95
.Chơng 9. dẫn nhiệt ổn định

9.1. định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt

9.1.1 Định luật fourier và hệ số dẫn nhiệt

Dựa vào thuyết động học phân tử, Fourier đã chứng minh định luật cơ bản
của dẫn nhiệt nh sau:
Vec tơ dòng nhiệt tỷ lệ thuận với vectơ gradient nhiệt độ.
Biểu thức của định luật có dạng vectơ là:
,dtagrq = dạng vô hớng là:

.
tn
dt
gradtq ==
Theo định luật này, nhiệt lơng Q đợc dẫn qua diện tích F của mặt đẳng
nhiệt trong 1 giây đợc tính theo công thức:




=
F
dF.
n
t
Q



9.2.2. Thiết lập phơng trình

Xét cân bằng nhiệt cho phân tố dV bên trong vật dẫn, có khối lợng riêng
, nhiệt dung riêng C
v
, hệ số dẫn nhiệt , dòng nhiệt phân tố là q , công suất phát
nhiệt q
v
.

96
Theo định luật bảo toàn năng lợng, ta có:
[Độ biến thiên nội năng của dV] = [Hiệu số nhiệt lợng (vào-ra) dV] +
[lợng nhiệt sinh ra trong dV], tức là:

+=


d.dV.qd.dV.divq
t
C.dV.
vv
,
hay:

v
v
v
C.









+












+











=
z) , r, trụ dộ toạ (trong ,
z) y, x,với góc vuông dộ toạ (trong ,
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
z
tt
r
1
r
t
.
r
1
r
t
z

q
ta
C.
q
t
C.
t

với a =
v
C.

, m
2
/s., đợc gọi là hệ số khuyếch tán nhiệt, đặc trng cho mức độ
tiêu tán nhiệt trong vật.

9.2.3. Các dạng đặc biệt của phơng trình vi phân dẫn nhiệt với q
v
= 0

Khi vật ổn định nhiệt, 0
t
=



, phơng trình có dạng 0t
2
= . Trong vách

để xác định duy nhất nghiệm riêng của phơng trình vi phân dẫn nhiệt, cần
phải cho trớc một số điều kiện, gọi là các điều kiện đơn trị.

9.3.1. Phân loại các điều kiện đơn trị

Tuỳ theo nội dung, các điều kiện đơn trị bao gồm 4 loại sau:
- Điều kiện hình học cho biết mọi thông số hình học đủ để xác định kích
thớc, hình dạng, vị trí của hệ vật V.
- Điều kiện vật lý cho biết luật phân bố các thông số vật lý theo nhiệt độ tại
mọi điểm M V, tức cho biết (, C
v
, , a . . . ) = f(t, M V).
- Điều kiện ban đầu cho biết luật phân bố nhiệt độ tại thời điểm = 0 tại
mọi điểm M V, tức cho biết t(M V, = 0) = t(x, y, z).
- Điều kiện biên cho biết luật phân bố nhiệt độ hoặc cân bằng nhiệt tại mọi
điểm M trên biên W của hệ V tại mọi thời điểm . Nếu ký hiệu dòng nhiệt q

dẫn
trong vật V đến M W là
n
t.
n
t
q =


=

, thì điều kiện biên có thể cho ở
dạng:

1
ở dạng:
t
w1
= t(M
1
, ).
- ĐKB loại 2: cho biết dòng nhiệt qua điểm M
2
W
2
là:
q(M
2
, ) = -.t
n
.(M
2
, ).
Đặc biệt khi W
2
đợc cách nhiệt tuyệt đối hoặc là mặt đối xứng của bài
toán, thì t
n
(M
2
, ) = 0 và hàm t sẽ đạt cực trị tại M
2
W
2

4
W
4
là q

= q

4
hay -.t
n
.(M
4
, ) =
-
4
.t
n
.(M
4
, ).

98
- ĐKB loại 5: cho biết trên biên W
5
có sự trao đổi chất do sự khuyếch tán
hay chuyển pha (chẳng hạn do hoá lỏng, hoá rắn hoặc thăng hoa, kết tinh). Khi đó
chính biên W
5
sẽ di chuyển và khối lợng vật V sẽ thay đổi và phơng trình cân
bằng nhiệt tại điểm M

d
dx
5
là tốc độ di chuyển của điểm M
5
W
5
,
r là nhiệt chuyển pha j/kg.
- ĐKB loại 6: cho biết biên W
6
tiếp giáp với môi trờng chân không, ở đó
chỉ xẩy ra sự trao đổi nhiệt bằng bức xạ và phơng trình cân bằng nhiệt tại W
6

W
6
có dạng:
q

= q

hay -t
n
(M
6
, ) =
0
T
4

[T
4
(M
7
, ) T
4
k
].
ĐKB loại 7 có thể qui về loại 3 nếu viêt phơng trình trên ở dạng:
q

= )TT(
kw
với )TT/()TT(
kw
4
k
4
w0
+= , đợc gọi là hệ
số toả nhiệ phức hợp. ĐKB loại 6 và loại 7 là những ĐKB không tuyến tính.

9.3.3. Mô hình bài toán dẫn nhiệt

Bài toán dẫn nhiệt có thể đợc mô tả bằng một hệ phơng trình vi phân (t)
gồm phơng trình vi phân dẫn nhiệt và các phơng trình mô tả các đIều kiện đơn
trị nh đã nêu ở mục (9.3):





99







=
=
=
(3)
(2)
(1)
2
1
2
2
t)(t
t)0(t
0
dx
td
)t(

9.4.1.2. Tìm phân bố nhiệt độ t(x)

x)tt(
1
t
211


, có dạng đờng
thẳng qua 2 điểm (0. t
1
) và (, t
2
).

9.4.1.3. Tính dòng nhiệt dẫn qua vách

Theo định luật Fourier ta có:

R
t
tt
dx
dt
q
21

=



==