Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của một biểu thức là một trong những bài toán khó.
Trong những năm gần đây tần suất xuất hiện trong các
đề thi là khá cao. Nhiều bài trong số đó quả thực là
khó, cách giải không thực sự tự nhiên, mang nhiều
yếu tố cá nhân (người ra đề nắm được cách giải). Tuy
nhiên bên cạnh đó vẫn có nhiều dạng, loại mà ta có
thể khái quát thành cách giải đặc trưng. Với mong
muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học bộ
môn Toán học nói riêng và chất lượng giáo dục nói
chung; chúng tôi tiến hành nghiên cứu tìm hiểu về
“Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất cho học sinh lớp 10, 11”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn các phương
pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
1
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Đề xuất một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất,
giá trị nhỏ nhất.
4. Khách thể và đối tượng nghiên cứu
Khách thể: Công tác dạy học bộ môn Toán ở trường
phổ thông

định lý về dấu tam thức bậc hai, các tính chất của bất
đẳng thức, các bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân, các bất đẳng thức chứa dấu giá trị
tuyệt đối, đường tròn, elip; đường thẳng; khoảng
cách….
1. Định lý thuận về dấu tam thức bậc hai.
3
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
2
ax ; 0f x bx c a= + + ≠
. Có
2
4b ac∆ = −
.
Nếu
0
∆ <
thì
( )
. 0a f x x R> ∀ ∈
Nếu
0
∆ =
thì
( )
. 0

a b a c b c
< ⇔ + < +
0c
>
a b ac bc
< ⇔ <
0c
<
a b ac bc
< ⇔ >
a b
a c b d
c d
<

⇒ + < +

<

0
0
a b
ac bd
c d
< <

⇒ <

< <


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
.
4. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cho hàm số
( )
f x
xác định trên tập D.
Giá trị M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
( )
f x
trên D nếu
( )
(
)
( )
;
ax f x
:
0 0
f x M x D
M
M
D
x D f x M





II. Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá
trị nhỏ nhất.
1. Phương pháp phương trình bậc hai.
Xét bài toán: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu
thức
( )
A f x=
; trên tập D.
Lời giải
Gọi
0
A
là một giá trị của biểu thức. Chứng tỏ phải
tồn tại
0
x D∈
sao cho
( )
0 0
f x A=
; điều đó chứng tỏ phương
5
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
trình
( )
0
0f x A− =
có nghiệm trên D. Ta đi tìm điều kiện để

Gọi
0
y
là một giá trị của biểu thức
Chứng tỏ phương trình
( )
2
0 0
0, 1y x x y− + =
có nghiệm.
Nhận xét: Đối với phương trình
2
ax 0bx c+ + =
có điều kiện
2 2
0a b+ ≠
thì phương trình sẽ có nghiệm khi và chỉ khi
2
4 0b ac− ≥
Phương trình
( )
1
có nghiệm
2
0 0
1 1
1 4 0
2 2
y y⇔ − ≥ ⇔ − ≤ ≤
Nhận thấy khi

( )
2
2
8 7
min 1; axy 9
1
x x
y y m
x
− +
= = − =
+
2. Sử dụng định lý về dấu tam thức bậc hai.
Trong báo Toán học và tuổi trẻ số 347 (tháng 5 –
2006) có đề toán:
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A =
2 2
x y x y xy+ − − −
.
Lời giải 1
Giả sử m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
2 2
x y x y xy m⇒ + − − − ≥

( ; )x y R R∀ ∈ ×
2 2
( 1) 0x y x y y m⇒ − + + − − ≥

( ; )x y R R∀ ∈ ×
Nhìn vế trái là một tam thức bậc hai với ẩn là x thì:

x
∆ <
Suy ra A > m. Vậy không có giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A
Nếu m = -1 thì A
1≥ −
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =
y = 1.
Kết luận: minA = -1 khi x = y = 1.
Nhận xét : Từ kết quả tìm được theo lời giải trên ta có
thể đặt ra câu hỏi: Liệu có thể phân tích biểu thức A = B
+ (-1)? Trong đó B
0
≥
và B = 0 khi x = y = 1
Với suy nghĩ vậy ta có phương pháp thứ 3 như sau:
3. Phân tích thành tổng các bình phương cộng hoặc
trừ một hằng số.
Lời giải 2
A =
2 2
2 1 2 1 1 1x x y y x y xy− + + − + + + − − −
.
A = (x-1)
2
+ (y-1)
2
+(x-1) –y(x-1) -1
8
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

Cách 2: Xét biểu thức
( )
2
3 1 3
2
9 3 1 3 1 3 3
2 4
y
B x y
−
 
= − + + − − ≥ −
 
 
Khi đó:
min
1
3
B =−
khi
1
3
x y= =
Bình luận : Bất đẳng thức
2
0a a R≥ ∀ ∈
được vận dụng
khá nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất.
Bài 6. Tìm max

2 2
5x y+ =
.
Lời giải
Nhận xét: Điều kiện bài cho là một đường tròn có
tâm trùng gốc toạ độ, bán kính là
5
. Ký hiệu hình tròn
là
( )
C
Biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
có dạng phương trình đường thẳng.
Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;x y
thoả mãn:
2 2
5x y+ =
Khi đó giữa đường thẳng
∆
có phương trình
0
2 0x y F− − =
và đường tròn
( )
C
phải có điểm chung.

min 5; axF = 5F M= −
.
Bình luận: Như vậy với biểu thức cần tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dạng
F=a.x+b.y
và điều kiện là
2 2 2
x y R+ =
; ta có thể khái quát cách giải. Điều kiện của
bài toán có thể điều chỉnh là:
2 2 2
x y R+ ≤
khi đó cách giải
vẫn tương tự.
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 4F x y= +
với điều kiện
( )
2
2
2
2 25
3
x y
 
− + − ≤
 ÷
 
.
Lời giải

− + − ≤
 ÷
 
phải có điểm chung.
Điều đó tương đương với:
0
10
5
5
F−
≤
11
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
0
0
0
0
10 25
25 10 25
35 15
15 35
F
F
F
F
⇔ − ≤
⇔ − ≤ − ≤
⇔ − ≤ − ≤

kiện đó về điều kiện của biến thoả mãn một phương
trình đường tròn bằng các phép đổi biến.
Ta có phương trình của Elip :
2 2
1
1 1
4 9
x y
+ =
Đặt
9 3
.
4 2
x z z= =
. Khi đó Elip biến thành đường tròn
có phương trình:
2 2
1
9
z y+ =
và
3 3F z y= +
.
Gọi Gọi
0
F
là một giá trị của biểu thức với
;z y
thoả
mãn:

Vậy
min 2; axF= 2F M= −

13
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Trong trường hợp tổng quát điều kiện đầu bài cho
là :
( )
2 2
; , , 0mx ny r m n r+ = >
thì ta có cách đổi biến :
n
x z
m
=

và khi đó sẽ biến Elip về đường tròn có phương trình
2 2
;
r n
y z F a z by
n m
+ = = +
Với tư duy tương tự ta có thể có rất nhiều bài toán với
những số liệu khác nhau.
Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
F x y= −

+ =


+ =

có
nghiệm?
Khi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ
nhất có dạng
2 2
F x y= +
và điều kiện
;x y
thoả mãn:
14
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
. Khi đó cần sử dụng mệnh đề sau: Cho
đường tròn
( ; )O R
và điểm P không trùng với tâm của
đường tròn đó. Đường thẳng OP cắt đường tròn tại hai
điểm A; B. Với mọi điểm M trên đường tròn ta có:
( ) ( )
min ; max ;PA PB PM PA PB≤ ≤

( )
2;1 ; 2I R =
.
Đường thẳng OI có phương trình là:
2 0x y− =
Gọi
;A B
là giao điểm của đường tròn
( )
C
với đường
thẳng OI
( ) ( )
10 4 5;5 2 5 ; 10 4 5;5 2 5A B⇒ − − + +
15
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Xét
( ) ( )
;M x y C∈
khi đó
2 2 2
F x y OM= + =
. Sử dụng mệnh
đề đã chứng minh ta có
( ) ( )
2 2 2 2
min ; max ;OA OB F OA OB
≤ ≤

16
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Trong quá trình sử dụng bất đẳng thức AM-GM
việc sử dụng các kỹ thuật thêm, bớt, tách cần hết sức
linh hoạt, thể hiện được sự vận dụng khéo léo của người
làm toán.
Ta có một số biến đổi của kỹ thuật này như sau:

1
.
r r
a m n m
a a t t b a a a a
b n n
−
−
= + − = = + = =
Bài 16. Cho
0; 0x y> >
và
1x y+ ≤
.
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
1 1
4P xy
x y xy
= + +

 ÷  ÷
+
   
≥ + + −
+
+
≥ + + = + ≥ + =
+ + +
Ví dụ với
1
2
x y= =
thì
7P =
Vậy
min 7P =
17
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Bài 17. Cho
0x >
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4
3
3 16x
A
x
+
=

( )
1 1 1
4 4 4 3P x y z x y z
x y z
 
   
= + + + + + − + +
 ÷  ÷
 ÷
   
 
1 1 1 3 9 15
2 4 2 4 2 4 3. 4 4 4
2 2 2
x y z
x y z
≥ + + − = + + − =
18
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
Ví dụ với
1 15
;
2 2
x y z P= = = =
. Vậy
15
min
2

Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có các đánh giá sau:
2
2
2
4
4
4
a b c
a
b c
b c a
b
c a
c a b
c
a b
+
+ ≥
+
+
+ ≥
+
+
+ ≥
+
Cộng vế với vế ta được:
19
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang


5
4
5
5
5
4
5
5
5
4
5 5
5 5
5 5
x
y y y y x x
y
y
z z z z y y
z
z
x x x x z z
x
+ + + + ≥ =
+ + + + ≥ =
+ + + + ≥ =
Cộng vế với vế ta được:
1P x y z≥ + + ≥
Ví dụ khi
1
1

Bài 23. Cho
2 2 2
, , 0; 1a b c a b c> + + =
. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2 2 2 2 2
a b c
P
b c c a a b
= + +
+ + +
Bài 24. Cho tam giác ABC nhọn. Hãy tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức:
1 1 1
osA osB osC
P
c c c
= + +
Kỹ thuật 2. Sử dụng nguyên lý cực hạn (làm trội)
Nhận xét: Trong một tập hữu hạn số luôn tồn tại số lớn
nhất và số nhỏ nhất.
Bài 25. Cho
[ ]
, , 0;1a b c∈
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
( ) ( ) ( )
1 1 1
1 1 1
a b c

1 1
1
1 0
1
1 1 1 ; 3
1
b c b c
b c b c
b c
b c
Do a
a
a b c
b c
− + − + + +
 
− − + + ≤ =
 ÷
 
⇒ − − ≤
+ +
− ≥
−
⇒ − − − ≤
+ +
Từ (1); (2) và (3) ta có:
1
1
1
a b c a

vector, toạ độ cần chú ý sử dụng các đánh giá sau:
;u v u v+ ≤ +
r r r r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai
vector cùng hướng.
22
Sáng kiến kinh nghiệm – Đào Quang Bình THPT Văn Giang

-
. .u v u v≤
r r r r
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai vector
cùng phương.
2
0u ≥
r
; Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
0u =
r r
Ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có:
AB BC AC+ ≥
. Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B
nằm giữa A và C.
Ba điểm bất kỳ A, B, C ta luôn có
AB AC BC− ≤
. Dấu
bằng xảy ra khi và chỉ khi A, B, C thẳng hàng và B
nằm giữa A, C hoặc C nằm giữa A và B.
Bài 28. Tìm giá trị lớn nhất của

Bài 29. Cho
2 2
, , 0: 4x y z x xz z> + + =
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )
2 2 2 2
; min 2P x xy y y yz z P
= − + + − + =

Bài 30. Cho
2 2 2 2
, , , 0: 5a b c d a b c d> + = + =
Tìm giá trị lớn nhất của
5 2 5 2 5P a b c d ac bd= − − + − − + − −
7. Kết quả vận dụng các phương pháp tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ
nhất đã được tác giả sử dụng trong giảng dạy chuyên
đề “Cực trị” cho học sinh các lớp 10A, 11M trường
THPT Văn Giang năm học 2012-2013.
Kết quả thu được thông qua kết quả đánh giá bài
kiểm tra các em, qua phỏng vấn. Đa số các em được
hỏi đều có được sự tự tin, có hệ thống phương pháp
giải toán cực trị.
Điểm
Lớp
4 5 6 7 8 9 10
Tổng số
bài
10A 6 6 5 10 12 5 0 44