Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

37
Chơng 5.
xoắn thuần tuý thanh thẳng

I.
Khái niệm về xoắn thuần tuý
1. Định nghĩa

Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi
trên MCN chỉ có một thnh phần nội
lực l mômen xoắn nh trên hình 5.1.

Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn,
có giá trị bằng P.a.
2. Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực
với công suất v số vòng quay

Công suất do mômen xoắn ngoại
lực M (Nm) thực hiện khi trục quay một góc

theo thời gian t: A = M



Do đó công suất N (watt-W):
AM
NM
tt


n
.
3. Các giả thuyết tính toán
Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (hình 5.2)
trớc v sau khi biến dạng, thấy:
MCN ban đầu phẳng v thẳng góc với trục
thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng v thẳng góc
với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không
thay đổi.
Các bán kính của thanh trớc v sau khi biến
dạng vẫn thẳng v có độ di không đổi.
Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu
xoắn, chỉ xảy ra hiện tợng quay của tiết diện
ngang quanh trục thanh. Nhận xét ny đã đợc lí thuyết v thực nghiệm
xác minh l đúng.
II. ứng suất trên mặt cắt của thanh tròn chịu xoắn

Hình 5.1
b
)
Sau biến d
ạ
n
g

F
MdF

=

(a)

Mặt khác theo định luật
Húc:
G.

=
(b)


l ứng suất tiếp trên MCN tại
điểm cách trọng tâm mặt cắt một
khoảng bằng

.

Theo hình 5.4, ta có:

d
tg
dz

=
(c)
với d




dz
3
3
4

4


Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

39

Thay (5-1) vo (c) rồi vo (b), ta có:
z
p
M
.
J


=
(5-2)

ứng suất tiếp lớn nhất:
z
max
p

434
p
D
W10,2D1
16

=

;
d
D
=


Biểu đồ ứng suất biểu diễn nh trên hình (5.3b). Ta thấy ứng suất
tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vo khoảng cách

đến
trọng tâm mặt cắt ngang.
III. Biến dạng
Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn đợc thể hiện bằng
góc xoắn tơng đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (5.1) ta có:

==
z
p
M
d
dz GJ
(rad/m) (5-4)

không đổi trong từng đoạn có chiều di
l
i
, ta có:

=
z
p
M
G.J
l
hoặc
n
zi
i1
ipi
M
GJ
=
=

l
(5-6)
Từ các công thức trên ta thấy khi chịu xoắn, đặc trng hình học của
MCN không phải l diện tích F m l mômen độc cực J
p
.
IV. Tính toán về xoắn thuần tuý
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng



Đối với vật liệu dẻo:
[]
ch
n

=
, vật liệu giòn:
[]
B
n

=
(5.9)

Điều kiện bền trên ton thanh khi đờng kính thay đổi:

[]
z
max
p
max
M
W

=



(5-10)

p
M
GJ
[rad/chiều di] hoặc [độ/chiều di] (5.13)
trong đó [

] l góc
xoắn tơng đối cho phép
(tra bảng). Nếu [

] đợc cho
bằng (độ/chiều di)

công thức quy đổi sau:
[] rad/chiều di =
.[ ]
180


độ/ chiều di (5.14)
Theo công thức 5.13 ta cũng có ba loại bi toán sau:
a. Kiểm tra điều kiện cứng: theo công thức 5.13
b. Tính kích thớc mặt cắt ngang:
[]


=




z
max
2
M
ab
=

(5.18)
ứng suất tại điểm giữa cạnh ngắn:

1
=
max
( 1) (5.19)
Góc xoắn tơng đối: =
z
3
M
ab
(5.20)
Các hệ số , , phụ thuộc vo tỉ số a/b, cho trong các ti liệu SBVL,
ví dụ a/b = 1 = 0,208; = 0,141; = 1,0.
2. Thanh có thnh mỏng kín hoặc hở
Thanh thnh mỏng kín (hình
5.6a) v hở (hình 5.6b).
a. Thanh có thnh mỏng kín
ứng suất tiếp đợc phân bố
đều theo bề dy b của thnh, ví dụ
tại một điểm A:


:
Hình 5.
5

Hình 5.6
Chu vi
trung gian
b)
a)
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

42


=
z
imax
*
J
b
i
(5.23) ;
n
3
*ii
i1
1
Jab
3
=

Ví dụ. Tính ứng suất
max
tại các
điểm A, B v góc xoắn của một
thanh di 2m có thnh mỏng kín, bị
xoắn, mặt cắt ngang của thanh nh
hình 5.8, biết M
z
= 2.10
4
Nm, G =
5,2.10
10
N/m
2
(vật liệu gang).
Giải: Diện tích giới hạn bởi
đờng tâm của thnh: F
*
= (0,4
0,01)(0,2 0,03) = 0,0663m
2

ứng suất tại A l:
4
62
A
2.10
5.10 N /m
2.0,0663.0,03

z
*1 2 1 2
12 23 32 41
Ml
ds ds ds ds
4GF b b b b

=
()
4
3
2
2.10 .2 0,39 0,17
2. 2. 2,62.10 rad
0,03 0,01
4.5,2. 0,0663


+



VI. Bi toán siêu tĩnh về xoắn
Một thanh tròn bị ngm ở hai đầu chịu tác dụng của ngẫu lực M
0
nh
hình 5.9a. Vẽ biểu đồ nội lực của thanh.
Hình 5.
7
Hình 5.

Điều kiện thay thế l góc
xoắn
AB
phải bằng không, để bảo đảm sự tơng đơng về biến dạng với
thanh siêu tĩnh đã cho, do đó:

(
)
0
0
A
A
AB AC CB
zz
MMb
Ma
GJ GJ

=+= + =
(b)
Giải phơng trình trên, đợc:

A0
b
MM
ab
=
+
(c)
thay (c) vo (a), suy ra:

c
)
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

44
Xét một lò xo xoắn ốc trụ tròn, chịu lực dọc
P
G
(hình 5.10) với: h l
bớc của dây lò xo, d l đờng kính dây lò xo, D l đờng kính trung bình
của vòng dây lò xo, l góc nghiêng của các dây lò xo, n l số vòng dây lò
xo.
Giả thiết:
1.
Góc nghiêng rất bé,
bớc h của lò xo không
lớn lắm
D
h
10
<
.
2.
Đờng kính d v D phải
thoả mãn
D
d
5
<
.

M
PR
J
J
= =
;
y
Q
2
Q
4P
F
d
= =


ứng suất tiếp tại một điểm no đó l tổng hình học của hai thnh phần
ứng suất tiếp.
max
l tại điểm A trên biên của mặt cắt ngang, ứng với đờng
kính trong của lò xo (hình 5.10c).

max
323
8PD 4P 8PD d
1
2D
ddd

= + = +

k
Dd 1

Điều kiện bền khi tính toán lò xo l:
[]

=

max
3
8PD
k
d

2. Biến dạng
Ngoi độ bền, còn phải tính lợng co giãn của lò xo.
Gọi l lợng co giãn của lò xo do lực dọc P gây nên. Công của
ngoại lực P trong biến dạng đó l:
()
2
00
0
ycP
APydycydyc
222




=====

GJ
l

Thay trị số của l= Dn v M
z
= PD/2:
3
4
8PD n
Gd
=

Lực cần thiết để gây nên một biến dạng đơn vị của lò xo, đợc gọi l
độ cứng của lò xo, kí hiệu l C:
4
3
PGd
C
8D n
==


Độ cứng của lò xo đợc tính bằng N/m.

VII. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 5-1
: Cho dầm đầu ngm đầu tự do chịu mômen xoắn tập trung
M
0
(hình 5.11a). Vẽ biểu đồ mômen xoắn.

2. Chia dầm thnh hai đoạn:
- Đoạn AB cắt thanh ở mặt
cắt z
1
)400(
1
cmz
v xét sự
cân bằng phần trái, ta tìm đợc
1
z
M
=300 Nm.
- Đoạn BC cắt thanh ở mặt
cắt z
2
v xét sự cân bằng phần
phải ta có:
2
z
M
= 900 - 1000.z
2

Vẽ biểu đồ M
z
nh
trên hình 5.12.
Ví dụ 5-3
: Cho một

hiểm có N
0
= 50 mã lực


Zmax
71620 716200
MN50Ncm
n 1000
==

Chọn kích thớc theo điều kiện bền (5-11), ta có:
[]


z
p
M
W

[]
3
4
0
P
716200.N
D
w(1)
16 n


P
0
716200N 100 180
D
J(1)
32 n.G.[ ]

D=3,49cm
so sánh ta chọn: D=3,64; d=3,64. 0,6 = 2,18cm.
Hình 5.13
a)
b)
Hình 5.12
4
0cm
60cm
1000Nm/m