SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
"NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI GIẢI BẤT
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ"
1
A - ĐẶT VẤN ĐỀ
I-LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Bất phương trình vô tỉ là một trong những phần quan trọng của lớp 10.Bất
phương trình vô tỉ thường được dùng để ra đề trong thi đại học và thi học sinh
giỏi cấp tỉnh .Để giải được bất phương trình vô tỉ thì học sinh phải nắm vững
định nghĩa về bất phương trình,định nghĩa về bất phương trình vô tỉ ,hai bất
phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương .
Trong thực tế giảng dạy ở trường THPT, đặc biệt là học sinh lớp 10 của
trường tôi số lượng học sinh ở mức độ học lực trung bình cao,điểm đầu vào môn
toán thấp.Nên học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bất
phương trình vô tỉ .Các em hay mắc phải sai lầm khi kết hợp nghiệm của bất
phương trình vô tỉ hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế mà không
xét dấu của hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương .
Trong nội dung của đề tài xin được tập trung giới thiệu một số sai lầm học
sinh thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ dạng cơ bản và một số bài
tập vận dụng , nhằm giúp học sinh giải về bất phương trình vô tỉ đúng hơn. Giúp
học sinh khắc phục được những sai lầm của mình khi giải bất phương trình vô tỉ
Qua đề tài (Những sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình vô tỉ) tôi muốn
giúp học sinh hiểu sâu thêm về các phép biến đổi tương đương khi giải bất
phương trình vô tỉ, có tư duy tốt hơn khi giải bất phương trình vô tỉ để tìm ra lời
giải đúng cho bài toán.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng :
Sau một thời gian dạy học môn toán ở khối 10 phần bất phương trình vô tỉ ở
trường tôi .Tôi nhận thấy một số vấn đề nổi cộm như sau:
2

Chính vì vậy mà học sinh các lớp cơ bản tôi dạy ban đầu thường rất ''sợ'' và lúng
túng khi giải bất phương trình vô tỉ.
Với những kinh nghiệm đúc rút từ thực tế giảng dạy của bản thân. Tôi viết sáng
kiến kinh nghiệm này để giúp các em vận dụng được các phép biến đổi tương
đương trong giải bất phương trình để giải bất phương trình vô tỉ,tránh được
những sai lầm thường mắc phải khi giải bất phương trình vô tỉ. Tôi mong muốn
giúp các em học tốt hơn phần bất phương trình vô tỉ ,bồi dưỡng cho các em lòng
say mê, yêu thích môn toán.
B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I-CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.Định nghĩa bất phương trình:
-Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có tập xác định lần lượt là Df và Dg .Đặt D=
Df DgI
Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng
f(x)<g(x),f(x)>g(x),f(x)
( ), ( ) ( )g x f x g x
≥ ≤
được gọi là bất phương trình một ẩn ;x
gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của bất phương trình đó .
0
x
D∈
gọi là một nghiệm của bất phương trình f(x)<g(x) nếu
0 0
( ) ( )f x g x<
là mệnh
đề đúng
-Bất phương trình vô tỉ là bất phương trình có chứa ẩn dưới dấu căn.
2.Bất phương trình tương đương:
Hai bất phương trình(cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập

n n
f x g x f x g x< ⇔ <
với n
*
N∈
,f(x)
0, ( ) 0g x≥ ≥
với mọi x
∈
D
6)
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x g x f x g x f x g x< ⇔ − > − ⇔ >
với n
*
N∈
,f(x)
0, ( ) 0g x< <
với
mọi x
∈
D
II- GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
1. Các giải pháp thực hiện.
1.1.Nêu các định nghĩa về bất phương trình,bất phương trình vô tỉ ,các định lí về
các phép biến đổi tương đương giữa hai bất phương trình
1.2.Nêu những dạng bất phương trình vô tỉ cơ bản mà học sinh thường gặp trong
sách giáo khoa,sách bài tập hoặc đề thi đại học.

12 2 12 (2 )
16
12 4 4 3 16
3
x x x x x x
x x x x x x
− − < − ⇔ − − < −
⇔ − − < − + ⇔ < ⇔ <
Kết hợp với điều kiện thì bất phương trình có nghiệm:
3
16
4
3
x
x
≤ −



≤ <

Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi chưa đặt điều kiện cho 2-x
0≥

đã bình phương hai vế của bất phương trình đây là phép biến đổi không tương
đương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai
Sai lầm:
Như vậy khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau, khi giải loại
bất phương trình (1) là:
-Học sinh không đặt điều kiện xác định của bất phương trình, mà sẽ trình bày

ï
< Û³
í
ï
ï
<
ï
ï
î
2
0
0
Ta có lời giải đúng của bài 1 là:
Bài 1.Giải bất phương trình sau :
2
12 2x x x− − < −
Giải
2
2
2 2
12 0
12 2 2 0
12 (2 )
x x
x x x x
x x x

− − ≥

− − < − ⇔ − >

 
<
 


3x⇔ ≤ −
Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
( ; 3S = −∞ −
]
2.2Giải bất phương trình dạng
A B>
(2)
Ví dụ:
Bài 2.Giải bất phương trình sau:
2
3 10 2x x x− − ≥ −
Học sinh thường trình bày như sau:
Điều kiện:
2
3 10 0x x− − ≥
⇔
2
5
x
x
≤ −


≥


-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình,nhưng không xét dấu
của biểu thức B sau đó cũng sẽ viết
A B A B> >Û
2
-Học sinh sẽ làm
A B>
A
B
A B
ì
³
ï
ï
ï
ï
Û ³
í
ï
ï
>
ï
ï
î
2
0
0
Như vậy ở cả ba cách làm trên đều sai.Đối với hai sai lầm đầu thì đó không phải
là phép biến đổi tương đương như đã phân tích ở bài toán 1,còn đối với sai lầm
thứ ba thì xét thiếu trường hợp.
Khi

Biện pháp:
A B>
A
B
B
A B
é
ì
³
ï
ï
ê
í
ê
ï
<
ï
î
ê
Û
ê
ì
³
ï
ê
ï
í
ê
ï
>


 ≤ −

− − ≥



⇔ ⇔ ≤ −
≥
 

− <
 
<


Trường hợp 2:
( )
x x
x
x x x x
ì
ì
- ³³
ï
ï
ï ï
Û Û ³
í í
ï ï

⇔
x+1<3x-5+2
(2 4)( 1)x x− −
⇔
-2x+6<2
(2 4)( 1)x x− −
⇔
-x+3<
(2 4)( 1)x x− −
( ) ( )( )x x x- + < - -Û
2
3 2 4 1
x x x x- + < - +Û Û
2 2
6 9 2 6 4
x
x
x
é
>
ê
- > Û
ê
< -
ê
ë
2
5
5 0
5

ï
³
í
ï
ï
³
ï
ï
î
0
0
0
a)
A ( )A B C A AB B C AB C A B B C A B+ > + + > > - - > - -Û Û Û
2
2 2 4
b)
A ( )A B C A AB B C AB C A B B C A B+ < + + < < - - < - -Û Û Û
2
2 2 4
Như vậy ở cả hai cách làm trên đều sai
Sai lầm thứ nhất thì khi chưa tìm điều kiện mà bình phương thì có thể dẩn đến
bất phương trình mới không tương đương vì nó có sự thay đổi về tập xác định.
Sai lầm thứ hai là khi giải bất phương trình
AB C A B> - -2
đây là bài toán (2)
nên ta phải chia làm hai trường hợp
Biện pháp:
Điều kiện xác định :


ì
- -Û ³
ï
ï
ê
í
ê
ï
> - -
ê
ï
î
ë
2
0
0
4
b)
A B C A AB B C AB C A B+ < + + < < - -Û Û Û2 2
A ( )
C A B
B C A B
ì
- - >
ï
ï
í
ï
< - -
ï

x x x x x x x
é
é
- + < >
ê
ê
ê
ê
ì ì
- +Û ³ Û £
ï ï
ï ï
ê
ê
í í
ê
ê
ï ï
- + < - - - + < - +
ê
ï ïê
î î
ë
ë
2 2 2
3 0 3
3 0 3
3 2 4 1 6 9 2 6 4
x
x

ï
ì
<Û £ Û Û £ Û
ê
ï
ê
ê
ï
ê
ï
ê
é
>
ê
ê
í í
ê
< -
ê
ê
ê
ë
ï ï
ê
- >
ê
ê
< -
ï
î ê

Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
là S=(
5
;+
¥
)
Ví dụ
Bài 4) Giải bất phương trình sau:
3 2 7 2 4x x x− + − < −
Giải
3 2 7 2 4x x x− + − < −
Điều kiện: x
7
2
≥
Bất pt
⇔
2x-4>3x-10+2
( 3)(2 7)x x− −
⇔
-x+6>2
(2 7)( 3)x x− −
⇔
-x+6>
(2 7)( 3)x x− −
2 2 2
6 0 6
( 6) 4(2 7)( 3) 12 36 8 52 84
x x
x x x x x x x

< <
 


Kết hợp với điều kiện ta có bất pt có nghiệm
7
4
2
x≤ <
Vậy bất phương trình có tập nghiệm:
là S
[ ; )=
7
4
2
2.4 Giải bất phương trình dạng:
A B C- >
(4)
(A,B,C là các biểu thức bậc nhất)
Ví dụ
Bài 5: Giải bất phương trình :
x+1x x- > +3 2
Học sinh thường trình bày như sau:
Điều kiện:x
³ 0
x+1 ( x+1) ( )
+1 (x+1) (x+1)
x x x x
x x x x x x
x x x x x x

ø
ë
9 2 21
0
3
Nhận xét: Bài toán trên học sinh đã giải sai: khi bình phương hai vế của bất
phương trình mà không xét xem
x+1x -3
0≥
hay chưa?
12
Sau đó lời giải trên tiếp tục sai khi bình phương hai vế của bất phương trình
(x+1)x x- >3 1 2 3
mà không xét 3x-1>0 nên phép bình phương ở đây cũng
không phải là phép biến đổi tương đương.
Chính vì những sai lầm này nên dẫn đến đáp số của bài toán sai.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (4) là:
-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bất phương trình
-Học sinh có tìm điều kiện xác định của bất phương trình và sẽ trình bày như
sau:
Điều kiện xác định :

A
B
C
ì
³
ï

ï
ï
ï
ï
³
í
ï
ï
³
ï
ï
î
0
0
0
A B C A B C- > > +Û
ta đưa về bài toán 3
13
Hoặc ta phải chứng minh được
A B- ³ 0
sau đó ta mới bình phương hai vế để
đưa về bất phương trình mới tương đương.
Ta có lời giải đúng của bài 5 là:
Bài 5: Giải bất phương trình sau:
x+1x x- > +3 2
Giải
Điều kiện:x
³ 0
x+1 ( )( )
( )( )

í í
- - - +
ï ï
+ - <
< <
ï
î
ï
ï
ï
î
2 2
2
3 2 3 2 3 2 1 2
3
3 2 1 2
6 9 4 3 2
3
3
9 2 21 9 2 21
3 18 1 0
3 3
Bất phương trình vô nghiệm
2.5 Giải bất phương trình dạng:A.
B ³ 0
hoặc A.
B £ 0
(5)
Ví dụ
Bài 6: Giải bất phương trình sau:

ï
-ê £
- ³
ï ï
- - - ³ÛÛÛ
ê
í í
é
³
ï ï
ê
- - ³
ê
ï ï
î
³
ê
ï
ê
ë
ï
ê
-ï £
ï
ê
ï
ë
î
2
2 2

2
2 3 2 0
thì bất phương trình đúng bất kể
x x-
2
3
nhận dấu gì .Nếu
x x- - >
2
2 3 2 0
thì mới suy ra được
x x- ³
2
3 0
.Do đó phép biến đổi trên là không
tương đương nên dẫn đến đáp số của bài toán sai.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (5) là:
-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bài toán
-Học sinh sẽ trình bày như sau: A.
B ³ 0
Điều kiện :
B ³ 0
A.
B A³ Û ³0 0
Ở cách làm này học sinh đã biến đổi không tương đương ta chỉ được chia cả hai
vế của bất phương trình cho một biểu thức khi biểu thức đó luôn dương hoặc
luôn âm với mọi x thuộc tập xác định của bất phương trình.Mà
B ³ 0

ë
0
0
0
Ta có lời giải đúng của bài 6 là:
Bài 6: Giải bất phương trình sau:
( )
x x xx - - - ³
2 2
3 2 3 2 0
Giải
( )
x x xx - - - ³
2 2
3 2 3 2 0
TH1:
x x
x
x
é
=
ê
- - = Û
ê
ê
=-
ê
ë
2
2

ù
ờ
ù
< -
ù
< -ờ
- - >
ù
ù
ờ

ờ
ở
ớ ớ
ù ù
ờ
-
ù ù
ộ

ờ
ù ù
ở
ù ù
ờ
ù ù
ờ
ù ù
Ê
ù ù ở

hoc A.
( )B C- Ê 0
(6)
Vớ d
Bi 7: Gii bt phng trỡnh sau:(x-3)
x x- -Ê
2 2
4 9
Hc sinh thng trỡnh by nh sau:
iu kin:
x -Ê 2
hoc x
2
(x-3)
( )( )x x x x x- - - - - -Ê Ê
2 2 2
4 9 3 4 3 0
( )
( )( )
( )
x x
I
x x x x
x x x
x x
II
x x x x
ộ ộ
ỡ ỡ
- ÊÊ

3 4 3 0
3 0 3
4 3 0 4 3
Gii (I)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
ỡ
ỡ
Ê
ù
ù
ù
ù
Ê
ù
ù
ù
ù
ộ
< - ỡ

ờ
ù ù ù
ớ ớ
ợ
ờ
ù ù
ờ
ù ù
- + +
-Ê
ù ù
ờ
ù
ợ
ù
ở
ờ
ù ù
ù
ợ
ù ù ở
ợ
ợ
2 2
3
3
3
3
3 0
13

ù
ù
ợ
2 2
3
3
3
13
4 6 9
6
Kt hp vi iu kin suy ra bt phng trỡnh cú tp nghim
S=
[ )
; ;
ổ ự
ỗ
- Ơ - + Ơỳẩ
ỗ
ỗ
ố ỳ
ỷ
13
3
6
16
Nhận xét:Nếu nhìn lướt qua đáp số thì ta nghỉ bài giải đúng nhưng lời giải này
đã sai.Vì học sinh không để ý rằng khi x-3=0( hoặc
x x- - -
2
4 3

A
B C
é
ì
³
ï
ï
ê
í
ê
ï
- ³
ï
ê
î
- ³Û
ê
ì
£
ê
ï
ï
ê
í
ê
ï
- £
ï
î
ë

é
ì
>
ê
ï
- =
ï
ê
ê
- ³ÛÛ
í
ê
ê
ï
- >
- >
ê
ï
î
ê
ë
ê
ì
<
ï
ê
ï
ê
í
ï

x
x
x
x
x
x
x x x x
x
x x
x x
x
ộ
=
ộ
ộ
=
ờ
ộ
=
ờ
ờ
=
ờ
ờ
ỡ
-
ù
ờ
ờ
ờ

ở
2
2
2 2
3
3
3
3
3
3 4 3 0 3
13
13
4 3
4 6 9
6
6

TH2:
( )
( )( )
( )
x x
I
x x x x
x x x
x x
II
x x x x
ộ ộ
ỡ ỡ

4 3 0 4 3
3 4 3 0
3 0 3
4 3 0 4 3
Gii (I)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
ỡ
ỡ
<
ù
ù
ù
ù
<
ù
ù
ù
ù
ộ

ờ
ờ
ù ù ù
ớ ớ
ợ
ờ
ù ù
ờ
ù ù
- > + +
< -
ù ù
ờ
ù
ợ
ù
ở
ờ
ù ù
ù
ợ
ù ù ở
ợ
ợ
2 2
3
3
3
3
3 0

>
ớ ớ
ù ù
ù ù
- < + +
ù ù
ù ù
> -
ù ù
ù ù
ợ
ù
ợ
2 2
3 3
3
4 6 9 13
6
Vy bt phng trỡnh cú tp nghim S=
[ )
; ;
ổ ự
ỗ
- Ơ - + Ơỳẩ
ỗ
ỗ
ố ỳ
ỷ
13
3

ê
ê
- < £
ë
4 2
2 2
2
2
8 2
1 8 2 2
2
x x
x x x
x
− −
> ⇔ − − > +
+
TH1: x+2<0
2x
⇔ < −
kết hợp với điều kiện suy ra
x- < -£4 2
TH2:
2 2 2
2
2 0 2
3 17 3 17
8 2 4 4 2 6 4 0
2 2
3 17

3 17
[ 4;2) ( 2; )
2
− +
− ∪ −
Nhận xét:Học sinh đã không để ý đến dấu của x+2 mà nhân vào hai vế của bất
phương trình với x+2 thì đó không phải là phép biến đổi tương đương.Do đó dẫn
đến một bất phương trình mới không tương đương nên đáp số của bài toán bị sai.
Học sinh phải xét dấu của x+2>0 hoặc x+2<0 thì mới được phép nhân vào hai vế
của bất phương trình.
Sai lầm:
Khi dạy học sinh tôi thấy học sinh hay mắc phải các lỗi sau khi giải loại bất
phương trình (7) là:
-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bài toán
-Học sinh sẽ trình bày như sau:
19
Điều kiện :
A
B
ì
³
ï
ï
í
ï
¹
ï
î
0
0

B B
A BC
B
é
ì
ï
- >
ï
ê
í
ê
ï
>
-
ï
ê
î
> >Û Û
ê
ì
ê
ï
- <
ï
ê
í
ê
ï
<
ï

+
Giải
Điều kiện :
x
x
é
- < -£
ê
ê
- < £
ë
4 2
2 2
20
2 2
8 2 8 2 2
1 0
2 2
x x x x x
x x
− − − − − −
> ⇔ >
+ +
Bất phương trình tương đương với hai trường hợp sau
Trường hợp 1.
2 2
2 2
8 2 ( 2)
8 2 2 0 8 2 2
2



− − − +
+ − <
< <
 
⇔ ⇔
 
> −
 
> −


3 17
2
2
x
− +
⇔ − < <
Trường hợp 2:
2 2
8 2 2 0 8 2 2
2 0 2 0
x x x x x x
x x


 
− − − − < − − < +
⇔

0≥
Vì
2 2 2
2( 1) 1 2( 1) 1 1 2( 1) 0x x x x x x− + > ⇔ − + > ⇔ − − + <
2
1
1 2( 1)
x x
x x
−
≥
− − +
2
1 2( 1) 0x x x x⇔ − − + − + ≤
2
2( 1) 1x x x x⇔ − + ≤ − + +
Ta có
2 2 2
2( 1) 2(1 ) 2( ) 1x x x x x x− + = − + ≥ − +
2
1 2( 1) 0x x x x⇒ − − + − + =
đặt t=
x
với
0t ≥
phương trình đưa về dạng :
2 4 2
1 2( 1) 0t t t t− − + − + =
Ta thấy t=0 không phải là nghiệm của phương trình.Chia cả hai vế của phương
trình cho t

1
2 1 0
u
u
u u
≤

⇔ ⇔ = −

+ + =


ta có
2
1
1 1 0t t t
t
− = − ⇔ + − =
1
1 5
2
t
− +
=
(thỏa mãn) t
2
1 5
2
t
− −

( )
x x
x x x x x x x
x x
x x x x x
x x
+ - +
+ - - - + - -³Û³Û ³
+ + -
- + - - + + - + -³Û³ Û³
- -Û ³ Û ³
2
2 2
1 1
1 1 2 1 1 0
1 1
2 1 1 0 2 1 1 4 2 2 1
1 1 1 1
Đúng với mọi x thỏa mãn -1
x£ £ 1
Kết hợp với điều kiện suy ra bất phương trình có tập nghiệm S=[-1;1]
22
Sai lầm:
-Học sinh không tìm điều kiện xác định của bài toán
-Học sinh sẽ trình bày như sau:
Điều kiện:
A
B
C
ì

thức A-B dương hay âm
Biện pháp:
Điều kiện:
A
B
C
ì
³
ï
ï
ï
ï
³
í
ï
ï
¹
ï
ï
î
0
0
0
( ) ( )
( ) ( ) ( ).( )
( ) ( )
A B A B
A B A B A B
C
C A B C A B

0
1
1 0
( )
A B
C A B
− <



− <

+

Ta có lời giải đúng của bài 10 là:
Bài 10.Giải bất phương trình sau:
x x x+ - - ³1 1
Giải
Điều kiện :-1
x£ £ 1
( )
x x
x x x x x x x
x x
+ - +
+ - - - + - -³Û³Û ³
+ + -
1 1
1 1 2 1 1 0
1 1

ë
2
0
0
0
2 1 1 0 0
0
1 1 2
2 1 2
TH2:
( )x x x- + - - >2 1 1 0
(*)
Vì
( ) ( )
( ).( )x x x x x x+ + - < + + - + + + - <Û
2
1 1 1 1 1 1 1 1 2
Với mọi x
¹ 0
Nên
x x- + - -2 1 1
>0
Þ
(*)
Û
x< £0 1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S=[0;1]
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
I. KẾT QUẢ
Trong quá trình dạy lớp 10A5, tôi đã đưa ra các dạng bài tập về bất phương trình

và học hỏi cách viết một đề tài khoa học.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi đúc rút được trong quá trình
giảng dạy, chắc chắn còn mang tính chủ quan của bản thân, và sẽ không tránh
khỏi nhiều sai sót, các vấn đề tôi nêu ra rất mong được sự góp ý của các thầy
cô giáo, các bạn đồng nghiệp và đặc biệt từ phía các em học sinh.

25