7

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM YẾU
CỦA PHƯƠNG TRÌNH TẬP MỨC MẶT CỰC TIỂU
SOME PROPERTIES OF WEAK SOLUTIONS OF LEVEL SET MINIMAL
SURFACE EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng TÓM TẮT
Trong [4], chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại của một loại nghiệm yếu cho phương trình tập
mức mặt cực tiểu. Loại nghiệm này nhận được từ giới hạn của một dãy nghiệm cổ điển của
phương trình xấp xỉ tương ứng. Trong bài báo này, chúng tôi đưa ra một số tính chất cơ bản
của loại nghiệm yếu này.
ABSTRACT
In [4], we have proved that there exists a weak solution for level set minimal surface equations.
This kind of solution has been obtained as a limit of a sequence of classical solutions of the
correspondent approximate equations. In this paper, we will give some properties of the weak
solutions.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ

Xét phương trình tập mức mặt cực tiểu [4] 0



x
. (2)

Trong đó,

là một miền trong
n
R
với biên trơn


.

Trong [4], chúng tôi đã chứng minh được rằng, tồn tại một nghiệm yếu cho phương trình (1)
với điều kiện biên (2). Nghiệm này biểu diễn mặt cực tiểu S dưới dạng một tập mức không của
nó với biên

được cho trên


bởi một hàm trơn
0
u .

Trước khi nêu ra một vài tính chất của nghiệm yếu, chúng ta nhắc lại các định nghĩa về
nghiệm yếu [4].

ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM YẾU

x
, thì
8 


















,0)(x khi
0)(
)(
)()(
0
0

0)(
0
n
0


x
ji
xxjiijĐịnh nghĩa: Một nghiệm yếu trên của phương trình (1) là một hàm u

)(

C sao cho:
Với mỗi
),(

C

hàm


u đạt cực tiểu địa phương tại một điểm 
0
x , thì





x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ijvà










.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0


x

và


u đạt cực đại ngặt địa phương tại một điểm

0
x
. Vì
uu
k
 đều gần
0
x , nên tồn tại một dãy các điểm 

1
}{
kk
x thỏa mãn:

0
xx
k
 khi


k ;


k
u đạt cực đại địa phương tại điểm

,0)(x khi
0)(
)(
)()(
k
2





kxx
k
kxkx
ij
x
x
xx
ji
ji
(4)

hoặc

9






k
và đưa đến

.0)(
)(
)()(
0
2
0
00










 x
x
xx
ji
ii
xx
xx
ij



k
xkhi
xkhi
x
x




Lấy giới hạn khi


k , qua một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả thiết


k
và khi đó
.1
Vì vậy, ta thu được


.0)(
0
 x

là một hàm trơn với 0'


trên
.R
(6)

Cho )(

C

và giả sử


u
ˆ
đạt cực đại địa phương tại một điểm 
0
x . Cộng thêm một
hằng số nếu cần thiết, ta có thể giả sử






)()(

.
Từ (7), ta đưa đến





)()(
)()(
00
xxu
xxu


(8)
10 với mọi x gần
0
x và
).(:





Vì u là một nghiệm yếu dưới của (1), ta kết luận:





x
x
xx
ji
ji
xx
xx
ij
(9)

hoặc










.0)(x khi 1, ,R
0)(
0
n
0



0))('')('(
))('(
))('(
2
2
2











jiji
ji
xxxx
xx
ij




tại điểm
0
x .


ij




(11)

Tiếp theo ta giả sử
0)(
0
 x

. Khi đó (10) đúng với
1, 

n
R
. Khi đó, ta tính được



0))('')('( 
jiji
xxxxjiij

tại điểm
0
x .

Vì 0)(


trên .R

Khi đó,
0'


trên
.R
Hoàn toàn tương tự như trên, ta thu được (11) và (12).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng )(:
ˆ
uu


là một nghiệm yếu của (1) khi

là một hàm
trơn và 0'


.

Dùng phương pháp xấp xỉ và sử dụng Định lý 1, ta thu được kết quả trên nếu 0'


hoặc
0'




(15)
với một 0


nào đó.

Giả sử


u
ˆ
đạt cực đại địa phương tại một điểm 
0
x . Khi đó








2
,
2
)(
10

jj

k


mà mỗi hàm của dãy thỏa mãn giả thiết (13)-(15) và


k
đều địa phương trên
n
R
. Do đó

)(
ˆ
)(:
ˆ
uuuu
kk


.

Khi đó Định lý 1 khẳng định
u
ˆ
là một nghiệm yếu của phương trình (1).

3. KẾT LUẬN

Kết quả của bài báo đã đưa ra một số tính chất cơ bản của nghiệm yếu cho phương trình tập