1 0
1 1
2 2
x y
x y
y y y y
xy x y
x y x y
x y
y x
y y
y y
Võy hờ a cho co 2 nghim:
( )
1
1; 1 ; 2; .
2
ữ
+ + = +
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
19
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
2 2
2 2
3 3
2 2
2
2 2
2
1
3) 4)
2 1 2 2
1
3 2 4 16
5) 6)
1 5(1 )
2 8
2
7)
4 5(2 )
xy x y x y
x y x y x y
x y y x x y
x y
x y xy x y y x
y x
+ =
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2
3 ( 1) ( 3) 4
8)
2 1
2 2 2
5 4 4
9) 10)
1 2
5 4 16 8 16 0
2 2 5
11)
5 7
x x y y y x
x xy y
x xy y y x
y x x
y x y x
x y xy x y
x xy y
y xy x
2 2
12)
3
1 1
7 7
13) 14)
2
2 1
4
15)
1 1 2
x x y y
x y x y
x y
x x y y
x y
x y x y
y x
x y x y
x x y y y
+ = +
+ = +
=
2
1 4
2 7 2
x y xy y
x y x y
+ + + =
+ = + +
(1)
(Thi HSG tỉnh Hng Yên năm học 2010-2011)
y (2)
Li giai:
* Nhõn thõy moi cp sụ
( )
;x y
vi y = 0 ờu khụng phai la nghiờm cua hờ.
* Khi
y 0
, chia ca hai vờ cua (1) va (2) cho y ta c hờ:
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
20
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
( )
2
2
=
= +
, khi o hờ trờn tr thanh:
2
4
2. 7
u v
v u
+ =
= +
Giai hờ phng trinh:
( )
2
2 2
4
4 4
1 9
3 5
2 4 7
2. 7 2 15 0
u v
u v u v
u u
thay vao cach t õn phu ta c:
2
2 2
1
1 1 2
1 2 0
2 5
3 3
3
x
x x
y x x x
y
y y
y x y x
x y
+
= = =
= + + =
= =
= =
= + + + =
= =
+ =
Hờ nay vụ nghiờm vi phng trinh
2
9 46 0x x+ + =
co
103 0 = <
nờn vụ
nghiờm.
Võy hờ a cho co 2 nghiờm:
( ) ( )
1; 2 ; 2; 5 .
Nhõn xet:
- Vi hờ phng trinh trờn viờc võn dung cac phep biờn ụi tng ng mụt hờ
gp kho khn vi khụng thờ s dung c quy tc thờ hay quy tc cụng ai sụ.
- ờ co thờ lam xuõt hiờn nhng yờu tụ c lp i lp lai trong cac phng
trinh cua hờ, nh o ta t c õn phu thi cõn chia ca hai vờ cua tng
phng trinh cho
0y
.
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
21
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Đặt
2
2
3
x u
y v
− =
− =
, khi đó hệ phương trình trên trở thành:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v
+ =
+ + =
Giải hệ trên ta được
2
0
u
v
=
=
;
2
5
x
y
=
=
;
2
5
x
y
= −
=
.
Nhận xét:
Lời giải:
* ĐK:
0.x y+ ≠
* Hệ đã cho được viết lại dưới dạng sau:
( )
( )
( ) ( )
2
2
3
4 4 2 7
1
3
xy x y xy
x y
x y x y
x y
+ + − + =
+
+ + + − =
+
x y
+ + =
+
+ + + =
+
+ + + =
+
+ + + =
+
* t
2 2
3 2 7
2
3 13
1
3
3
u v
u
u v
v
u v
u v
+ =
=
+ =
=
+ =
+ =
* Thay vao cach t ta c:
1
=
Nhõn xet: Viờc biờn ụi hờ trong vi du nay nhõn thõy ngay phai s dung hng
ng thc ang nh ờ nhm xuõt hiờn
( )
2
x y+
, o chinh la c s ờ thc
hiờn cach biờn ụi hờ tao iờu kiờn thuõn li cho viờc t õn phu.
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau:
2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
+ + + + =
+ + + =
=
, khi o ta c h mi
2
5
4
5
4
a ab b
a b
+ + =
+ =
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
23
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Giải hệ phương trình mới nhận được ta có:
2
2 3 2
3 2
2
5 5
= − − = − = −
* Với
0
5
4
a
b
=
= −
, ta được
3
2 2
3
3
10
0
2
5 5
= −
, ta được:
2
2
3
1
1
1
2
2
3
3
2 3 0
2
2
x
x y
y x
y
xy
x x
=
trường Đại học. Rõ ràng với phương pháp đặt ẩn phụ giúp chúng ta giải được
nhiều hệ tương đối phức tạp bằng cách đưa về việc giải các hệ đơn giản hơn.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau:
( )
2
1 1 4 3.
3
2
2
x y x y x y
x y
+ + + = + + +
− =
Lời giải:
* ĐK:
0x y+ ≥
* Đặt
; 0.t x y t= + ≥
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :
( ) ( )
( )
1 2
2 1 2 1
1 3
3
2
3 1
2
2 6
x
x y
x y y
=
+ =
⇔
− = = −
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
2 1
;
3 6
−
2 2
2 2
1
1 5
1 4
1) 2)
1 2
1
4
15
2 4
3) 4)
1 1
3
85
3
2.
1
5)
x y
x y y x y
xy
x y x y
xy
xy
x y
x y
x y y x xy
y x
x
+ + =
+ + =
÷
+
+ −
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1
1
2 2
+ + =
− − = −
+ + − =
+ + = +
+ + = + +
− =
− + = −
+ + = −
2
2
Copyright: Tài liệu đại học ©