TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

141
PHƯƠNG PHÁP CHUẨN NĂNG LƯỢNG VỚI CHÍNH QUY HOÁ CỦA
BIẾN PHÂN TOÀN PHẦN CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH HỆ SỐ TRONG
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
AN ENERGY NORM METHOD WITH THE TOTAL VARIATION
REGULARIZATION FOR A COEFFICIENT IDENTIFICATION PROBLEM IN
ELLIPTIC EQUATION.

Trần Nhân Tâm Quyền
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Xét bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic
() ().() 0ux axux
−
∆+ =
với điều kiện
biên thuần nhất. Trong bài báo này chúng ta sử dụng phương pháp chuẩn năng lượng để xác
định hệ số phản ứng
()aax=
từ những giá trị không chính xác của nghiệm u trên toàn
miền. Hơn nữa, cho mục đích quan tâm đặc biệt đánh giá các hệ số không liên tục, chúng ta
dùng phương pháp chỉnh với nửa chuẩn biến phân toàn phần thay cho phương pháp chỉnh
Tikhonov truyền thống. Phương pháp chuẩn năng lượng đã được nghiên cứu gần đây cho
bài toán đánh giá hệ số khuếch tán trong các phương trình elliptic (xem, [3, 6]). Tuy nhiên,
chúng ta không thấy bất kỳ công trình nào nghiên cứu về phương pháp này cho bài toán
đánh giá hệ số phản ứng.
ABSTRACT
Consider the Dirichlet problem for the elliptic equation () ().() 0ux axux

() 0, ,
ux axux x
E
ux x
−∆ + = ∈Ω
⎧
⎨
=
∈∂Ω
⎩

giả sử u đã được cho trên toàn miền
Ω
. Để phát biểu một cách chính xác bài toán,
TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

142
chúng ta nhắc lại rằng một hàm
1
0
()uH
∈
Ω được gọi là một nghiệm của hệ elliptic này
nếu:

1
0
,()u v auv fv v H
ΩΩΩ
∇∇+ = ∀∈ Ω

α
> phụ thuộc vào cận dưới a của tập
A
và hằng số được xuất hiện
trong bất đẳng thức Poincaré – Friedrichs (xem, [7]). Do đó, chúng ta xác định được
toán tử phi tuyến từ hệ số đến nghiệm
1
0
:()()UA L H
∞
⊂Ω→Ω mà ánh xạ mỗi
()aAL
∞
∈⊂ Ωtới một nghiệm
1
0
() ( )Ua H
∈
Ω của ()E . Bài toán ngược khi đó được
phát biểu như sau:
Cho
1
0
() ( )uUa H
=
∈Ω, tìm aA
∈
.
Chúng ta sẽ ký hiệu gradient của
()Uatương ứng với biến

1
'( ) , ( )
HLL
Uah f h h L
α
∞
∞
ΩΩΩ
≤∀∈Ω
. (4)
2. Hàm mục tiêu lồi và chính quy hoá
Phương pháp tiêu chuẩn để xác định a từ đo đạc
1
()zH
∈
Ω của nghiệm ( )Ualà
phương pháp bình phương tối thiểu (xem, [2]), nghĩa là tìm
a như nghiệm cực tiểu của
phiến hàm
1
2
()
|| ( ) ||
H
Ua z
Ω
− trên tập chấp nhận được nào đó
ad
AA
∅

∫∫ ∫
.
Dùng (1) và (3) ta được
2 2
2
22
1
'() ( () ) '() ( () ) '()( () )
2
1
(() ) ()(() )
2
11
() .
22
Jah hUa z Uah Ua z aUahUa z
hUaz hUaUaz
hU a hz
ΩΩ Ω
ΩΩ
ΩΩ
=−+∇∇−+ −
=−− −
=− +
∫∫ ∫
∫∫
∫∫

Do đó,
1

Ω
+∇ ∈
∫
(P)
với 0
ρ
> là tham số chính quy hoá và ( )
ad
AATV
=
ΩI . Ở đây ( )TV Ω là không gian
Banach của các hàm có biến phân toàn phần bị chặn (xem, [1, 5]). Theo Định lý 1, vì
()Jalà lồi nên hàm mục tiêu trong bài toán (P) cũng lồi.
3. Sự tồn tại của nghiệm tối ưu
Trong phần này chúng ta sẽ chứng minh bài toán (P) có nghiệm. Kết quả sau đây
có thể được tìm thấy trong Giusti [5], trang 7 - 17.
Bổ đề 1. (i) Với mọi dãy bị chặn () ()
n
aTV⊂Ω, tồn tại một dãy con ()
m
a của
nó và một hàm
()aTV∈Ω
sao cho ()
m
a hội tụ về a trong
1
()L
Ω
-chuẩn.

auv n
Ω
→→∞
∫

TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(40).2010

144
với mọi u và v thuộc
2
()L Ω .
Chứng minh. Bởi định nghĩa của limsup và giả thiết rằng ( )
n
a hội tụ về
0
trong
1
()L Ω -chuẩn, tồn tại một dãy con ( )
m
a của nó mà hội tụ về 0 hầu khắp nơi trên Ω và
lim sup | | lim | |
nn mm
auv a uv
ΩΩ
=
∫∫

Áp dụng Bổ đề Fatou ta có
lim sup lim | |
lim sup | |

n
a bị chặn trong ( )TV
Ω
-chuẩn. Bởi Bổ đề 1, tồn tại
một dãy con ( )
m
a của nó và hàm ()aTV
∈
Ω sao cho ( )
m
a hội tụ về a trong
1
()L Ω -
chuẩn và
||liminf| |
mm
aa
ΩΩ
∇≤ ∇
∫∫
.
Vì ( )
m
aA⊂ nên aA
∈
, và do đó ( )
ad
aA ATV
∈
=ΩI . Ta có, từ (1) và (2),

(( ))
m
Ua hội tụ yếu về
θ
trong
1
()H
Ω
. Ta có, với mọi
1
0
()vH
∈
Ω
,
() () ( )()
(( ) ) (( ) ).
mmm mm
mm
Ua v aUa v v av a aUa v
Ua v aUa v
θθ
θ
θ
ΩΩΩΩΩ
ΩΩ
∇∇+ −∇∇−=−
+∇ − ∇+ −
∫∫∫∫∫
∫∫

⎛⎞⎛⎞
−≤− −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
∫∫ ∫

và dùng định nghĩa của tập A , công thức (6) ta được
1
2
1
2
2
()
()
|( )|| ( )| 2 ( )
2
|| || .
mm m
H
L
aaUa aUa
a
f
α
Ω
Ω
Ω
⎛⎞
−≤
⎜⎟

θθ
ΩΩΩ
∇∇+ = ∀∈ Ω
∫∫∫
.
Điều này có nghĩa là ( )Ua
θ
= và dãy ( ( ))
m
Ua có một dãy con hội tụ yếu về
()Ua trong
1
()H Ω . Ngoài ra, vì
1
0
()H
Ω
là không gian con đóng của không gian
Hilbert
1
()H Ω do đó chúng ta có sự phân tích trực giao
11 1
00
() () ()HHH
⊥
Ω
=Ω⊕Ω.
Chọn
1
0

Ω
Ω
Ω
∇−+ −=∇−−+ −−
=∇ −+ −
−∇ −∇+ −
+∇+
∫∫
∫
∫
∫

Ta có
2
11
|(( ) )| (( ) ) (( ) )
22
1
(() ), ,
2
mmm m
Ua y a Ua y fUa y
fUa y m
ΩΩ
Ω
∇−+ −= −
→−→∞
∫∫
∫


22
m
tat tatm
ΩΩ
∇+ → ∇+ →∞
∫∫

Do đó,

22
22
22
11
lim | ( ( ) ) | ( ( ) ) ( ( ) )
22
(() ) (() )
1
||
2
1
|(() )| (() ).
2
mmmm
Ua z a Ua z fUa y
Ua y t aUa yt
tat
Ua z aUa z
ΩΩ
Ω
Ω

mmmm mm
mmmm m
aA
Ua z aUa z a
Ua z a Ua z a
Ua z a Ua z a
Ua z a Ua z a
Ja a
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩ
ΩΩ
∈
Ω
∇−+ −+∇
=∇−+−+∇
≤∇−+−+ ∇
⎛⎞
=∇−+−+∇
⎜⎟
⎝⎠
=+∇
∫∫
∫∫
∫∫

[8]. T. N. T. Quyen, “Some properties of mapping from coefficients to solutions for
elliptic equations”, J. of scie. and tech., Da Nang Univ., 3(32), 2009, 104 – 111.