www.VNMATH.com
1

S


Người thực hiện: Nguyễn Ngọc sơn
Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THPT ĐẶNG THAI MAI
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2013

www.VNMATH.com
2
PHẦN 1: MỞ ĐẦU

II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn


   


+) Bảng biến thiên:
-∞
+∞ 1
++
1
1 +∞-∞
f(x)
f'(x)
x

+) Hàm số đồng biến trên




;1 1;
  

Phân tích:
Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài
toán. Chú ý rằng: nếu hàm số


y f x

đồng biến trên tập



1
3
f x

và
 
2
1
3
f x


Lời giải đúng:
Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số đồng
biến trên từng khoảng


;1

và


1;

.

 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

 
2 2 2
2
0 1 0 4 4 2
4
x
f x x x x x x
x

            


+) Bảng biến thiên
2 2-1
-1 1
-3
+
-
-0
0
2
- 2
2
-2
f(x)
f'(x)
x

+) Hàm số đồng biến trên khoảng
( 2; 2)

+) Ta có:
 
2
1
4
x
f x
x

 


Đạo hàm không xác định tại
2
x
 

Cho
 
2
2 2
2
0
0 1 0 4 2
4
4
x
x
f x x x x
x x


2;2

www.VNMATH.com
4
2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ
bản). Chứng minh rằng:
tan
x x

, với
0;
2
x

 

 
 

Một số học sinh trình bày như sau:
+) Xét hàm số




f x
đồng biến
trên khoảng
0;
2

 
 
 
.
+) Từ




0 0
x f x f  
hay
tan 0 tan , 0;
2
x x x x x

 
     
 
 

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau


f x
đồng biến trên đoạn


;
a b
(tức là


f x
liên tục trên


;
a b
và




, ;
f x x a b

  
) thì





1 tan 0, 0;
cos 2
f x x x
x

 

     


 
, dấu “=” chỉ sảy ra tại
0
x


suy ra hàm số


f x
đồng biến trên khoảng
0;
2

 


 
.
+) Khi đó

1
.
x
x e
e
 
.
www.VNMATH.com
5
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số


f x x

và


x
g x e

là các hàm đồng biến trên

. Suy ra hàm
số


x
h x xe



1;
 

+) Ta có






1 0, 1;
x x x
f x e xe x e x

        
, dấu "=" xảy ra chỉ tại
1
x
 
.
Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng


1;
 
.
+) Từ



 


    
.
Phân tích:
Lời giải trên đã vận dụng công thức
 
1
u u u
 





. Vận dụng như vậy là sai, vì
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ

là một hằng số.
Lời giải đúng là:
+) Điều kiện:
1
2
0
x
x

 


f x x

 
        
   


       
1
2 1 ln 2 1 2 2 1
x x
f x x x x x


      Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
www.VNMATH.com
6
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức
 
1
u u u
 






3
1 1 1
y f
    

+) Ta có
   
2 1
3
2
3 3
2
3
f x x x f x x


   

+) Hệ số góc của tiếp tuyến là
     
1
1
2
6
3
2 2 2
1 1 1
3 3 3
k f


3
1


là
không đúng (!).
Lời giải đúng là:
+) Với
1
x
 
thì
   
2
3
1 1 1
y f
    

+) Ta có
         
3 2
3 2 2
3
3 4
2 2
3 2
3
3
x

  
.

4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:





0, ;f x x a b

   
hàm số đồng biến trên khoảng


;
a b
.





0, ;f x x a b

   
hàm số nghịch biến trên khoảng


  
.
+) Hàm số đồng biến trên
 
0
0,
0
a
f x x



    


 

 
hay
2
3 0
3 0
m



 





;
a b
,




0, ;
f x x a b

  
và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng


;
a b

thì hàm số


y f x

đồng biến trên khoảng


;
a b
.

 
hay
2
3 0
3 0
m



 


3 3
m    Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng
đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:



 
0
0
0
0
0
f x
x



là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số


4
y f x mx
 
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đạt cực đại tại
0
x

?
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Ta có:


3
4
f x mx


và


2




hệ vô
nghiệm
www.VNMATH.com
8
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại
0
x

.
Phân tích:
Chẳng hạn, với
1
m
 
, hàm số có dạng


4
y f x x
  
.
Ta có:


3
4 0 0
y f x x x



là điểm cực đại của hàm số, còn
điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu
0
x
là điểm cực đại thì vẫn có thể


0
0
f x


Lí do là điều kiện


0
0
f x


chỉ là điều kiện đủ để hàm số




g x f x





là điểm cực đại của hàm số.

Lời giải đúng là:
+) Ta có:


3
4
f x mx



+) Nếu
0
m

thì


0
f x


. Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng


0
y f x

9
-+

+) Vậy với
0
m

thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
Ví dụ minh họa 9: Cho hàm số


4 3
1
y f x x mx
   
. Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
D


m
f
m



 


 


 



hệ
trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại
0
x

.
Phân tích:
Chẳng hạn , với
0
m

, hàm số có dạng






3 2 2
4 3 4 3
f x x mx x x m

   

+) Cho
   
2
0
0 4 3 0
3
4
x
f x x x m
m
x




    

 

trong đó

+∞
CT
+
-
- 0
0
+∞
1
-
3m
4
0 +∞-∞
f(x)
f'(x)
x

 Với
0
m

thì
3
0
4
m
 
nên ta có bảng biến thiên:
+
+∞
CT

2
2
1 1
cos 2 cos 1
cos cos
f x x x
x x
 
    
 
 
.
Một số học sinh trình bày như sau:
www.VNMATH.com
11
+) Đặt
2 2
2
1 1
cos cos 2
cos cos
x t x t
x x
     
.
+) Ta được hàm số:
   
2
2
2 3 1 4 4,g t t t t t


f x
không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm


,g t t
 

.
Có thể thấy ngay khi
1
t
 
thì không tồn tại giá trị của
x
để
1
cos 1
cos
x
x
  
(!)
Nhớ rằng, số
 


 
0 0
,

 
 
 

+) Ta có
2
1 cos 1 1
cos cos 2
cos cos cos
x
t x x
x x x

     
.
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
cos 1
x


+) Mặt khác
2
2 2 2
2
1 1
cos cos 2
cos cos
x t x t
x x
 

+
0
2
-1
-2
+∞
-∞
g t( )
g' t( )
t

+) Vậy


min 3
g t
 
khi
2
t
 
hay


min 3
f x
 
khi
1
cos 2

+) Ta có:


2
3 6
f x x x

  
.
+) Vì điểm




1;4
A C
 
nên suy ra phương
trình tiếp tuyến là:




4 1 1
y f x

   
hay
9 5
y x


+) Điều kiện để đường thẳng


d
là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có
nghiệm:


3 2
2
3 1 4
3 6
x x k x
x x k

    

  


+) Giải hệ bằng phương pháp thế ta được :
2
0
x
k





y
x



b.
2
1
1
x x
y
x
 


c.
cos sin
y x x
 

Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
2
2 3
x mx
y
x m
 




    
 
 

Bài tập 5: Xác định a để hàm số sau luôn đồng biến trên

:
A
O
www.VNMATH.com
13

 
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x

   

Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.
3 2
3 72 90
y x x x   
trên đoạn



a.
2
cos 2 ,
2
x
x
e x x x
     

b.


2
2ln 1 , 0
x x
e e x x x

     

Bài tập 9: Cho hàm số
   
3 2
1 1
1 3 4
3 2
y x m x m x     
(m là tham số). Xác
định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
9
3