VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN TOÁN HỌC PGS.TS. BÙI THẾ TÂM
QUY HOẠCH RỜI RẠC BÀI GIẢNG CAO HỌC

pháp đơn hình bình thường, phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng và chương trình
máy tính viết bằng C++, và khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên.
Chương 3 trình bày tư tưởng phương pháp cắt, thuật toán Gomory thứ nhất và
chứng minh sự hội tụ của nó (tài liệu gốc trong [1], [2]), chương trình máy tính của
thuật toán Gomory thứ nhất.
Chương 4 xét hai thuật toán: thuật toán Gomory thứ hai dùng để giải bài toán quy
hoạch tuyến tính nguyên bộ phận [3], thuật toán Dalton - Llewellyn dùng để giải bài
toán quy hoạch tuyến tính với các biến nhận giá trị rời rạc [4], chương trình máy tính
của hai thuật toán này.
Chương 5 trình bày thuật toán Gomory thứ ba nhằm xây dựng các lát cắt đảm bảo
tất cả các Bảng đơn hình ở mỗi bước đều có tất cả các phần tử là nguyên [5], [6],
chương trình máy tính của thuật toán Gomory thứ ba.
Chương 6 trình bày tư tưởng của phương pháp nhánh cận, phương pháp Land
A.H và Doig A.G giải bài toán qui hoạch nguyên [7], phương pháp Little J.D, Murty
K.G, Sweeney D.W và Karen C giải bài toán người du lịch [8].
Các tài liệu gốc [1]-[8] được A.A. Korbut, Iu. Iu. Phinkenstein trình bày lại trong
cuốn sách [10]. Năm chương trình bằng ngôn ngữ C trong tài liệu này về Phương pháp
đơn ngẫu từ vựng, ba thuật toán Gomory, thuật toán Dalton đều do chính tác giả lập.
Bạn đọc quan tâm tới lập trình bằng Pascal cho các bài toán tối ưu của Quy hoạch tuyến
tính, Quy hoạch phi tuyến và Quy hoạch rời rạc có thể tham khảo tài liệu [14].
Các trường Đại học, các cơ sở đào tạo có nhu cầu giảng dạy môn này, hoặc hướng
dẫn giảng viên để giảng dạy môn này, hoặc bạn đọc muốn góp ý về giáo trình này xin
vui lòng liên hệ với tác giả theo địa chỉ: Bùi Thế Tâm, Viện Toán học, Viện Khoa học
và Công nghệ Việt Nam, 18 Hoàng Quốc Việt, Cầu giấy, Hà nội ; địa chỉ email:
Hà Nội, ngày 4 tháng10 năm 2008
Bùi Thế Tâm ii Quy hoạch rời rạc


14. Bùi Thế Tâm. Turbo Pascal: lý thuyết cơ bản, bài tập, những chương trình
mẫu trong khoa học kỹ thuật và kinh tế. NXB GTVT, 1993, 460 trang.

VÀI NÉT VỀ TÁC GIẢ
B.T. Tâm sinh năm 1948 tại Hiệp Hoà, Bắc Giang; hiện làm việc tại Phòng Tối ưu
và Điều khiển thuộc Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt nam; bảo vệ
Tiến sỹ tháng 5/1978 tại Viện Hàn lâm Khoa học Liên xô; nhận học hàm Phó giáo sư
tháng 7/1996.
Bùi Thế Tâm iii Quy hoạch rời rạc

MỤC LỤC
Chương 1. Bài toán quy hoạch rời rạc I.1
1. Định nghĩa bài toán I.1
2. Các bài toán thực tế dẫn đến bài toán quy hoạch rời rạc I.2
Chương 2. Những khái niệm mở đầu II.1
1. Những khái niệm cơ bản về quy hoạch tuyến tính II.1
2. So sánh theo nghĩa từ vựng II.3
3. Bảng đơn hình, các phương án và giả phương án II.4
4. Phương pháp đơn hình II.5
5. Phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng II.6
6. Bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên II.16
Chương 3. Thuật toán Gomory thứ nhất III.1
1. Tư tưởng phương pháp cắt III.1
2. Thuật toán Gomory thứ nhất III.5
3. Tính hữu hạn của thuật toán Gomory thứ nhất III.9
4. Giải ví dụ số III.11
5. Chương trình máy tính III.15
Bài tập III.23
Chương 4. Thuật toán Gomory thứ hai IV.1
1. Lược đồ logic của thuật toán IV.1

Tìm cực đại của hàm
(, )
f
xy
phụ thuộc hai nhóm biến x và y với các ràng buộc
có dạng:
( , ) 0, 1,2, ,
i
g
xy i m x D
≤
=∈
trong đó,
12 12
( , , , ), ( , , , ), 0, 0
pq
xxx x yyy yp q==>≥
,
D là tập hữu hạn các véc tơ
p - chiều, còn
,
i
f
g
là những hàm cho trước của
n
biến số (
npq
=
+

Chú ý
Sở dĩ bài toán quy hoạch rời rạc còn được gọi là bài toán quy hoạch nguyên là vì
bất kỳ bài toán với các biến số chỉ nhận một số hữu hạn giá trị cho trước, đều có thể quy
về bài toán trong đó các biến chỉ nhận các giá trị nguyên. Ví dụ, giả sử biến
x
biểu thị
quy mô công suất của nhà máy điện cần xây dựng chỉ có thể lấy một trong các giá trị
cho trước
12
, , ,
k
aa a (các quy mô công suất tiêu chuẩn). Khi đó bằng cách đặt:
11 2 2

kk
x
au au a u
=
+++,
với
{
}
12
1, 0;1 , 1,2 ,
kj
uu u u j k+++= ∈ =
thì biến rời rạc
x
có thể được thay thế bởi một số biến
j

Có m kho hàng (điểm phát) chứa một loại hàng hoá, lượng hàng ở kho
i
là
i
a
và
n
nơi tiêu thụ (điểm thu), nhu cầu ở nơi thu là
j
b ,
ij
c là chi phí vận chuyển một đơn vị
hàng từ điểm phát
i đến điểm thu j . Xác định các lượng hàng vận chuyển
ij
x
từ các
điểm phát
i
tới các điểm thu j sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất và nhu cầu các điểm
thu được thoả mãn.
Dạng toán học của bài toán là:
ij ij
ij
ij
1
ij
1
ij
11

∑
∑
∑∑

Nếu các
i
a và
j
b
là nguyên thì đa diện lồi xác định bởi các ràng buộc của bài
toán có mọi đỉnh đều là nguyên. Do đó ta có thể dùng phương pháp đơn hình để giải bài
toán quy hoạch tuyến tính này, lời giải cuối cùng nhận được sẽ là một phương án
nguyên.
Ví dụ. Xét bài toán vận tải có 3 điểm phát và 4 điểm thu với ma trận chi phí như
sau:
2143
6052, (10,25,15), (5,15,20,10)
1482
ij ij
cab


===




Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu là 115, phương án vận chuyển tối ưu là: x[1,3]=10,
x[2,2]=15, x[2,3]=10, x[3,1]=5, x[3,4]=10
2.2. Bài toán phân việc

m
i
cx
x
in
x
jn
x
=
=
=
→
==
==
∈
∑∑
∑
∑Ví dụ có 4 đơn vị sản xuất 4 loại sản phẩm với ma trận chi phí sau:
100000 4000000 800000 550000
200000 3500000 750000 500000
400000 2000000 700000 400000
300000 5000000 600000 450000
Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu là 3200000 đồng, phương án tối ưu là:
x[1,1]=x[2,4]=x[3,2]=x[4,3]=1.
2.3. Bài toán cái túi
Có một cái túi chứa được nhiều nhất một trọng lượng là b , có n đồ vật cần mang,
đồ vật

=
→
≤
≥∈
∑
∑

Ví dụ. Có một cái túi chứa được nhiều nhất là 62 kg, có 10 đồ vật cần mang
{}
123 4 5678910
123 4567 8910
30 19 13 38 20 6 8 19 10 11 ax
15 12 9 27 15 5 8 20 12 15 62
0,1 , 1,2, ,10
j
x
xxx xxxxxxm
xxxxxxx xxx
xj
+++++++++ →
+++++++++ ≤
∈=

Đáp số: trị tối ưu hàm mục tiêu là 95, phương án tối ưu là (1,1,0,1,0,0,1,0,0,0)
2.4. Bài toán xếp hàng lên tầu
Bùi Thế Tâm I.4 Quy hoạch rời rạc

Một tầu chở hàng có trọng tải T và thể tích
K
, tầu chở n loại hàng, hàng loại j

n
j
j
n
j
j
j
cx
ax T
bx K
x
sj n
=
=
→
≤
≤
∈=
∑
∑
∑

Ở đây, không giảm tính tổng quát của bài toán ta có thể giả sử các hệ số ,,,,
jjj
TKa b c
(với mọi j ) đều là các số dương.
2.5. Bài toán xếp hàng vào các công ten nơ rỗng cùng loại
Có n loại hàng hoá cần được xếp lên các công ten nơ rỗng như nhau với tải trọng
của mỗi công ten nơ là
T và dung lượng là

tuỳ theo có dùng công ten nơ
i hay không.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
{}
1
ij
1
ij
1
ij
1
ij
min
, 1, 2, ,
, 1, 2, ,
, 1,2, ,
0,1,2, , , 1,2, , , 1,2, ,
0,1 1,2, ,
m
i
i
n
ji
j
n
ji
j
m
j

i
y
=
), còn công ten nơ không sử dụng
(0
i
y = ) cần phải rỗng. Nhóm ràng buộc thứ ba biểu thị mọi đồ vật cần được xếp vào
các công ten nơ.
2.6. Bài toán người du lịch
Cho đồ thị (, ),GVE= V là tập n đỉnh, E là tập n cạnh. Gọi
ij
c là độ dài của
cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j, có thể
ij ji
cc
≠
và
ii
c
=
∞
với mọi
i
. Một chu trình
Hamilton là một chu trình sơ cấp mà nó tương đương với việc xuất phát từ một đỉnh bất
kỳ cho trước, đi qua mọi đỉnh khác đúng một lần và trở lại đỉnh xuất phát. Tổng khoảng
cách trên các cạnh trong hành trình đó là độ dài của hành trình đó. Mục tiêu của bài toán
người du lịch là tìm chu trình Hamilton có độ dài ngắn nhất.
Đặt
ij

=
=
→
==
==
∈=
−
+≤− ≤≠≤
∑∑
∑
∑

trong đó
i
u nhận giá trị nguyên hay thực.
Hai tập ràng buộc đầu biểu thị mỗi thành phố được thăm đúng một lần. Ràng buộc
cuối đưa vào để mỗi hành trình của bài toán chỉ chứa duy nhất một chu trình.
Bài toán người du lịch là một bài toán rất quen thuộc và nổi tiếng trong tối ưu rời
rạc. Tuy số phương án của bài toán là hữu hạn (bằng
!n đối với bài toán có n thành
phố) nhưng với
n
cỡ hàng ngàn trở lên thì số phương án này cực kỳ lớn, vì thế cách
duyệt toàn bộ là không thể thực hiện được, mặc dầu có sự trợ giúp của các máy tính cực
mạnh. Little J.D, Murty K.G, Sweeney D.W và Karel C 1963 là những người đầu tiên
sử dụng thành công phương pháp nhánh cận để giải bài toán người du lịch và cho đến
nay phương pháp này với nhiều cải tiến khác nhau vẫn là công cụ chủ yếu để giải quyết
bài toán đề ra.
2.7. Bài toán với chi phí cố định
Xét bài toán tối ưu có dạng sau:


jjj j
jj
j
dcx khix
f
xjn
khi x

Giả thiết 0
j
d > với mọi 1,2, ,
j
n= . Các số
j
d thường được hiểu là các chi phí cố
định cần thiết để đưa phương thức sản xuất
j
vào hoạt động, nó không phụ thuộc vào
cường độ sử dụng của phương thức này
()
j
x
.
Giả sử đã biết
j
p là cận trên của biến ( )
j
x
, tức là:

x
D
∈
, thì điều này có thể diễn đạt bằng cách đưa
thêm vào một biến số nhận giá trị 0-1. Ký hiệu
g
u và
h
u là các cận trên của hàm ( )
g
x
và ( )hx trên tập D (()
g
g
xu≤ ,()
h
hx u
≤
,
x
D
∀
∈ ). Khi đó điều kiện trên sẽ được thoả
mãn khi và chỉ khi:
{}
()
() (1 )
0,1
g
h

n cặp ràng buộc dạng lựa chọn:
0
j
x ≤ hay 0, 1, 2, ,
j
yj n≤= (với 0, 0, 1,2, ,
jj
x
yj n≥≥= ).
Giả sử đã biết cận trên
j
p
của biến
j
x
và cận trên
j
q
của biến
j
y
. Khi đó bằng
cách đưa vào các biến
j
z
nhận giá trị 0-1, ta có thể đưa
n
cặp ràng buộc dạng lựa chọn
nói trên về dạng:
{

−
≤≤

Giả sử đã biết cận trên
j
p
của biến
j
x
trong bài toán trên. Khi đó ta đưa vào biến 0-1
1
i
y = nếu chấp nhận sản xuất sản phẩm j , và bằng 0 nếu ngược lại. Ta có thể đưa ràng
buộc dạng lựa chọn nói trên về hệ ràng buộc tương đương sau:
{
}
,0,1
jj j jj j
dy x py y≤≤ ∈
2.9. Bài toán pha cắt nguyên vật liệu
Trong thực tế ta thường phải cắt những vật liệu dài (thanh thép, gỗ, ống nước…)
thành những đoạn nhỏ có độ dài cho trước với số lượng nhất định để sử dụng. Nên cắt
như thế nào để đỡ lãng phí vật liệu nhất.
Ví dụ. Một công trường xây dựng có những thanh thép dài 6m, cần cắt thành 40
đoạn dài 2,5m và 60 đoạn dài 1,6m, nên như thế nào để đỡ lãng phí vật liệu nhất.
Ta có 3 cách cắt như sau:
Mẫu 1: 2 đoạn 2,5m, thừa 1 m.
Mẫu 2: 1 đoạn 2,5m và 2 đoạn 1,6n, thừa 0,3m.
Mẫu 3: 3 đoạn 1,6m, thừa 1,2m.
Gọi

cần có,
j
c là dẻo thừa khi cắt theo mẫu j ,
j
x
là số thanh thép cắt theo mẫu
j . Ta được bài toán quy hoạch rời rạc:
1
1
min
,1,2, ,
0 , 1,2, ,
n
jj
j
n
ij j i
j
j
cx
ax b i m
x
Zj n
=
=
→
==
≤∈ =
∑
∑

d là chi phí cần cho loại dự án đầu tư
k
.
ik
g
là lượng tài nguyên i được tăng thêm nếu dự án đầu tư k được thực hiện.
Ta đưa vào một biến 0-1:
k
y =1 nếu dự án được dùng, và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
0
1
11
ax
, 1,2, ,
0,1,2,,
0,1 , 1, 2, ,
n
jj
j
p
kk
k
p
n
ij j i ik k
jk
j

P
là số địa điểm thích hợp đặt nhà máy.
N
là số các nhà máy khác nhau có thể xây dựng (
NP
≤
), mỗi địa điểm đặt nhiều
nhất là một nhà máy.
M
là số các vật phẩm khác nhau được sản xuất hay tiêu dùng.
is
a là lượng vật phẩm i được sản xuất (nếu
is
0a > ), hay tiêu dùng (nếu
is
0a < ) ở
nhà máy
s
( 1,2, , ; 1,2, ,iMsN==)
Bùi Thế Tâm I.9 Quy hoạch rời rạc

i
b
là nhu cầu về vật phẩm
i
do các nhà máy sản xuất (nếu
0
i
b >
), hay do các nhà

p
s
x
là biến xác định vị trí, nhận giá trị 1 hay 0 tuỳ thuộc vào nhà máy
s
có đặt tại
vị trí
p
hay không.
Bài toán đặt ra là cần xác định địa điểm đặt các nhà máy sao cho tổng chi phí xây
dựng và vận chuyển hàng là nhỏ nhất. Ta đi đến bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến:
{}
11 1111
11
1
min
, 1, 2, ,
1, 1,2, ,
0,1 , 1,2, , ; 1,2, ,
PN PPNN
ps ps pq st ps qt
ps pqs t
PN
is ps i
ps
N
ps
s
ps
dx c fxx

n
j
j
ij
j
xm
x
xijE
x
jn
=
→
+≤ ∀ ∈
∈=
∑
…

Nếu đỉnh
j
có trọng số
j
c >0 thì ta có bài toán tìm tập ổn định có trọng số lớn
nhất:
{}
1
ax
1(,)
0,1 , 1, 2,
n
jj

x
=1 nếu đỉnh
j
được tô màu k , và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
1
min
1, 1,2, ,
,(,) , 1,2,,
,0,1,,1,2,,
n
k
k
n
jk
k
ik jk k
kjk
y
xj n
x
xy ijEk n
yx kj n
=
=
→
==
+≤ ∀ ∈ =

Dạng toán học của bài toán là:
{}
1
1
1
min
1, 1,2, ,
, 1,2, , ; 1,2, ,
,0,1,,1,2,,
m
k
k
m
jk
k
m
ij jk k
j
kjk
y
xj m
ax y k m i n
yx jk m
=
=
=
→
==
≤= =
∈=

n
j
j
ij
j
x
x
xijE
x
jn
=
→
+
≥∀ ∈
∈=
∑

2.16. Bài toán phủ cạnh
Cho đồ thị (, )GVE= ,
V
là tập
n
đỉnh, E là tập
m
cạnh. Tìm số cạnh ít nhất của
đồ thị
G sao cho mỗi đỉnh thuộc V đều là đầu mút của ít nhất một cạnh đã chọn.
Ứng dụng:
- Có một pháo đài với các tháp canh ở cuối mỗi hành lang, một lính gác ở hành
lang có thể quan sát được cả hai tháp canh ở hai đầu hành lang. Hãy tìm số lính canh ít

jm
=
=
→
≥=
∈=
∑
∑

2.17. Bài toán ghép cặp trên đồ thị
Cho đồ thị (, )GVE= , V là tập n đỉnh, E là tập m cạnh. Tìm tập cạnh lớn nhất
(nhiều cạnh nhất) sao cho hai cạnh bất kỳ không chung đỉnh. Ta đưa vào các ký hiệu:
ij
a =1 nếu đỉnh i là một trong các đầu mút của cạnh j , và bằng 0 nếu trái lại.
j
x
=1 nếu cạnh j được chọn, và bằng 0 nếu trái lại.
Dạng toán học của bài toán là:
Bùi Thế Tâm I.12 Quy hoạch rời rạc

{}
1
1
1, 1,2, ,
0,1 ; 1, 2, ,
m
j
j
m
ij j

p
người và q việc,
p
khác q . Mỗi người được đào tạo để làm ít nhất
một việc. Hãy sắp xếp mỗi người làm một việc phù hợp với khả năng chuyên môn của
họ. Khi đó ta có đồ thị hai phần như sau:
Người 1 Việc 1
Người 2 Việc 2
Người
p
Việc q
p đỉnh ứng với người, q đỉnh ứng với việc. Nếu người
i
có khả năng làm việc j thì ta
vẽ cạnh
(, )ij. Tìm ghép cặp lớn nhất trong đồ thị này.
2.18. Bài toán phân công theo ca kíp
Phòng cảnh sát Quận có số tuyến cần được tuần tra theo thời gian cho trong bảng Giả thiết mỗi tuyến tuần tra chỉ cần một viên cảnh sát, mỗi cảnh sát đi làm theo ca
8 tiếng liên tục. Hãy xác định số nhân viên cảnh sát tối thiểu để hoàn thành nhiệm vụ.
Gọi
1

6
17
13
0 , 1,2,3,4,5,6.
j
j
j
xmin
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xZj
=
→
+≥
+≥
+≥
+≥
+≥
+≥
≤∈ =
∑

2.19. Bài toán tìm luồng cực đại trên đồ thị có hướng
Ta xét bài toán cụ thể: cho đồ thị có hướng gồm 6 đỉnh, nếu từ đỉnh u tới đỉnh v
có đường vận chuyển thì ta vẽ một cung j , lượng hàng vận chuyển trên cung này là
j

→
=+
=+
+=
=
+=++
≤≤ =j
x
nguyên với j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Trong trường hợp véc tơ q = (4, 2, 4, 4, 1, 2, 2, 2) ta được đáp số là: lượng hàng tối đa
có thể vận chuyển là 5, phương án tối ưu là x = (3, 2, 0, 2, 1, 2, 2, 2).
3
1
5
4
2
6
2
x

1
x

4
x

3

và chiếm 140 mét vuông diện tích sàn. Xưởng cần in ít nhất 600 m/phút và có diện tích
sàn để đặt máy in tối đa là 350 mét vuông. Mỗi máy A giá 22 triệu đồng và mối máy B
giá 42 triệu đồng. Hỏi cần mua bao nhiêu máy in mỗi loại sao cho tốn ít chi phí nhất.
3. Một doanh nghiệp có trong tay 10 dự án sẽ được lựa chọn để thực hiện vào năm
sau. Do hạn chế về nhân lực và tài chính nên không thể thực hiện tất cả các dự án. Để
lựa chọn, mỗi dự án được gán một trọng số biểu thị giá trị của việc thực hiện dự án đó,
các dự án từ 1 đến 10 có các trọng số tương ứng là: 70, 50, 60, 20, 10, 20, 30, 450, 10,
40. Chi phí về nhân lực của các dự án từ 1 đến 10 tương ứng là: 250, 195, 200, 70, 30,
40, 100, 170, 40, 120 người / tuần. Chi phí về tài chính của các dự án từ 1 đến 10 tương
ứng là : 400, 300, 350, 100, 70, 70, 250, 250, 100, 200 triệu đồng. Chủ doanh nghiệp
hiện có nguồn nhân lực 1000 người/tuần và 1500tiệu đồng để thực hiện các dự án. Cần
chọn thực hiện những dự án nào để thu được tổng giá trị lớn nhất.
4. Một xí nghiệp dùng 3 máy M1, M2, M3 để sản xuất một loại sản phẩm gồm 3
chi tiết C1, C2, C3 (mỗi bộ sản phẩm gồm một chi tiết mỗi loại). Mỗi ngày máy M1 có
thể sản xuất 8 chi tiết C1 hoặc 3 chi tiết C2 hoặc 12 chi tiết C3; máy M2 có thể sản xuất
12 chi tiết C1 hoặc 16 chi tiết C3 (máy M2 không sản xuất chi tiết C2), máy M3 có thể
sản xuất 6 chi tiết C1 hoặc 3 chi tiết C2 hoặc 6 chi tiết C3. Hãy xác định tỷ lệ thời gian
trong ngày để mỗi máy sản xuất từng chi tiết sao cho xí nghiệp đạt được số bộ sản phẩm
là nhiều nhất ?
5. Một xưởng làm cửa sắt có những thanh thép dài 12 m, cần cắt thành 8 đoạn dài
4m, 5 đoạn dài 5m và 3 đoạn dài 7m. Có 5 mẫu cắt sau. Mẫu 1: 3 đoạn dài 4m, không
thừa. Mẫu 2: 1 đoạn 4m, 1 đoạn 5m, thừa 3m. Mẫu 3: 1 đoạn 4m, 1 đoạn 7m, thừa 1m.
Mẫu 4: 2 đoạn 5m, thừa 2m. Mẫu 5: 1 đoạn 5m, 1 đoạn 7m, không thừa. Cần dùng
những mẫu cắt nào để tiết kiệm nhất.

6. Một xí nghiệp có thể sử dụng tối đa 510 giờ máy cán, 360 giờ máy tiện và 150
giờ máy mài để chế tạo 3 loại sản phẩm A, B, C. Để chế tạo một đơn vị sản phẩm A cần
9h máy cán, 5h máy tiện, 3h máy mài. Để chế tạo một đơn vị sản phẩm B cần 3h máy
cán, 4h máy tiện. Để chế tạo một đơn vị sản phẩm C cần 5h máy cán, 3h máy tiện, 2h
máy mài. Sản phẩm A trị giá 48 ngàn đồng. Sản phẩm B trị giá 16 ngàn đồng. Sản phẩm

7 8
11. Tìm số màu tối thiểu để tô mọi đỉnh của đồ thị sao cho hai đỉnh kề nhau có
màu khác nhau
1 2 4 3
12. Tìm số màu tối thiểu để tô các cạnh của đồ thị sau sao cho hai cạnh kề nhau có
màu khác nhau
1

4

2 3
Bùi Thế Tâm I.16 Quy hoạch rời rạc

13. Tìm số đỉnh ít nhất trong đồ thị sau sao cho mỗi cạnh có ít nhất một đầu mút
được chọn.
5 7

4 6

3 2 1

14. Hãy bố trí số người gác tối thiểu cho khu bảo tàng có sơ đồ sau. 2 3 4
1
1
ax (1)
, 1, 2, , (2)
,1, , (3)
0, 1, , (4)
n
jj
j
n
ij j i
j
n
ij j i
j
j
xcxm
ax b i l
ax b i l m
xjn
=
=
=
=→
==
≤=+
≥=
∑
∑
∑

*
X làm cực đại (1) gọi là phương án tối ưu. Phương án mở rộng
*
X

gọi

là phương án tối ưu mở rộng nếu X
*
là phương án tối ưu .
y Kí hiệu:
L - miền xác định của bài toán (1)-(4)
(, )LC – kí hiệu bài toán qui hoạch tuyến tính (1) - (4)
(, )XLC – phương án tối ưu của bài toán (1) - (4)
(, )XLC

- phương án tối ưu mở rộng của bài toán (1) - (4)
C
L

là tập hợp các phương án tối ưu của bài toán ( , )LC
y Bài toán qui hoạch tuyến tính gọi là giải được nếu tồn tại phương án tối ưu.

Bùi Thế Tâm II.2 Quy hoạch rời rạc 1.2.

.
.
j
j
j
mj
a
a
A
a





=





là véc tơ điều kiện thứ j của bài toán (5)-(7)

1
2
.
.
.
B=
m

A
A
là cơ sở của phương án tựa,
{
}
1
, ,
k
B
jj=
,
{
}
1, , \NnB=
thì hàm mục
tiêu
01
, , ,
n
x
xx có thể biểu diễn qua các biến phi cơ sở:
0i j
( ), 0,1, ,
ii j
jN
x
xxxi n
∈
=+ − =
∑

'' '
01
' ( , , , )
n
Xxxx=

là tối ưu điều
kiện cần và đủ là tồn tại cơ sở B sao cho
'
i j
0
( ), 0,1, ,
0,
ii j
jN
j
x
xxxi n
xjN
∈
=+ − =
≥∈
∑

y Giả sử ràng buộc (6) của bài toán (5) - (7) viết ở dạng:
0i j
( ), 0,1 ,
ii j
jN
x

=
=
==
∑


Nếu x
i0
≥ 0 (i = 1, 2, . . ., n) thì bảng đơn hình T gọi là chấp nhận được, véc tơ X
là phương án tựa của bài toán quy hoạch tuyến tính.
Nếu x
0j
≥ 0 , j∈N thì bảng đơn hình T là chuẩn (đối ngẫu chấp nhận được), véc tơ
X gọi là giả phương án, X

gọi là giả phương án mở rộng

2. SO SÁNH THEO NGHĨA TỪ VỰNG 2.1. Véc tơ
12
( , , , )
n
Xxx x= gọi là dương từ vựng X>0 nếu X≠(0,…,0) và thành
phần đầu tiên khác 0 là dương.
y Véc tơ X gọi là không âm từ vựng X ≥ 0 nếu X>0 hay X=0
y Véc tơ X gọi là lớn hơn từ vựng véc tơ Y (ký hiệu X > Y) nếu X – Y >0
y Véc tơ X ≥ Y (không nhỏ hơn từ vựng) nếu X – Y ≥0
y X gọi là âm từ vựng (ký hiệu là X < 0) nếu –X >0


Bảng đơn hình
0
,
ij
n
iQ j N
Tx
∈∈
=

gọi là chuẩn từ vựng (hay là
l
- chuẩn) nếu

0
1
.
.
.
j
j
j
nj
x
x
R
x



từ vựng nếu bảng đơn hình tương ứng là
l
- chuẩn, nói gọn lại là
l
- giả phương án (
l
-
giả phương án mở rộng).

3. BẢNG ĐƠN HÌNH, PHƯƠNG ÁN, GIẢ PHƯƠNG ÁN
Phép biến đổi cơ bản của bảng đơn hình: đưa x
k
ra khỏi cơ sở, đưa x
l
vào cơ sở.
Phần tử x
kl
gọi là phần tử quay
Giả sử
0
,
ij
n
iQ jN
Tx
∈∈
=

,
cơ sở là B, N=

*
ij
n
iQ jN
Tx
∈∈
=
và cơ sở mới
{
}
(
)
{
}
*
\
B
Bl k=∪ .
Gọi
j
R
là cột của T,
*
j
R
là cột của
*
T , ta có công thức tính lại như sau
*
*

ik
kl
kj
ij ij il
kl
x
xi n
x
x
x
xxjNl i n
x

=− =




=− ∀∈ ∪ =

{
}
(
)
{
}
\0jNl∀∈ ∪

0
) và dãy các bước lặp tổng
quát.
Bước lặp tổng quát r ≥ 0 có phương án X
r
, tương ứng với nó có bảng đơn hình T
r
và các tập B
r
, N
r
. Kiểm tra bảng T
r
có là chuẩn không (tức là
0
0
jr
x
jN≥∀∈). Nếu
đúng thì X
r
là tối ưu, nếu không thì xác định
l
x
đưa vào cơ sở theo công thức :
{
}
00
min |
ljr

, B
r+1
, N
r+1
theo các công thức ở tiết 3.
4.2. Cách tính phương án xuất phát
Giải bài toán phụ ứng với bài toán (5) – (7) có b
i
≥ 0 ( i=1, ,m) :
12
1
1
( , , ) max
, 1,2, ,
0, 1,2, ,
nm
nm j
jn
n
ij j n i i
j
j
fxx x x
ax x b i m
xj nm
+
+
=+
+
=

x
+
= (i = 1, , m) và véc tơ
** *
12
( , , )
n
x
xx là phương án tựa phải tìm X
0
.
Nếu
*
f
< 0 thì bài toán (5) – (7) không giải được (không có phương án chấp nhận
được).
Ví dụ. Giải bài toán sau: