Sáng kiến kinh nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT CAO BÁ QUÁT GIA LÂM
*********
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
“
PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ
PHỨC VÀ MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI
GIẢI BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC
”
Môn: Toán
Tên tác giả: Bùi Thị Hải
Giáo viên môn: Toán
Năm học 2011 - 2012
PHẦN MỞ ĐẦU
1
Sáng kiến kinh nghiệm

I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Từ năm học 2008 – 2009, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã chính thức đưa nội dung
“số phức” vào chương trình phổ thông. Đây là một nội dung mới đối với học
sinh bậc phổ thông, mặc dù nội dung còn ở mức độ đơn giản song nó là mới lạ
đối với học sinh lớp 12, đặc biệt nó chỉ được phân bố trong khoảng thời lượng
không nhiều, mặt khác tài liệu tham khảo về nội dung này còn rất ít, đã vậy nội
dung này đã được đưa và hầu hết các đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học trong
những năm gần đây và nó chiếm một tỉ lệ nhất định. Vì vậy việc dạy và học “Số
phức” có hiệu quả thật sự là một vấn đề cần nghiên cứu. Trải qua hai năm tham
gia dạy chương trình toán lớp 12, tôi đã có những trải nghiệm nhất định về việc
dạy và việc học của học sinh tôi thấy:
+ Học sinh mới tiếp cận tập hợp “ Số phức” ở lớp 12 nên phần lớn khi vận

IV. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Phương pháp nghiên cứu SKKN này dựa trên cơ sở:
2
Sáng kiến kinh nghiệm

+ Các kiến thức cơ bản về số phức.
+ Các kiến thức cơ bản về lượng giác và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
+ Những sai lầm thực tế khi làm bài của học sinh về số phức.
PHẦN NỘI DUNG
3
Sáng kiến kinh nghiệm

A) TÓM TẮT NỘI DUNG CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC
Trước hết, ta cần hệ thống tóm tắt nội dung chính và những vấn đề cần lưu ý
khi nghiên cứu chương số phức.
1) SỐ PHỨC
* Định nghĩa 1:
Mỗi số phức là một biểu thức có dạng a+ bi, với a, b
∈
R và i
2
= -1.
Kí hiệu số phức đó là z = a +bi ; i gọi là đơn vị ảo, a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo của số phức z = a + bi.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.
* Định nghĩa 2: Hai số phức bằng nhau





phẳng Oxy và ngược lại. Kí hiệu M(a+bi) hay M(a;b).
Ngoài ra, số phức z = a + bi còn được biểu diễn bởi vectơ
);( bau
.
+ Các điểm trên trục hoành Ox biểu diễn các số thực. Các điểm trên trục tung
Oy biểu diễn các số ảo.
* Phép cộng, phép trừ hai số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và số phức z
’
= a
'
+ b
’
i.
Tổng của hai số phức trên là số phức z+z
’
= (a+a
’
) + (b+b’)i .
Hiệu của hai số phức trên là số phức z-z
’
= (a-a
’
) + (b-b’)i .
Khi đó, nếu
);( bau
biểu diễn số phức z,
);('
''
bau

baz +=
.
+ Số nghịch đảo của số phức z = a +bi khác 0 là số phức
z
z
z
2
1
1
=
−
.
4
Sáng kiến kinh nghiệm

+ Thương
z
z
'
của hai số phức z
’
= a
’
+ b
’
i và số phức z = a + bi khác 0 là tích
của z
’
với số phức nghịch đảo của z, tức là
2

biểu diễn số phức z
’
thì độ dài
đoạn thẳng MM

bằng môđun
'
zz +
.
2) CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
* Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức w là số phức z sao cho z
2

= w.
*Nhận xét:
+) Mỗi số phức z
≠
0 có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau (khác 0)
+) Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0.
+) Đặc biệt: số thực a dương có hai căn bậc hai là
a
và
a−
; số thực a âm
có hai căn bậc hai là
ia
và
ia−
;
* Chú ý 1:Không được dùng kí hiệu để chỉ căn bậc hai của một số phức.

+) Tính
ACB 4
2
−=∆
+) Nếu
0≠∆
thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt:

A
z
A
z
2
,
2
21
δδ
−−+−
=
BB
, trong đó
δ
là một căn bậc hai của
∆
.
+) Nếu
∆
= 0 thì phương trình (2) có nghiệm kép:
A
zz



=
=
r
b
r
a
ϕ
ϕ
sin
cos

* Nhân và chia hai số phức dưới dạng lượng giác:
5
Sáng kiến kinh nghiệm

+) Nếu
( )
ϕϕ
sincos irz +=
,






+=
,

+++=
,
sin
,
cos
,,
ϕϕϕϕ
irrzz



















−+−=
,
sin

* Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác:
Số phức
( )
ϕϕ
sincos irz +=
, r > 0, có hai căn bậc hai là:







+
2
sin
2
cos
ϕϕ
ir
và










(1+ i)
2
.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z
( Đề thi TS Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)
Giải:
Ta có (1+ i)
2
.(2- i)z = 8 + i + (1+2i)z

( )
[ ]
iziii +=+−−+⇔ 8)21()2(1
2

( )
[ ]
iziii +=−−−⇔ 82122

( )( )
i
ii
i
i
z 32
5
218
21
8
−=
−+

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn:
( )
i
i
z
−
−
=
1
31
3
.
Tìm môđun của số phức
izz +

(Đề thi Đại học Khối B- năm 2010)
Giả i
Ta có
( )
831
3
−=− i
, nên
i
i
z 44
1
8
−−=
−



=−
=+
0
2
22
22
ba
ba




⇔
=
=
1
1
2
2
b
a





a
b
a
b
a
b
a
Vậy các số phức cần tìm là: 1+i; -1- i; 1- i; -1+i.
Chú ý : Trong một số trường hợp, thực chất yêu cầu của bài toán là thực hiện
các phép tính trên tập hợp các số phức mà áp dụng tương tự trên tập hợp số
thực.
Ví dụ 5: Tính tổng :
( ) ( ) ( ) ( )
201132
1 1111 iiiiS −++−+−+−+=

Giải
Áp dụng công thức tính tổng của 2012 số hạng của một cấp số nhân với số hạng
đầu
1
1
=u
, công bội
( )
iq −= 1
ta được

( )
( )
( ) ( )

Ví dụ 6: Tìm số phức x, y thỏa mãn hệ phương trình sau:




−=−+
=++−
iyix
yixi
53)21(3
2)103()21(
2
(1)
Giải
* Sai lầm của học sinh:
Hệ (1)



⇔
−=−−
=+−++
iyiyx
iyxy
534)33(
2)102()31(





=++−
)21)(53()21()21(3
6)103(3)21(3
3
iiyixi
yixi




⇔
−−=+−+−
=++−
iyixi
yixi
117)211()21(3
6)103(3)21(3
8
Sáng kiến kinh nghiệm


⇔
−−=+
=++−
iyi
yixi
117)2820(



⇔
−−
=
+
=
296
356
3552
17772843
i
y
i
x
Cách 2: Gọi số phức x = a + bi, y = a
’
+ b
’
i, a, b, a
’
, b
’

∈
R.
Thay vào hệ (1) ta được




=++−
=−++
5 '4'33
3 '4'33
0 '10'32
2'10'32
abb
baa
bab
baba

Giải hệ trên trong tập số thực ta được













−
=
−=
=
=

i
y
i
x
Bài tập tương tự
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn:
2
)31()4()32( izizi +−=++−
.
Tìm phần thực, phần ảo của số phức z .
(Đề thi CĐ khối A, B, D – năm 2010)
Bài 2: Tìm số phức z biết :
a)
5)31()2( =−−− izi

9
Sáng kiến kinh nghiệm

b)
( )
4
1
23
34
51
i
i
z
i
i

z
z
iz
iz

b)





−=−+
=++−
iyix
yixi
53
2
)21(3
2)103()21(
(
), Cyx ∈

c)



+−=+
+=+
)1(9
)1(3

b) Tìm số phức z có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình vuông.
Giả i
a) Ta có
i
i
i
22
1
4
−=
−

⇒
điểm A(2; -2)

( )( )
⇒+=+− iii 3211
điểm B(3; 1)

⇒=
−
+
i
i
i
2
3
62
điểm C(0;2)
Từ đó: BC =

1
D
D
y
x




−=
−=
⇔
1
1
D
D
y
x
Vậy số phức cần tìm là z = -1- i.
Ví dụ 2:
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a)
ziz −=+2
b)
1044 =++− zz

Giải
a)* Sai lầm của học sinh:

ziz −=+2

2
2

iz
2
1
1+−=⇔

⇒
điểm M(-1;
)
2
1
biểu diễn số phức z.
Phân tích sai lầm: Học sinh nhầm tưởng kí hiệu môđun của số phức với kí hiệu
gái trị tuyệt đối trong tập hợp số thực.
Lời giải đúng:
Cách 1:
a) Gọi M(x;y) biểu diễn số phức
Ryxyixz ∈+= , ;

Ta có:
ziz −=+2

iyxyix )1()2( −+=++⇔

2222
)1()2( −+=++⇔ yxyx10)4()4(
2222
=++=+−⇔ yxyx
(*)
Gọi F
1
(-4;0), F
2
(4;0). Khi đó (*)
10
21
=+⇔ MFMF

Từ đó suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường Elip nhận F
1
, F
2
là hai tiêu điểm, trục lớn bằng 10, tiêu cự bằng 8.
Phương trình chính tắc của (E):
1
925
22
=+
yx
Cách 2:
Gọi điểm M biểu diễn số phức z, điểm F
1
(-4; 0) biểu diễn số phức -4+0i; điểm

,
zz −
biểu
diễn

khoảng cách giữa hai điểm lần lượt là điểm biểu diễn hai số phức z và z
’
.
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy biểu diễn số phức
z thỏa mãn :
ziiz )1( +=−

(Đề thi Đại Học Khối B – năm 2010)
Giải
Gọi điểm M(x;y) biểu diễn số phức
Ryxyixz ∈+= ,,
, trong mặt phẳng tọa độ
Oxy, ta có:

ziiz )1( +=−

iyxyxiyx )()()1( ++−=−+⇔

2222
)()()1( yxyxyx ++−=−+⇔012
22
=−+⇔


4
2
x
y =⇔
(P)
Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường Parabol có phương trình :
4
2
x
y =
Bài tập tương tự
Bài 1: Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa mãn
a)
Raaiaz ∈+= ,

(Đáp án: là đường thẳng y = x)
b)
iz 2
1
+
là số ảo
( Đáp án: Trục Oy trừ điểm (0;-2))
c)
iz
iz
2
2
−
+


b)
04)21(2)1(
2
=−+−− zizi
c)
055)23(
2
=−+−+ iziz
Giải
a)
31−=∆
có hai căn bậc hai là
ivài 31 31 −
.
Phương trình có hai nghiệm :

4
313

4
313
21
i
zvà
i
z
+−
=
−−

Sáng kiến kinh nghiệm

c)*
( )
iii 815)55(423
2
+−=−−−=∆

*Tìm căn bậc hai của
∆
Cách 1: Gọi
Ryxyix ∈+= ,;
δ
là một căn bậc hai của
∆
, khi đó ta có




∨



⇔



−=
−=

2
)41(23

-2
2
)41(23

2
1
i
ii
zvà
i
ii
z
+=
+++−
=
−=
+−+−
=
Chú ý: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lí Viet vẫn đúng trong trường hợp xét
phương trình bậc hai trong tập hợp số phức.
Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

01)34()32(
2
=−+−+− izizi
Giải
Ta có

hợp số thực
* Một số ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

iz
iz
iz
2
734
−=
−
−−

Giải
* Điều kiện:
iz ≠
Phương trình
iz
iz
iz
2
734
−=
−
−−

)2)((73 iziziz −−=⇔ −−
14
Sáng kiến kinh nghiệm


=
Ví dụ 2: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

( ) ( )
0124
2
2
2
=−+++ zzzz

Giải
* Đặt t =
zz +
2
Phương trình trở thành:



=
−=
⇔=−+
2
6
0124
2
t
t
tt
Phương trình đã cho


⇔
2
1
2
231
2
231
z
z
i
z
i
z
là bốn nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 3: Giải phương trình sau trên tập hợp số phức:

01
2
2
34
=+++− z
z
zz
(1)
Giải
Vì z = 0 không là nghiệm của phương trình, nên phương trình (1)

0
11
2

z
z
Đặt
z
zt
1
−=
, (1) trở thành:






−
=
+
=
⇔=+−
2
31
2
31
0
2
5
2
i
t
i

−−+
=
+=
+++
=
⇔+=+=∆
i
ii
z
i
ii
z
ii
2
1
2
1
4
331
1
4
331
)2(,368
2
1
2

15
Sáng kiến kinh nghiệm


−+−
=
⇔−=−=∆
i
ii
z
i
ii
z
ii
1
4
331
2
1
2
1
4
331
)3(,368
4
3
2
Vậy phương trình có bốn nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau :

1
4
=
−

iz







−=
−
+
=
−
+
⇔
1
1
iz
iz
iz
iz
* Phân tích sai lầm:Học sinh đã áp dụng phương pháp giải phương trình x
4
= 1
trong tập hợp số thực. Nhưng trong tập hợp số phức, ngoài số 1 và -1 ra còn có
số i và –i thỏa mãn i
4
= 1, (-i)
4
= 1.

−=
−
+
=
−
+
−=
−
+
=
−
+
⇔
i
iz
iz
i
iz
iz
iz
iz
iz
iz
1
1






16
Sáng kiến kinh nghiệm




−=
=
=
⇔
1
1
0
z
z
z
Cách 2:
1
4
=
−
+






1
0
z
z
z
là ba nghiệm của phương trình đã cho.
Bài tập tương tự
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) z
5
+ 1= 0
b) z
2
+ z + 1 =0
c) z
2
-2(2+i)z + 7 + 4i = 0
d) z
3
– 27 = 0
e) z
4
– z
3
+ 6z
2
– 8z – 16 = 0
Dạng 5: Dạng lượng giác của số phức
* Bài toán thường cho dưới dạng:
- Biểu diễn số phức từ dạng đại số sang dạng lượng giác hoặc ngược lại.




+=+
3
sin
3
cos231
ππ
ii
17
Sáng kiến kinh nghiệm





+=+−
6
5
sin
6
5
cos23
ππ
ii
Vậy

3
cos4331
ππππ
iii







+=
6
7
sin
6
7
cos4
ππ
i

Cách 2:
( )( )
iii 232331 −−=+−+



















−+−=
ϕ
π
ϕ
π
2
sin
2
cos i
c)
* Sai lầm của học sinh:

2
sin2sin
2
ϕ
ϕ
iz +=





+=
2
sin
2
cos
2
sin2
ϕ
ϕ
ϕ
iz
(1)
- Khi
0
2
sin =
ϕ
thì dạng lượng giác của số phức z không xác định.
- Khi
0
2
sin >
ϕ
thì (1) là dạng lượng giác của số phức z .
- Khi
0

2
sin
2
cos
2
sin2 iz
là dạng lượng
giác của số phức z .
Ví dụ 2: Tìm một acgumen của số phức sau:







<<+−=
2
0,cossin1
π
ϕϕϕ
iz
Giải
Ta có:
























−−+−=
24
cos
24
sin2
24
sin2
2
ϕπϕπϕπ
i
18
Sáng kiến kinh nghiệm


sin
24
sin2
ϕπϕπϕπ
i



















++










ϕπ
Vậy (1) chính là dạng lượng giác của số phức trên. Vì vậy
24
ϕ
π
+
là một
acgumen của số phức z.
Ví dụ 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

,
1
2012
2012
z
zw +=
nếu
,1
1
=+
z
z
Giải
*Điều kiện: z
≠
0.























−+−=
+=
⇒
3
sin
3
cos
3







+
++=⇒








ππ
ππ
i
iw





+
++=



+
++=








3
2
sin
3
2
cos
1
3
2
sin
3
2
cos
ππ
ππ
i
i















−+−=
3
sin
3
cos
ππ
iz
, tương tự ta có phần thực của w bằng -1, phần
ảo của w bằng 0.
Chú ý: Trong bài tập trên có thể thay số mũ bởi số khác sẽ được bài tập tương
tự. Khi đó có thể vận dụng công thức lược giác liên hệ giữa các cung có liên
qua đặc biệt để tính toán.
Ví dụ 4: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức z biết:
a)
ϕϕ
cossin iz −=
b)

sin
2
cos
π
ϕ
π
ϕ
iz
có hai căn bậc hai và có dạng lượng giác là












−+−±
42
sin
42
cos
πϕπϕ
i
.
*Phân tích sai lầm: Học sinh chưa nắm chắc định nghĩa dạng lượng giác của số









−+−±
42
sin
42
cos
πϕπϕ
i

và dạng lượng giác của hai căn bậc hai đó là












−+−

2
cos
πϕπϕ
i
.
b) Gọi
ϕ
là một acgumen của số phức z
⇒
-
ϕ
là acgumen của
z
.
Vì một acgumen của 1+ i là
4
π
nên một acgumen của
i
z
+1
là (-
ϕ
-
4
π
)

π
ππ






+
4
sin
4
cos
3
3
ππ
i
và








+
4
5
sin
4
5
cos

3
1
i
i
z
−
+
=
c)
10
10
1
z
z +
, biết
1
1
=+
z
z
d)
8
cos
8
sin
π
π
iz −−=
Bài 2: Viết dạng lượng giác các căn bậc hai của số phức sau:
a)

nn
1)1(
7531642
0
+−−
∑
+−+++−==+=
=

( ) ( )
2
7531
2
642
1 +−+−++−+−=⇒
nnnnnnn
n
CCCCCCCz
Mặt khác,
n
n
zz =
. Suy ra:

( ) ( )
n
nnnnnnn
CCCCCCC 2 1
2
7531

2012
642
2012
0
2012
2012
1)1( −+−++++−==+ +
∑
−−
=
Mặt khác,
[ ]
( )
1006
1006
1006
2
2012
22)1()1( −==+=+ iii
Nên ta được
10062012
2012
2010
2012
4
2102
2
2012
0
2012

3
2
cos
ππ
iz +=
, có z
3
= 1;

3
sin
3
cos
2
3
2
1
1
ππ
iiz +=+=+
1+z
2
=
3
sin
3
cos
2
3
2


4836241202
)1( +++++=+
nnnnn
n
CzCzCzCzCz54232120

++++=
++
nnnnnn
zCCzCzCCzC
(3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế thì được:

)
6302
(3)1()1(2 +++=++++
nnn
nnn
CCCzz

)(3
3
cos22
630
+++=+
nnn

n
CCCC
n
nnnn
=−+−

và
3
sin
3
2
333
735231
π
n
n
CCCC
nnnn
=−+−
Dạng 7: Hệ thức lượng giác
* Yêu cầu của bài toán thường cho dưới dạng:
- Biểu diễn biểu thức lượng giác theo các biểu thức lượng giác khác .
- Chứng minh đẳng thức lượng giác, …
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh công thức lượng giác:

ϕϕϕ
cos3cos43cos
3
−=


Từ (1) và (2) suy ra:





−=
−=
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
32
23
sinsincos33sin
sincos3cos3cos
Thay sin
2
ϕ
= 1- cos
2
ϕ
, cos
2
ϕ
= 1- sin
2
ϕ
ta được:

ϕϕϕ

)2sin()2cos()sin()cos(sincos ++++++++++ baibabaibabib

[ ]
)sin()cos( bnaibna ++++
=
) 1(
22 nn
zzzwwzwzwzw ++++=++++
=
z
z
w
n
−
−
+
1
1
1
( để ý rằng
1
≠
z
do
0
2
sin ≠
a
)
=

sin
2
sin
2
1
cos
2
1
sin
2
1
sin
a
i
aa
a
n
ia
n
a
n
w









n
ia
n
a
a
n
w







+
+
=
2
sin
2
cos
2
sin
2
1
sin
na
i
na
a





















+++
+
= b
na
ib
na
a
a
n
2

2
1
sin







+
+
= b
na
a
a
n
T
2
sin
2
sin
2
1
sin

Bài tập tương tự:
Bài 1: Tính sin4
ϕ
, cos4






− zz
để tính cos5
ϕ
, sin5
ϕ
theo
cos3
ϕ
, sin3
ϕ
và cos
ϕ
, sin
ϕ
.
Bài 3: Cho
π
2kx ≠
. Tính

nxxxxS sin 3sin2sinsin ++++=

nxxxxT cos 3cos2coscos
2
1

góp nhặt được trong quá trình giảng dạy. Tôi rất mong nhận được sự trao đổi,
góp ý cho chuyên đề từ các anh chị đồng nghiệp và các em học sinh để góp phần
nâng cao chất lượng dạy và học chương số phức nói riêng và bộ môn toán nói
chung. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà nội, ngày 21 tháng 4 năm 2012.
Người viết Bùi Thị Hải
MỤC LỤC
Phần mở đầu Trang 1
Phần nội dung Trang 3
A. Tóm tắt nội dung cơ bản về số phức Trang 3
25