1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH
KHI HỌC CHƯƠNG ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
VÀO KHẢO SÁT HÀM SỐ.
THANH HOÁ NĂM 2013
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
II. NGHIÊN CỨU THỰC TẾ.
1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
 Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn
điệu của hàm số.
Ví dụ minh họa 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
( )
1
1
x
f x
x
−
=
+
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Tập xác định:
{ }
\ 1D = ¡
+) Ta có:
( )
( )
2
2

và
2
2x D= ∈
thì
1 2
x x<
nhưng
( )
1
3f x =
và
( )
2
1
3
f x =
Lời giải đúng:
Qua phân tích ta thấy để có lời giải đúng thì ta phải kết luận: Hàm số
đồng biến trên từng khoảng
( )
;1−∞
và
( )
1;+∞
.
 Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc
xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ minh họa 2: Xét tính đơn điệu của hàm số
( )
2

+) Hàm số đồng biến trên khoảng
( 2; 2)-
và nghịch biến trên các khoảng
( 2; 2)- -
và
( 2;2)
.
Phân tích:
Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn
[ ]
2;2−
giá trị của hàm số giảm từ -3 xuống - 1 ??? . Thực ra ở đây -
2
không phải là
điểm tới hạn của hàm số.
Mặt khác , đạo hàm không xác định tại
2x
= ±
Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
[ ]
2;2D = −
+) Ta có:
( )
2
1
4
x
f x
x

)
2; 2

−

và nghịch biến trên nửa khoảng
(
2;2


3
2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
 Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh
thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của
hàm số để vận dụng.
Ví dụ minh họa 3: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ
bản). Chứng minh rằng:
tan x x>
, với
0;
2
x
π
 
∈
 ÷
 
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Xét hàm số
( )

trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷
 
.
+) Từ
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
hay
tan 0 tan , 0;
2
x x x x x
π
 
− > ⇔ > ∀ ∈
 ÷
 
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!). Sau
khi kết luận
( )
f x
đồng biến trên khoảng
0;
2
π
 
 ÷

> ∀ ∈
) thì
[ ]
( ) ( )
1 2 1 2 1 2
, ; :x x a b x x f x f x∀ ∈ > ⇒ >
Lời giải đúng là:
+) Xét hàm số
( )
tanf x x x= −
, với
0;
2
x
π
 
∈
÷

 
.
+) Ta có:
( )
2
2
1
1 tan 0, 0;
cos 2
f x x x
x

 
thì
( ) ( )
0 0x f x f> ⇒ >
hay
tan 0 tanx x x x
− > ⇔ >
 Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm
đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ minh họa 4: Chứng minh rằng nếu với
, 1x x∀ ∈ > −¡
thì
1
.
x
x e
e
> −
.
4
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số
( )
f x x=
và
( )
x
g x e=
là các hàm đồng biến trên
¡

+) Ta có
( ) ( )
[
)
1 0, 1;
x x x
f x e xe x e x
′
= + = + ≥ ∀ ∈ − +∞
, dấu "=" xảy ra chỉ tại
1x
= −
.
Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng
[
)
1;− +∞
.
+) Từ
( ) ( )
1 1x f x f> − ⇒ > −
hay
1
.
x
x e
e
> −
.
3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm

. Vận dụng như vậy là sai, vì
công thức này chỉ áp dụng cho số mũ
α
là một hằng số.
Lời giải đúng là:
+) Điều kiện:
1
2
0
x
x

> −



≠

khi đó
( )
0f x >
+) Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 ln ln 2 1
x
f x x f x x x= + ⇔ = +
+) Do đó
( ) ( )
( )
( )

′
′
=
,
α
∈¡
, nhưng quên rằng nếu như
α
không nguyên thì công thức
này chỉ đúng khi
u
nhận giá trị dương.
Ví dụ minh họa 6: Cho hàm số
( )
3 2
y f x x= =
có đồ thị (C). Viết phương trình
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ
1x
= −
.
Một số học sinh trình bày như sau:
+) Với
1x
= −
thì
( ) ( )
2
3
1 1 1y f= − = − =

( )
2
1 1
3
y x− = +
hay
2 5
3 3
y x= +
.
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số
mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết
( )
2
3 2
3
f x x x= =
và
( )
1
3
1
−
−
là
không đúng (!).
Lời giải đúng là:
+) Với
1x
= −

k f
′
= − = = −
−
+) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
( )
2
1 1
3
y x− = − +
hay
2 1
3 3
y x= − +
.
4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
 Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó
là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc:

( ) ( )
0, ;f x x a b
′
> ∀ ∈ ⇒
hàm số đồng biến trên khoảng
( )
;a b
.

( ) ( )

0,
0
a
f x x
>

′
⇔ > ∀ ∈ ⇔

′
∆ <

¡ ¡
hay
2
3 0
3 0m
>


− <

3 3m⇒ − < <
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số
( )
3
f x x=
đồng biến trên
¡
, nhưng

Lời giải đúng là:
+) Tập xác định:
D = ¡
.
+) Ta có :
( )
2
3 2 1f x x mx
′
= − +
.
+) Hàm số đồng biến trên
( )
0
0,
0
a
f x x
>

′
⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔

′
∆ ≤

¡ ¡
hay
2
3 0

là điểm cực tiểu

( )
( )
0
0
0
0
0
f x
x
f x
′
=

⇒

′′
<


là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng (!).
Ví dụ minh họa 8: Cho hàm số
( )
4
y f x mx= =
. Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đạt cực đại tại

′
=
=


⇔
 
′′
<
<



hệ vô
nghiệm
7
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại
0x =
.
Phân tích:
Chẳng hạn, với
1m
= −
, hàm số có dạng
( )
4
y f x x= = −
.
Ta có:
( )

là điểm cực đại của hàm số, còn
điều ngược lại thì chưa chắc đúng (!) Vì nếu
0
x
là điểm cực đại thì vẫn có thể
( )
0
0f x
′′
=
Lí do là điều kiện
( )
0
0f x
′′
<
chỉ là điều kiện đủ để hàm số
( ) ( )
g x f x
′
=
nghịch biến trong lân cận
( )
0 0
; , 0x h x h h− + >
, khi đó:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0

′
=
. Khi đó hàm số đã cho là hàm hằng
( )
0y f x= =
nên
không cực trị.
+) Nếu
0m
≠
thì
( )
3
4 0 0f x mx x
′
= = ⇔ =
 Với
0m >
ta có bảng biến thiên:
 Với
0m
<
ta có bảng biến thiên:
8
+) Vậy với
0m
<
thì hàm số đạt cực đại tại
0x
=

0 0
12.0 6 .0 0
f
m
f
m
′
=

+ =

⇔
 
′′
>
+ >



hệ
trên vô nghiệm m.
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại
0x
=
.
Phân tích:
Chẳng hạn , với
0m =
, hàm số có dạng
( )

4
x
f x x x m
m
x
=


′
= ⇔ + = ⇔

= −

trong đó
0x
=
là nghiệm bội bậc
chẵn
9
 Nếu
0m =
thì
0x =
trở thành nghiệm bội bậc lẻ nên ta có bảng biến
thiên:
 Với
0m <
thì
3
0

= + + + −
 ÷
 
.
Một số học sinh trình bày như sau:
10
+) Đặt
2 2
2
1 1
cos cos 2
cos cos
x t x t
x x
+ = ⇒ + = −
.
+) Ta được hàm số:
( ) ( )
2
2
2 3 1 4 4,g t t t t t= + − = + − ≥ − ∀ ∈ ¡
+) Vậy
( )
min 4g t = −
khi
1t
= −
hay
( )
min 4f x = −

( )
( )
0 0
,
min
:
D
f x m x D
m f x
x D f x m
≥ ∀ ∈

= ⇔

∃ ∈ =


Lời giải đúng là:
+) Đặt
1
cos
cos
x t
x
+ =
với
\ ,
2
x D k k
π

+ = ⇒ + = −
 ÷
 
+) Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
( )
2
2 3g t t t= + −
với
2t ≥
+) Ta có
( )
2 2 0 1g t t t
′
= + = ⇔ = −
+) Bảng biến thiên:
+) Vậy
( )
min 3g t = −
khi
2t = −
hay
( )
min 3f x = −
khi
1
cos 2
cos
x
x
+ = −

hay
9 5y x= − −
.
Phân tích:
Phương trình tiếp tuyến
9 5y x= − −
là
tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ A. Nhưng vẫn có thể
có tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A mà
không nhận A làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
+) Phương trình đường thẳng
( )
d
đi qua điểm
( )
1;4A −
và có hệ số góc
k
là:
( )
1 4y k x= + +
+) Điều kiện để đường thẳng
( )
d
là tiếp tuyến của đồ thị (C) là hệ sau có
nghiệm:
( )
3 2

+) Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình:
4y =
và
9 5y x= − −
7. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
a.
2 3
1
x
y
x
+
=
−
b.
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
c.
cos siny x x= −
Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
2
2 3x mx

:
12

( )
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x
−
= + + −
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a.
3 2
3 72 90y x x x= + − +
trên đoạn
[ ]
5;5−

b.
2sin sin 2y x x= +
trên đoạn
3
0;
2
π
 
 
 

1 3 4
3 2
y x m x m x= − − + − +
(m là tham số). Xác
định m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng
9
3
2
y x= − +
tại 3 điểm phân biệt.
Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số m thì phương trình:
( )
2
2 1x x m x− = −
có 4 nghiệm thực phân biệt.
13