VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC PGS.TS. BÙI THẾ TÂM
QUY HOẠCH RỜI RẠC BÀI GIẢNG CAO HỌC

pháp đơn hình bình thường, phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng và chương trình
máy tính viết bằng C++, và khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
Chương 3 trình bày tư tưởng phương pháp cắt, thuật toán Gomory thứ nhất và
chứng minh sự hội tụ của nó (tài liệu gốc trong [1], [2]), chương trình máy tính của
thuật toán Gomory thứ nhất.
Chương 4 xét hai thuật toán: thuật toán Gomory thứ hai dùng để giải bài toán quy
hoạch tuyến tính nguyên bộ phận [3], thuật toán Dalton - Llewellyn dùng để giải bài
toán quy hoạch tuyến tính với các biến nhận giá trị rời rạc [4], chương trình máy tính
của hai thuật toán này.
Chương 5 trình bày thuật toán Gomory thứ ba nhằm xây dựng các lát cắt đảm bảo
tất cả các Bảng đơn hình ở mỗi bước đều có tất cả các phần tử là nguyên [5], [6],
chương trình máy tính của thuật toán Gomory thứ ba.
Chương 6 trình bày tư tưởng của phương pháp nhánh cận, phương pháp Land
A.H và Doig A.G giải bài toán qui hoạch nguyên [7], phương pháp Little J.D, Murty
K.G, Sweeney D.W và Karen C giải bài toán người du lịch [8].
Các tài liệu gốc [1]-[8] được A.A. Korbut, Iu. Iu. Phinkenstein trình bày lại trong
cuốn sách [10]. Năm chương trình bằng ngôn ngữ C trong tài liệu này về Phương pháp
đơn ngẫu từ vựng, ba thuật toán Gomory, thuật toán Dalton đều do chính tác giả lập.
Bạn đọc quan tâm tới lập trình bằng Pascal cho các bài toán tối ưu của Quy hoạch tuyến
tính, Quy hoạch phi tuyến và Quy hoạch rời rạc có thể tham khảo tài liệu [14].
Các trường Đại học, các cơ sở đào tạo có nhu cầu giảng dạy môn này, hoặc hướng
dẫn giảng viên để giảng dạy môn này, hoặc bạn đọc muốn góp ý về giáo trình này xin
vui lòng liên hệ với tác giả theo địa chỉ: Bùi Thế Tâm, Viện Toán học, Viện Khoa học
và Công nghệ Việt Nam, 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu giấy, Hà nội ; địa chỉ email:
[email protected]à Nội, ngày 4 tháng10 năm 2008
Bùi Thế Tâm ii Quy hoạch rời rạc


14. Bùi Thế Tâm. Turbo Pascal: lý thuyết cơ bản, bài tập, những chương trình
mẫu trong khoa học kỹ thuật và kinh tế. NXB GTVT, 1993, 460 trang.

VÀI NÉT VỀ TÁC GIẢ
B.T. Tâm sinh năm 1948 tại Hiệp Hoà, Bắc Giang; hiện làm việc tại Phòng Tối ưu
và Điều khiển thuộc Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam; bảo vệ
Tiến sỹ tháng 5/1978 tại Viện Hàn lâm Khoa học Liên xô; nhận học hàm Phó giáo sư
tháng 7/1996.
Bùi Thế Tâm iii Quy hoạch rời rạc

MỤC LỤC
Chương 1. Bài toán quy hoạch rời rạc I.1
1. Định nghĩa bài toán I.1
2. Các bài toán thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch rời rạc I.2
Chương 2. Những khái niệm mở đầu II.1
1. Những khái niệm cơ bản về quy hoạch tuyến tính II.1
2. So sánh theo nghĩa từ vựng II.3
3. Bảng đơn hình, các phương án và giả phương án II.4
4. Phương pháp đơn hình II.5
5. Phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng II.6
6. Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên II.16
Chương 3. Thuật toán Gomory thứ nhất III.1
1. Tư tưởng phương pháp cắt III.1
2. Thuật toán Gomory thứ nhất III.5
3. Tính hữu hạn của thuật toán Gomory thứ nhất III.9
4. Giải ví dụ số III.11
5. Chương trình máy tính III.15
Bài tập III.23
Chương 4. Thuật toán Gomory thứ hai IV.1
1. Lược đồ logic của thuật toán IV.1

Bài toán quy hoạch rời rạc có dạng sau:
Tìm cực đại của hàm
(, )
f
xy
phụ thuộc hai nhóm biến x và y với các ràng buộc
có dạng:
( , ) 0, 1,2, ,
i
g
xy i m x D
≤
=∈
trong đó,
12 12
( , , , ), ( , , , ), 0, 0
pq
xxx x yyy yp q==>≥
,
D là tập hữu hạn các véc tơ
p - chiều, còn
,
i
f
g
là những hàm cho trước của
n
biến số (
npq
=

nguyên bộ phận
.
Chú ý
Sở dĩ bài toán quy hoạch rời rạc còn được gọi là bài toán quy hoạch nguyên là vì
bất kỳ bài toán với các biến số chỉ nhận một số hữu hạn giá trị cho trước, đều có thể quy
về bài toán trong đó các biến chỉ nhận các giá trị nguyên. Ví dụ, giả sử biến
x
biểu thị
quy mô công suất của nhà máy điện cần xây dựng chỉ có thể lấy một trong các giá trị
cho trước
12
, , ,
k
aa a (các quy mô công suất tiêu chuẩn). Khi đó bằng cách đặt:
11 2 2

kk
x
au au a u
=
+++,
với
{
}
12
1, 0;1 , 1,2 ,
kj
uu u u j k+++= ∈ =
thì biến rời rạc
x

trọng trong quy hoạch rời rạc.
2. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ DẪN TỚI QUY HOẠCH RỜI RẠC
2.1. Bài toán vận tải
Có m kho hàng (điểm phát) chứa một loại hàng hoá, lượng hàng ở kho
i
là
i
a
và
n
nơi tiêu thụ (điểm thu), nhu cầu ở nơi thu là
j
b ,
ij
c là chi phí vận chuyển một đơn vị
hàng từ điểm phát
i đến điểm thu j . Xác định các lượng hàng vận chuyển
ij
x
từ các
điểm phát
i
tới các điểm thu j sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất và nhu cầu các điểm
thu được thoả mãn.
Dạng toán học của bài toán là:
ij ij
ij
ij
1
ij

≥
=
∑
∑
∑
∑∑

Nếu các
i
a và
j
b
là nguyên thì đa diện lồi xác định bởi các ràng buộc của bài
toán có mọi đỉnh đều là nguyên. Do đó ta có thể dùng phương pháp đơn hình để giải bài
toán quy hoạch tuyến tính này, lời giải cuối cùng nhận được sẽ là một phương án
nguyên.
Ví dụ. Xét bài toán vận tải có 3 điểm phát và 4 điểm thu với ma trận chi phí như
sau:
2143
6052, (10,25,15), (5,15,20,10)
1482
ij ij
cab


===





n
i
n
j
m
i
cx
x
in
x
jn
x
=
=
=
→
==
==
∈
∑∑
∑
∑Ví dụ có 4 đơn vị sản xuất 4 loại sản phẩm với ma trận chi phí sau:
100000 4000000 800000 550000
200000 3500000 750000 500000
400000 2000000 700000 400000
300000 5000000 600000 450000
Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu là 3200000 đồng, phương án tối ưu là:

cx
ax b
x
xZ
=
→
≤
≥∈
∑
∑

Ví dụ. Có một cái túi chứa được nhiều nhất là 62 kg, có 10 đồ vật cần mang
{}
123 4 5678910
123 4567 8910
30 19 13 38 20 6 8 19 10 11 ax
15 12 9 27 15 5 8 20 12 15 62
0,1 , 1,2, ,10
j
x
xxx xxxxxxm
xxxxxxx xxx
xj
+++++++++ →
+++++++++ ≤
∈=

Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu là 95, phương án tối ưu là (1,1,0,1,0,0,1,0,0,0)
2.4. Bài toán xếp hàng lên tầu
http://www.ebook.edu.vn

j
1
j
max
0,1,2, , , 1, 2, ,
n
j
j
n
j
j
j
cx
ax T
bx K
x
sj n
=
=
→
≤
≤
∈=
∑
∑
∑

Ở đây, không giảm tính tổng quát của bài toán ta có thể giả sử các hệ số ,,,,
jjj
TKa b c

ij
x
là số đồ vật j được chở trên công ten nơ i ,
i
y là biến nhận giá trị 0 hay 1
tuỳ theo có dùng công ten nơ
i hay không.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
{}
1
ij
1
ij
1
ij
1
ij
min
, 1, 2, ,
, 1, 2, ,
, 1,2, ,
0,1,2, , , 1, 2, , , 1, 2, ,
0,1 1,2, ,
m
i
i
n
ji
j


http://www.ebook.edu.vn
Bùi Thế Tâm I.5 Quy hoạch rời rạc

Hai nhóm ràng buộc đầu biểu thị yêu cầu không chuyên chở quá tải trọng và dung
lượng của mỗi công ten nơ được sử dụng ( 1
i
y
=
), còn công ten nơ không sử dụng
(0
i
y = ) cần phải rỗng. Nhóm ràng buộc thứ ba biểu thị mọi đồ vật cần được xếp vào
các công ten nơ.
2.6. Bài toán người du lịch
Cho đồ thị (, ),GVE= V là tập n đỉnh, E là tập n cạnh. Gọi
ij
c là độ dài của
cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j, có thể
ij ji
cc
≠
và
ii
c
=
∞
với mọi
i
. Một chu trình

cx
xi n
xj n
xijn
uu nx n
=
=
=
→
==
==
∈=
−
+≤− ≤≠≤
∑∑
∑
∑

trong đó
i
u nhận giá trị nguyên hay thực.
Hai tập ràng buộc đầu biểu thị mỗi thành phố được thăm đúng một lần. Ràng buộc
cuối đưa vào để mỗi hành trình của bài toán chỉ chứa duy nhất một chu trình.
Bài toán người du lịch là một bài toán rất quen thuộc và nổi tiếng trong tối ưu rời
rạc. Tuy số phương án của bài toán là hữu hạn (bằng
!n đối với bài toán có n thành
phố) nhưng với
n
cỡ hàng ngàn trở lên thì số phương án này cực kỳ lớn, vì thế cách
duyệt toàn bộ là không thể thực hiện được, mặc dầu có sự trợ giúp của các máy tính cực

+>


==

=


jjj j
jj
j
dcx khix
f
xjn
khi x

Giả thiết 0
j
d > với mọi 1, 2, ,
j
n= . Các số
j
d thường được hiểu là các chi phí cố
định cần thiết để đưa phương thức sản xuất
j
vào hoạt động, nó không phụ thuộc vào
cường độ sử dụng của phương thức này
()
j
x


2.8. Bài toán với ràng buộc dạng lựa chọn
Cho hai hàm số ()
g
x và ()hx bị chặn trên trên tập hợp D . Nếu ta đòi hỏi phải có
hoặc
() 0gx≤ hoặc () 0hx ≤ với mọi
x
D
∈
, thì điều này có thể diễn đạt bằng cách đưa
thêm vào một biến số nhận giá trị 0-1. Ký hiệu
g
u và
h
u là các cận trên của hàm ( )
g
x
và ( )hx trên tập D (()
g
g
xu≤ ,()
h
hx u
≤
,
x
D
∀
∈ ). Khi đó điều kiện trên sẽ được thoả

=
∑
(với 0, 0, 1,2, ,
jj
x
yj n≥≥= )
có thể thay thế bằng
n cặp ràng buộc dạng lựa chọn:
0
j
x ≤ hay 0, 1, 2, ,
j
yj n≤= (với 0, 0, 1, 2, ,
jj
x
yj n≥≥= ).
Giả sử đã biết cận trên
j
p
của biến
j
x
và cận trên
j
q
của biến
j
y
. Khi đó bằng
cách đưa vào các biến

http://www.ebook.edu.vn
Bùi Thế Tâm I.7 Quy hoạch rời rạc

thức sản xuất sản phẩm mới này vào hoạt động (khi đó mới có lãi). Tức là ta gặp ràng
buộc dạng lựa chọn:
00
jj j
dx hayx
−
≤≤

Giả sử đã biết cận trên
j
p
của biến
j
x
trong bài toán trên. Khi đó ta đưa vào biến 0-1
1
i
y = nếu chấp nhận sản xuất sản phẩm j , và bằng 0 nếu ngược lại. Ta có thể đưa ràng
buộc dạng lựa chọn nói trên về hệ ràng buộc tương đương sau:
{
}
,0,1
jj j jj j
dy x py y≤≤ ∈
2.9. Bài toán pha cắt nguyên vật liệu
Trong thực tế ta thường phải cắt những vật liệu dài (thanh thép, gỗ, ống nước…)
thành những đoạn nhỏ có độ dài cho trước với số lượng nhất định để sử dụng. Nên cắt


Tổng quát, ký hiệu:
ij
a là số đoạn loại i thu được khi cắt theo mẫu j ,
i
b là số
đoạn loại
i
cần có,
j
c là dẻo thừa khi cắt theo mẫu j ,
j
x
là số thanh thép cắt theo mẫu
j . Ta được bài toán quy hoạch rời rạc:
1
1
min
,1,2, ,
0 , 1,2, ,
n
jj
j
n
ij j i
j
j
cx
ax b i m
x

dự án).
i
b
là lượng tài nguyên
i
hiện có trước khi thực hiện các đầu tư.
ij
a là số tài nguyên i cần để sản xuất ra một sản phẩm j .
k
d là chi phí cần cho loại dự án đầu tư
k
.
ik
g
là lượng tài nguyên i được tăng thêm nếu dự án đầu tư k được thực hiện.
Ta đưa vào một biến 0-1:
k
y =1 nếu dự án được dùng, và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
0
1
11
ax
, 1, 2, ,
0,1,2,,
0,1 , 1, 2, ,
n
jj

Đây cũng là một bài toán đầu tư, nhưng phức tạp hơn so với bài toán sản xuất -
đầu tư. Cái khó không phải chỉ vì các chi phí đầu tư được tính đến mà còn vì có các chi
phí khác phụ thuộc vào địa điểm đặt nhà máy, cụ thể là chi phí vận chuyển. Cũng còn
một khó khăn nữa, đó là chi phí đầu tư trả một lần, còn chi phí vận chuyển thì xuất hiện
thường xuyên. Để làm cho chi phí này có thể so sánh được với nhau thì phải xét thêm
các chi phí vận chuyển trong các thời kỳ khác nhau, tất nhiên là quy đổi so với thời kỳ
đầu. Nói một cách khác, cần thêm vào một hệ số nhân thích hợp đối với các chi phí vận
chuyển.
Ta ký hiệu:
P
là số địa điểm thích hợp đặt nhà máy.
N
là số các nhà máy khác nhau có thể xây dựng (
NP
≤
), mỗi địa điểm đặt nhiều
nhất là một nhà máy.
M
là số các vật phẩm khác nhau được sản xuất hay tiêu dùng.
is
a là lượng vật phẩm i được sản xuất (nếu
is
0a > ), hay tiêu dùng (nếu
is
0a < ) ở
nhà máy
s
( 1,2, , ; 1, 2, ,iMsN==)
http://www.ebook.edu.vn
Bùi Thế Tâm I.9 Quy hoạch rời rạc

s
t
f
là lượng hàng cần vận chuyển (trong một thời kỳ) từ nhà máy
s
tới nhà máy
t .
λ
là hệ số chuyển đổi làm cho chi phí vận chuyển so sánh được với chi phí đầu
tư.
p
s
x
là biến xác định vị trí, nhận giá trị 1 hay 0 tuỳ thuộc vào nhà máy
s
có đặt tại
vị trí
p
hay không.
Bài toán đặt ra là cần xác định địa điểm đặt các nhà máy sao cho tổng chi phí xây
dựng và vận chuyển hàng là nhỏ nhất. Ta đi đến bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến:
{}
11 1111
11
1
min
, 1, 2, ,
1, 1, 2, ,
0,1 , 1, 2, , ; 1, 2, ,
PN PPNN

x
=1 nếu đỉnh
j
được chọn, và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
ax
1(,)
0,1 , 1, 2, ,
n
j
j
ij
j
xm
x
xijE
x
jn
=
→
+≤ ∀ ∈
∈=
∑
…

Nếu đỉnh
j
có trọng số

khác nhau. Giả sử đồ thị (, )
GVE
=
, V là tập n đỉnh, E là tập m cạnh. Cần tối đa n
màu nếu đồ thị có n đỉnh. Đặt hai biến
k
y
=1 nếu màu
k
được dùng, và bằng 0 nếu trái lại.
jk
x
=1 nếu đỉnh
j
được tô màu k , và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
1
min
1, 1,2, ,
,(,) , 1,2,,
,0,1,,1,2,,
n
k
k
n
jk
k
ik jk k

y =1 nếu màu
k
được dùng, và bằng 0 nếu trái lại.
jk
x
=1 nếu cạnh j được tô màu k , và bằng 0 nếu trái lại.
ij
a
=1 nếu đỉnh
i
là mút cuối của cạnh j và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
1
1
min
1, 1,2, ,
, 1,2, , ; 1,2, ,
,0,1,,1,2,,
m
k
k
m
jk
k
m
ij jk k
j
kjk

tâm dịch vụ) tại các ngã ba, ngã tư…sao cho quan sát được mọi tuyến đường trong khu
phố với số trạm ít nhất.
Ta đưa vào một biến 0-1 là
j
x
=1 nếu đỉnh j được chọn, và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán:
{}
1
min
1, ( , )
0,1 ; 1, 2, ,
n
j
j
ij
j
x
x
xijE
x
jn
=
→
+
≥∀ ∈
∈=
∑

2.16. Bài toán phủ cạnh

1, 1,2, ,
0,1 ; 1, 2, ,
m
j
j
m
ij j
j
j
x
ax i n
x
jm
=
=
→
≥=
∈=
∑
∑

2.17. Bài toán ghép cặp trên đồ thị
Cho đồ thị (, )GVE= , V là tập n đỉnh, E là tập m cạnh. Tìm tập cạnh lớn nhất
(nhiều cạnh nhất) sao cho hai cạnh bất kỳ không chung đỉnh. Ta đưa vào các ký hiệu:
ij
a =1 nếu đỉnh i là một trong các đầu mút của cạnh j , và bằng 0 nếu trái lại.
j
x
=1 nếu cạnh j được chọn, và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:

c ≥ thì có thể xét bài toán tìm ghép cặp với
tổng trọng số lớn nhất
1
max
m
jj
j
cx
=
⇒
∑

Ví dụ . Có
p
người và q việc,
p
khác q . Mỗi người được đào tạo để làm ít nhất
một việc. Hãy sắp xếp mỗi người làm một việc phù hợp với khả năng chuyên môn của
họ. Khi đó ta có đồ thị hai phần như sau:
Người 1 Việc 1
Người 2 Việc 2
Người
p
Việc q
p đỉnh ứng với người, q đỉnh ứng với việc. Nếu người
i
có khả năng làm việc j thì ta

x
là số cảnh sát đi làm vào lúc 18 giờ chiều. Khi đó dạng toán học của bài
toán là:
6
1
12
23
34
45
56
16
1
7
6
6
17
13
0 , 1, 2, 3, 4,5,6.
j
j
j
xmin
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xZj
=

237
34 6
78
12 568
0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8
jj
xx max
xxx
xxx
xx x
xx
xx xxx
xqj
+
→
=+
=+
+=
=
+=++
≤≤ =j
x
nguyên với j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Trong trường hợp véc tơ q = (4, 2, 4, 4, 1, 2, 2, 2) ta được đáp số là: lượng hàng tối đa
có thể vận chuyển là 5, phương án tối ưu là x = (3, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2).
3
1
BÀI TẬP
Dùng Microsoft Excel để giải các bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên sau.
1. Một xưởng mộc sản xuất ba loại ghế tựa khác nhau A, B, C. Mỗi loại ghế cần
trải qua các thao tác: đánh bóng, đánh màu và đánh véc ni. Ngoài ra ghế loại C cần thêm
thao tác bọc nệm ghế. Biết thời gian cần thiết để thực hiện mỗi thao tác đối với từng loại
ghế: ghế loại A cần 1h đánh bóng, 0.5 giờ đánh màu, 0.7 giờ đánh véc ni và tiền lãi là
100 ngàn đồng; ghế loại B cần 1.2h đánh bóng, 0.5 giờ đánh màu, 0.7 giờ đánh véc ni
và tiền lãi là 130 ngàn đồng; ghế loại C cần 0.7h đánh bóng, 0.3 giờ đánh màu, 0.3 giờ
đánh véc ni, 0.7 giờ bọc nệm và tiền lãi là 80 ngàn đồng. Thời gian hiện có dành cho
việc đánh bóng là 600 giờ/ tháng, đánh màu là 300 giờ, đánh véc ni là 300 giờ, bọc nệm
là 140 giờ. Hỏi nên sản xuất bao nhiêu ghế mỗi loại để thu được nhiều lãi nhất.
2. Một xưởng sản xuất dự định mua hai loại máy để in hình vẽ trên vải. Máy A có
thể in 100 m/phút và chiếm 50 mét vuông diện tích sàn, còn máy B có thể in 200 m/phút
và chiếm 140 mét vuông diện tích sàn. Xưởng cần in ít nhất 600 m/phút và có diện tích
sàn để đặt máy in tối đa là 350 mét vuông. Mỗi máy A giá 22 triệu đồng và mối máy B
giá 42 triệu đồng. Hỏi cần mua bao nhiêu máy in mỗi loại sao cho tốn ít chi phí nhất.
3. Một doanh nghiệp có trong tay 10 dự án sẽ được lựa chọn để thực hiện vào năm
sau. Do hạn chế về nhân lực và tài chính nên không thể thực hiện tất cả các dự án. Để
lựa chọn, mỗi dự án được gán một trọng số biểu thị giá trị của việc thực hiện dự án đó,
các dự án từ 1 đến 10 có các trọng số tương ứng là: 70, 50, 60, 20, 10, 20, 30, 450, 10,
40. Chi phí về nhân lực của các dự án từ 1 đến 10 tương ứng là: 250, 195, 200, 70, 30,
40, 100, 170, 40, 120 người / tuần. Chi phí về tài chính của các dự án từ 1 đến 10 tương
ứng là : 400, 300, 350, 100, 70, 70, 250, 250, 100, 200 triệu đồng. Chủ doanh nghiệp
hiện có nguồn nhân lực 1000 người/tuần và 1500tiệu đồng để thực hiện các dự án. Cần
chọn thực hiện những dự án nào để thu được tổng giá trị lớn nhất.
4. Một xí nghiệp dùng 3 máy M1, M2, M3 để sản xuất một loại sản phẩm gồm 3
chi tiết C1, C2, C3 (mỗi bộ sản phẩm gồm một chi tiết mỗi loại). Mỗi ngày máy M1 có
thể sản xuất 8 chi tiết C1 hoặc 3 chi tiết C2 hoặc 12 chi tiết C3; máy M2 có thể sản xuất

500 800 300
9. Bài toán vận tải: khả năng phát A = (65, 95, 85, 55), nhu cầu B = (55, 50, 80 ,
50 ,65).
9 20 7 14 8
C = 12 15 19 13 8
11 27 17 23 19
14 11 13 7 10
10. Tìm tập đỉnh có nhiều phần tử nhất trên đồ thị sau sao cho không có hai đỉnh
nào kề nhau

1 3 2 10 6 4 5 9 7 8
11. Tìm số màu tối thiểu để tô mọi đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau có
màu khác nhau
1 2 4 3
12. Tìm số màu tối thiểu để tô các cạnh của đồ thị sau sao cho hai cạnh kề nhau có
màu khác nhau
1

4

2 3


4 8
Người Việc