1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT ĐẶNG THAI MAI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH
KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ.
Người thực hiện: Nguyễn Ngọc sơn
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THPT ĐẶNG THAI MAI
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2013
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trình giải tích 12, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát
và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng, chiếm hầu hết số tiết
có trong chương trình. Là một công cụ rất "mạnh" để giải quyết hầu hết những
bài toán trong các đề thi tốt nghiệp Trung học phổ thông cũng như trong các đề
thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng.
Ưu điểm của phương pháp này là rất hiệu quả và dễ sử dụng khi giải toán
liên quan đến khảo sát hàm số.
Trong quá trình giảng dạy năm học 2011-2012 tôi nhận thấy các em học
sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo
hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà
các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của người
thầy.
2
Chẳng hạn, với bài tập
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau đạt cực đại tại
1x =
.

′
=

⇔

′′
<


2
3 2 0
2
2 2 0
m m
m
m

− + =
⇒ =

− <

+) Vậy để hàm số đạt cực đại tại
1x
=
thì
2m
=
.
Sai lầm ở đây là : nếu

1. Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học
sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
2. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học
sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Về nhiệm vụ:
Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc
ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan để có
được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
3
2. Về phương pháp:
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 .
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây (liên quan đến nội dung và
phạm vi nghiên cứu của đề tài)
1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến.
3. Công thức tính đạo hàm.
4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số .
5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D.
7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y = f(x).
4
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
- Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng
sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn
sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử
kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực
tiếp tới bài giảng.
5
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
+) Ta có:
( )

Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy
1
2x D= − ∈
và
2
2x D= ∈
thì
1 2
x x<
nhưng
( )
1
3f x =
và
( )
2
1
3
f x =
Lời giải đúng:
Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số
đồng biến trên từng khoảng
( )
;1−∞
và
( )
1;+∞
.
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ − = ⇒ = ±
−
+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên khoảng
( 2; 2)-
và nghịch biến trên các khoảng
( 2; 2)- -
và
( 2;2)
.
Phân tích:
Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn
[ ]
2;2−
giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây -
2
không phải là
điểm tới hạn của hàm số.
Mặt khác , đạo hàm không xác định tại
2x
= ±
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
[ ]
2;2D = −
+) Ta có:
( )
2
1
4


+) Bảng biến thiên
+) Hàm số đồng biến trên nửa khoảng
)
2; 2

−

và nghịch biến trên nửa khoảng
(
2;2


2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
7
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ
bản). Chứng minh rằng:
tan x x>
, với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 

( )
f x
đồng biến
trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
.
+) Từ
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
hay
tan 0 tan , 0;
2
x x x x x
π
 
− > ⇔ > ∀ ∈
 ÷
 
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau
khi kết luận
( )
f x
đồng biến trên khoảng
0;
2

( ) ( )
, ;f x x a b
′
> ∀ ∈
) thì
[ ]
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, ; :x x a b x x f x f x∀ ∈ > ⇒ >
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số
( )
tanf x x x= −
, với
0;
2
x
π
 
∈
÷

 
.
+) Ta có:
( )
2
2
1
1 tan 0, 0;

 
∀ ∈
 ÷
 
thì
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
hay
tan 0 tanx x x x
− > ⇔ >
 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm
đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với
, 1x x∀ ∈ > −¡
thì
1
.
x
x e
e
> −
.
Một số học sinh trình bày như sau:
8
Xét các hàm số
( )
f x x=
và
( )
x

[
)
1;− +∞
+) Ta có
( ) ( )
[
)
1 0, 1;
x x x
f x e xe x e x
′
= + = + ≥ ∀ ∈ − +∞
, dấu "=" xảy ra chỉ tại
1x
= −
.
Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng
[
)
1;− +∞
.
+) Từ
( ) ( )
1 1x f x f> − ⇒ > −
hay
1
.
x
x e
e

′
′
=
. Vận dụng như vậy là sai, vì
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ
α
là một hằng số.
Lời giải đúng là:
+) Điều kiện:
1
2
0
x
x

> −



≠

khi đó
( )
0f x >
+) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 ln ln 2 1
x
f x x f x x x= + ⇔ = +
+) Do đó

α α
α
−
′
′
=
,
α
∈¡
, nhưng quên rằng nếu như
α
không nguyên thì công thức
này chỉ đúng khi
u
nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số
( )
3 2
y f x x= =
có đồ thị (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
1x
= −
.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Với
1x
= −
thì
( ) ( )

= − = − = − =
 
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
2
1 1
3
y x− = +
hay
2 5
3 3
y x= +
.
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số
mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết
( )
2
3 2
3
f x x x= =
và
( )
1
3
1
−
−
là
không đúng (!).
Lời giải đúng là:

1
3
3 1
k f
′
= − = = −
−
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
2
1 1
3
y x− = − +
hay
2 1
3 3
y x= − +
.
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

( ) ( )
0, ;f x x a b
′
> ∀ ∈ ⇒
hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;a b

+) Hàm số đồng biến trên
( )
0
0,
0
a
f x x
>

′
⇔ > ∀ ∈ ⇔

′
∆ <

¡ ¡
hay
2
3 0
3 0m
>


− <

3 3m⇒ − < <
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số
( )
3
f x x=

( )
;a b
.
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
D = ¡
.
+) Ta có :
( )
2
3 2 1f x x mx
′
= − +
.
+) Hàm số đồng biến trên
( )
0
0,
0
a
f x x
>

′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

′
∆ ≤

¡ ¡

>


là điểm cực tiểu

( )
( )
0
0
0
0
0
f x
x
f x
′
=

⇒

′′
<


là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số
( )
4
y f x mx= =

m
f
m
′
=
=


⇔
 
′′
<
<



hệ vô
nghiệm
11
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Phân tích:
Chẳng hạn, với
1m
= −
, hàm số có dạng
( )
4
y f x x= = −

<


là điểm cực đại của hàm số, còn
điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu
0
x
là điểm cực đại thì vẫn có thể
( )
0
0f x
′′
=
Lí do là điều kiện
( )
0
0f x
′′
<
chỉ là điều kiện đủ để hàm số
( ) ( )
g x f x
′
=
nghịch biến trong lân cận
( )
0 0
; , 0x h x h h− + >
, khi đó:
( ) ( ) ( )

thì
( )
0f x
′
=
. Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng
( )
0y f x= =
nên
không cực trị.
+) Nếu
0m
≠
thì
( )
3
4 0 0f x mx x
′
= = ⇔ =
 Với
0m >
ta có bảng biến thiên:
 Với
0m
<
ta có bảng biến thiên:
12
+) Vậy với
0m
<

2
0 0
4.0 3 .0 0
0 0
12.0 6 .0 0
f
m
f
m
′
=

+ =

⇔
 
′′
>
+ >



hệ
trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại
0x
=
.
Phân tích:
Chẳng hạn , với

0
0 4 3 0
3
4
x
f x x x m
m
x
=


′
= ⇔ + = ⇔

= −

trong đó
0x
=
là nghiệm bội bậc
chẵn
13
 Nếu
0m =
thì
0x =
trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến
thiên:
 Với
0m <

f x x x
x x
 
= + + + −
 ÷
 
.
Một số học sinh trình bày như sau:
14
+) Đặt
2 2
2
1 1
cos cos 2
cos cos
x t x t
x x
+ = ⇒ + = −
.
+) Ta được hàm số:
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 4,g t t t t t= + − = + − ≥ − ∀ ∈¡
+) Vậy
( )
min 4g t = −
khi
1t
= −

(!)
Nhớ rằng, số
( )
( )
( )
0 0
,
min
:
D
f x m x D
m f x
x D f x m
≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =


Lời giải đúng là:
+) Đặt
1
cos
cos
x t
x
+ =
với
\ ,

x t x t
x x
 
+ = ⇒ + = −
 ÷
 
+) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
2 3g t t t= + −
với
2t ≥
+) Ta có
( )
2 2 0 1g t t t
′
= + = ⇔ = −
+) Bảng biến thiên:
+) Vậy
( )
min 3g t = −
khi
2t = −
hay
( )
min 3f x = −
khi
1
cos 2
cos

4 1 1y f x
′
− = − +
hay
9 5y x= − −
.
Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến
9 5y x= − −
là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
1;4A −
và có hệ số góc
k
là:
( )
1 4y k x= + +
+) Điều kiện để đường thẳng
( )
d
là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có


= −

+) Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình:
4y =
và
9 5y x= − −

Trên đây là một số ví dụ minh họa cho sáng kiến của mình. Còn rất nhiều bài
tập nữa mà qua đó học sinh luyện tập để khắc phục những sai lầm đáng tiếc,
nhưng trong khuôn khổ của sáng kiến này tôi không chỉ hết ra được. Vì vậy,
phần dưới này tôi đưa ra một số dạng bài tập để các em học sinh có thể luyện
tập và giáo viên có thể làm tài liệu dạy học…
7. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.
2 3
1
x
y
x
+
=
−
b.
2
1
1
x x
y

2
5
3
y x mx m x
 
= − + − +
 ÷
 
Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên
¡
:

( )
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x
−
= + + −
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.
3 2
3 72 90y x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
5;5−

b.

2ln 1 , 0
x x
e e x x x
−
− ≥ + + ∀ ≥
Bài tập 9: Cho hàm số
( ) ( )
3 2
1 1
1 3 4
3 2
y x m x m x= − − + − +
(m là tham số). Xác
định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
9
3
2
y x= − +
tại 3 điểm phân biệt.
Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
( )
2
2 1x x m x− = −
có 4 nghiệm thực phân biệt.
III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết
quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi
khảo sát tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp 12C1, 12C2 năm học 2011-2012 và ở
2 lớp 12C3, 12C9 năm học 2012-2013 như sau:
1. Các bài tập khảo sát:

Giải đúng phương pháp 04 9 %
3. Kết quả khảo việc giải các bài tập trên trong năm học 2012-2013 ở hai
lớp 12C3 và 12C9
Lớp 12 C3 (sĩ số 50)
Mức độ Số lượng Phần trăm
Không giải được 2 4 %
Giải sai phương pháp 5 10 %
Giải đúng phương pháp 43 86 %
Lớp 12 C9 (sĩ số 46)
Mức độ Số lượng Phần trăm
Không giải được 3 7 %
Giải sai phương pháp 5 11 %
Giải đúng phương pháp 38 82 %
Như vậy, bước đầu đề tài đã khắc phục được cơ bản những sai lầm của
học sinh thường mắc phải khi giải các bài tập toán liên quan đến việc ứng dụng
đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan ; đề tài đã góp
phần nâng cao chất lượng học tập của học sinh và đem lại hiệu quả rõ rệt. Trong
thời gian tới, đề tài này sẽ tiếp tục được áp dụng vào thực tiễn giảng dạy trong
nhà trường và mong rằng sẽ đạt được hiệu quả tốt đẹp như đã từng đạt được
trong quá trình thực nghiệm.
PHẦN 3: KẾT LUẬN
Polya đã viết "con người phải biết học những sai lầm và những thiếu sót
của mình". Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời
uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng
thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư
duy.
Trước hết, đề tài này nhằm cung cấp cho các thầy cô giáo và các em học
sinh như một tài liệu tham khảo. Với lượng kiến thức nhất định về đạo hàm và
các ứng dụng của đạo hàm, với những kiến thức liên quan, người học sẽ có cái
nhìn sâu sắc hơn về những sai lầm thường mắc phải khi giải toán. Đồng thời,

(Ký và ghi rõ họ tên)
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 01
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 02
III. NHIỆM VỤ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Về nhiệm vụ
2. Về phương pháp
02
02
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU 02
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI 03
19
CHƯƠNG II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI 03
CHƯƠNG III: BIỆN PHÁP THỰC HIỆN VÀ KẾT QUẢ
NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
I. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
03
04
04
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm