Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 200

Hình VII.2. ðồ thị hàng lưu kho trong mô hình tĩnh Wilson
Trên hình VII.2, t
0
= y/β ñược gọi là chu kì hàng, chính là khoảng thời gian từ lúc
lượng ñặt hàng ñược nhập vào kho cho tới khi ñược tiêu thụ hết. Do y là mức hàng lưu
kho cao nhất và do tốc ñộ tiêu thụ hàng là không ñối nên y/2 là mức hàng lưu kho
trung bình.
Các kí hiệu sau ñược sử dụng:
− K là chi phí ñặt hàng (trong hệ thống mua bán - kinh doanh) hay chi phí khởi
ñộng lại (trong hệ thống sản xuất - kinh doanh, chi phí này bao gồm các chi phí văn
phòng, hành chính cho việc khởi ñộng lại dây chuyền sản xuất, làm hợp ñồng bàn giao
hàng, chi phí vận chuyển và xếp hàng vào kho).
− h là chi phí lưu kho/ñơn vị hàng/ñơn vị thời gian.
− TCU(y) là tổng chi phí/ñơn vị thời gian, phụ thuộc vào y. TCU(y) bao gồm chi
phí ñặt hàng và chi phí kưu kho.
Lúc ñó, chúng ta có mô hình sau:
TCU(y) = chi phí ñặt hàng/ñơn vị thời gian + chi phí lưu kho/ñơn vị thời gian
=
K y
h
y / 2
 
+
 
β

kinh doanh) hay
dung
l
ượ
ng lô hàng t
ố
i
ư
u
(trong các hệ thống sản xuất
-
kinh doanh).
Nh
ư
v
ậ
y, chính sách t
ố
i
ư
u c
ủ
a mô hình này là: ch
ọ
n l
ượ
ng
ñặ
t hàng m
ỗ

ngưỡng ñặt lại hàng
là
β
L và
thời ñiểm ñặt lại hàng
là th
ờ
i
ñ
i
ể
m khi
m
ứ
c hàng là
β
L (mô hình r
ơ
i vào tr
ườ
ng h
ợ
p báo cáo theo dõi th
ườ
ng xuyên). C
ầ
n chú
ý r
ằ
ng th

nh”.
Ví dụ 1: Nhu cầu hàng ngày về một mặt hàng là 100 ñơn vị. Chi phí ñặt hàng là 100
USD cho mỗi lần ñặt hàng. Thời gian nhập bổ sung hàng vào kho là không ñáng kể. Chi

phí lưu kho là 0,02 USD/ñơn vị hàng/ngày. Giả sử thời gian dẫn hàng là 12 ngày, hãy
xác ñịnh lượng ñặt hàng tối ưu và thời ñiểm ñặt hàng.
Ta có y* =
2K
h
β
=
2 100 100
0,02
× ×
= 1000
ñơ
n v
ị
,
0
t
∗
= y*/
β
= 1000/100 = 10.
Do th
ờ
i gian d
ẫ
n hàng L = 12 (ngày) dài h

ñơ
n v
ị
thì c
ầ
n ti
ế
n hành
ñặ
t mua hàng
ñể
b
ổ
sung vào kho (cho chu kì
hàng l
ầ
n sau n
ữ
a). Nh
ư
v
ậ
y, c
ầ
n
ñặ
t l
ạ
i hàng l
ầ

i d
ạ
ng y* =
2K 2KD
h C
β
=
(**), trong
ñ
ó D là
nhu c
ầ
u hàng c
ả
n
ă
m (tính theo
ñơ
n v
ị
hàng) còn C là chi phí l
ư
u kho/
ñơ
n v
ị
/n
ă
m. Th
ậ

u ph
ả
i ch
ứ
ng minh.
−
H
ơ
n n
ữ
a, n
ế
u vi
ệ
c b
ổ
sung hàng (nh
ậ
p hàng) vào kho không có tính t
ứ
c th
ờ
i mà
v
ớ
i t
ố
c
ñộ


ằ
ng khi
α
= +
∞
(b
ố
sung hàng t
ứ
c th
ờ
i) thì công th
ứ
c (**) có d
ạ
ng (*).
−
Trong m
ộ
t s
ố
tr
ườ
ng h
ợ
p, chúng ta có th
ể
áp d
ụ
ng chính sách “khách hàng

ng
ñ
ã kí. Chính sách này có
th
ể
làm gi
ả
m chi phí l
ư
u kho, c
ũ
ng nh
ư
làm gi
ả
m v
ố
n “
ñọ
ng’’ (t
ạ
i sao?), nh
ư
ng có th
ể

làm phát sinh chi phí do b
ắ
t khách hàng ch
ờ

y ra tình tr
ạ
ng n
ợ
hàng nh
ư
v
ậ
y
ñượ
c g
ọ
i là mô hình tr
ả
hàng
n
ợ
(
Backordering
). G
ọ
i C
/
là chi phí n
ợ
hàng/
ñơ
n v
ị
hàng n

×
và B* =
/
C
y
C C
∗
+
khi
α
= +
∞
(b
ổ
sung hàng t
ứ
c th
ờ
i),
y* =
/
/
2KD C C
C(1 / )
C
+
×
−β α
và B* =
/

. Chi phí
ñặ
t hàng là 25
USD cho m
ỗ
i l
ầ
n
ñặ
t hàng. T
ố
c
ñộ
nh
ậ
p b
ổ
sung hàng vào kho 30
ñơ
n v
ị
/ngày. Chi phí
l
ư
u kho là 10,56 USD/
ñơ
n v
ị
hàng/n
ă

C(1 / )
−β α
=
2 25 1500
10,56 (1 5/30)
× ×
× −
= 92,3
ñơ
n v
ị
.
Ví dụ 3:
Chi phí
ñặ
t hàng là 50 USD cho m
ỗ
i l
ầ
n
ñặ
t hàng. T
ố
c
ñộ
nh
ậ
p b
ổ
sung

ñ
ã
ñượ
c d
ự
báo là
350
ñơ
n v
ị
, v
ớ
i t
ố
c
ñộ
tiêu th
ụ
là kho
ả
ng 1,1667
ñơ
n v
ị
hàng/ngày. Hãy xác
ñị
nh l
ượ
ng
ñặ

−
ñơ
n
v
ị
hàng
và B* =
/
C
y (1 / )
C C
∗
−β α
+
=
13,75 1,1667
67 1 21
13,75 25 10
 
× × − ≈
 
+
 
ñơn vị hàng.
2.2. Mô hình tĩnh một mặt hàng với dự trữ ñệm
Rõ ràng rằng, mô hình tĩnh Wilson là khá ñơn giản, trong ñó chúng ta ñã giả thiết:
tốc ñộ tiêu thụ hàng là không ñổi và do ñó lượng hàng tiêu thụ trong khoảng thời gian
dẫn hàng là một hằng số. Giả thiết này có thể là chấp nhận ñược trong các bài toán thực
tế nếu tốc ñộ tiêu thụ hàng tuy có biến ñộng nhưng không thay ñổi ñáng kể. Mặc dù
vậy, sẽ là sát với thực tế hơn nếu chúng ta giả thiết lượng hàng tiêu thụ trong khoảng

ñệ
m B
α
trong kho sao cho kh
ả
n
ă
ng
thi
ế
u hàng trong th
ờ
i gian d
ẫ
n hàng không v
ượ
t quá m
ộ
t ng
ưỡ
ng
α
khá th
ấ
p cho tr
ướ
c:
P(X
≥
B

L
)
≤
0,05
⇔

L
L L
B
X
P 0,05
α
 
−µ
≥ ≤
 
σ σ
 
⇔

L
B
P Z 0,05
α
 
≥ ≤
 
σ
 
.

y, c
ầ
n có d
ự
tr
ữ

ñệ
m t
ố
i thi
ể
u là
23,2
ñơ
n v
ị
hàng, lúc
ñ
ó xác su
ấ
t
ñể
X v
ượ
t quá 200 + 23,2 = 223,2 là nh
ỏ
h
ơ
n 0,05 hay

α
là B
α
×
C v
ớ
i C là chi phí l
ư
u kho/
ñơ
n v
ị
hàng/n
ă
m. M
ứ
c an
toàn d
ị
ch v
ụ
càng cao thì chi phí này càng t
ă
ng v
ọ
t.
Chú ý:
Các h
ệ
th

ạ
ng 1: Các h
ệ
th
ố
ng v
ớ
i th
ờ
i
ñ
i
ể
m
ñặ
t l
ạ
i hàng c
ố

ñị
nh (
Fixed
-
Reorder
-
Point
System
) nh
ư

c vào kho) và ví d
ụ
ngay trên
ñ
ây (th
ườ
ng
xuyên có l
ượ
ng d
ự
tr
ữ

ñệ
m trong kho).
D
ạ
ng 2: Các h
ệ
th
ố
ng v
ớ
i báo cáo theo dõi
ñị
nh kì (
Fixed
-
Review

u trong kho. Sau
ñ
ó c
ă
n c
ứ
d
ự
báo v
ề
t
ố
c
ñộ
tiêu th
ụ
hàng trong
th
ờ
i gian t
ớ
i (cho t
ớ
i tr
ướ
c khi nh
ậ
p hàng l
ầ
n sau theo k

u m
ứ
c
an toàn th
ấ
p (d
ướ
i 60% ch
ẳ
ng h
ạ
n) thì c
ầ
n nh
ậ
p b
ổ
sung thêm ngay m
ộ
t
ñợ
t
ñặ
t hàng.
Vi
ệ
c nh
ậ
p hàng b
ổ

m.
2.3. Mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu
Xét mô hình t
ĩ
nh m
ộ
t m
ặ
t hàng v
ớ
i các y
ế
u t
ố
và tham s
ố
sau:
- Nhu c
ầ
u hàng là nhu c
ầ
u t
ĩ
nh, t
ứ
c là t
ố
c
ñộ
tiêu th

ớ
i nhu c
ầ
u tiêu th
ụ

hàng) không x
ả
y ra.
- N
ế
u l
ượ
ng
ñặ
t hàng là y < q thì giá hàng là: c
1
/
ñơ
n v
ị
hàng, còn n
ế
u l
ượ
ng
ñặ
t
hàng là y
≥

u, hay g
ọ
i t
ắ
t là
ngưỡng chiết khấu (Quantity Discount).

Chúng ta tính ñược tổng chi phí/ñơn vị thời gian (bao gồm chi phí mua hàng, ñặt
hàng và lưu kho) là: Trường hợp 1: khi y < q ta có TCU
1
(y) = βc
1
+

Kβ/y + hy/2.
Trường hợp 2: khi y ≥ q ta có TCU
2
(y) = βc
2
+ Kβ/y + hy/2. Cả hai hàm số TCU
1
(y) và
TCU
2
(y) ñều ñạt cực tiểu tại y
m
=
2K / h
β
(xem hình VII.3)

= M
1
, xem hình VII.4a).
Trường hợp 2: Nếu y
m
≤ q < q
1
thì y* = q

(lúc này ta ñặt lượng hàng vừa vặn bằng
ngưỡng chiết khấu q và mua với giá chiết khấu với TCU
min
= M
2
, xem hình VII.4b).
Trường hợp 3: Nếu q ≥ q
1
thì y* = y
m
(lúc này ta ñặt lượng hàng y
m
và không mua
với giá chiết khấu với TCU
Min
= M
3
, xem hình VII.4c).
Chú ý: Mô hình trên ñây có thể ñược tổng quát hóa khi có nhiều ngưỡng chiết khấu.

III

y

q
1
y
m
TCU
1
II

I

TCU
2
Chi phí

y

q
1
y
m
TCU
1

I


TCU
1
TCU
2

M
3

Hình VII.4c. q rơi vào vùng III: q
≥
q
1

Ví dụ 5: Xét mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu, trong ñó: K= 10 USD,
h = 1 USD, β = 5 (ñơn vị hàng/ngày), q = 15, c
1
= 2 USD, c
2
= 1 USD, y
m
=
2K / h
β


1 1
q 30q 100 0
− + =
⇔ q
1
= 26,18 (lấy) hoặc q
1
= 3,82 (loại). Do y
m
≤ q < q
1

nên chúng ta xét trường hợp 2 và quyết ñịnh chọn y* = q = 15.
2.4. Mô hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế
Mô hình này xem xét hệ thống quản lí dự trữ ñồng thời n mặt hàng (n > 1) với A là
diện tích tối ña của kho lưu giữ tất cả các mặt hàng. ðối với mặt hàng i bất kì, một ñơn
vị hàng cần a
i
ñơn vị diện tích, i =1, 2, , n. Sau ñây là các giả thiết của mô hình:
− ðiều kiện ràng buộc về diện tích kho:
n
i i
i 1
a y A
=
≤
∑
.
− Các mặt hàng ñược bổ sung tức thời.
− Không có giá chiết khấu.

+ →
 
 
∑
, với các ràng buộc

n
i i
i 1
i
a y A,
y 0, i 1,2, , n.
=

≤



> ∀ =

∑

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 206Bài toán này có thể giải ñược bằng phương pháp nhân tử Lagrange, hay các phương
pháp thích hợp khác.
Trường hợp 1: Tính các nghiệm
i

Trước hết, cần cực tiểu hóa hàm Lagrange (với λ < 0 là nhân tử Lagrange):
L(λ, y
1
,y
2,
,y
n
) = TCU(y
1
,y
2,
,y
n
) - λ
n
i i
i 1
a y A
=
 
−
 
 
∑
→ Min
⇔
n n
i i i i
i i
i 1 i 1

là:
i i i
i
2
i
i
n
i i
i 1
K hL
a 0, i 1,2, , n
y 2
y
L
a y A 0.
=
β∂

= − + −λ = ∀ =

∂


∂

= − + =

∂λ

∑

ñ
ây là tr
ườ
ng h
ợ
p không có h
ạ
n ch
ế
v
ề
di
ệ
n tích l
ư
u kho. Ngoài ra, giá tr
ị

λ* có th
ể
tìm
ñượ
c b
ằ
ng ph
ươ
ng pháp th
ử

ñ

y
2
y
3
3
i i
i 1
a y
=
∑

- A
0 11,5 20,0 24,5 31
- 0,05 10,0 14,1 17,3 16,4
- 0,10 9,0 11,5 14,9 10,4
- 0,15 8,2 10,0 13,4 6,6
- 0,20 7,6 8,9 12,2 3,7
- 0,25 7,1 8,2 11,3 1,6
- 0,30 6,7 7,6 10,6 - 0,1
Bảng VII.3 minh họa phương pháp thử ñúng sai ñể tìm λ*. Ta thấy λ* nhận giá trị
nào ñó giữa -0,25 và -0,30. Giả sử λ* = -0,30, thế thì chúng ta sẽ tính ñược ngay
1
y
∗
=
6,7,
2
y
∗
= 7,6,

− Mặc dù nhu cầu tiêu dùng hàng biến thiên từ chu kì này tới chu kì nhưng trong
mỗi chu kì nhu cầu ñó ñược dự báo một cách chắc chắn.
− Mức hàng lưu kho ñược kiểm soát theo chế ñộ báo cáo theo dõi ñịnh kì.
− Việc bổ sung hàng vào kho ñược coi là tức thời.
− Tình trạng thiếu hàng không xảy ra.
− Phạm vi thời gian của mô hình là hữu hạn.
Với mỗi chu kì i, i = 1, 2, , N, kí hiệu: z
i
, D
i
, x
i
, h
i
, K
i
theo thứ thự là: lượng ñặt
hàng, nhu cầu tiêu thụ hàng, hàng tồn kho từ chu kì trước chuyển sang, chi phí lưu
kho/ñơn vị, chi phí ñặt hàng (trong hệ thống mua bán kinh doanh hay chi phí khởi ñộng
lại trong hệ thống sản xuất kinh doanh). Còn c
i
(z
i
) là chi phí mua hàng/ñơn vị hàng tùy
thuộc vào lượng ñặt hàng z
i
. Ngoài ra, chúng ta cũng ñịnh nghĩa:
i i
i i i
0

Mỗi một chu kì tương ứng với một giai ñoạn của bài toán quy hoạch ñộng. Kí hiệu
x
i+1
= x
i
+ z
i
- D
i
là lượng hàng tồn kho tại cuối chu kì i. Vậy x
i
= x
i+1
+ D
i
- z
i
.

Với mục
ñích ñơn giản hóa vấn ñề, chúng ta giả sử hàm chi phí lưu kho tương ứng có dạng
H(x
i+1
) = h
i
x
i+1
. ðặt x
i+1
là biến trạng thái của giai ñoạn i thì x

i i 1 i i i i 1 i 1 i 1 i i
0 z D x
f (x ) C (z ) h x
Min
f (x ) C (z ) h x f (x D z )
Min
i 2,3, , N.
+
≤ ≤ +
+ + − +
≤ ≤ +
= +
= + + + −
=

Chú ý:
Mô hình quản lí hàng dự trữ trên ñây có thể ñược áp dụng cho hệ thống mua bán
kinh doanh (khi K
i
là chi phí ñặt hàng) cũng như hệ thống sản xuất kinh doanh (khi K
i
là
chi phí khởi ñộng lại).
Ở ñây quy hoạch ñộng ñã giúp cho việc giải bài toán ñiều khiển: Tuỳ theo giá trị
của biến trạng thái x
i+1
(lượng hàng tồn kho cuối chu kì) cần xác ñịnh các giá trị thích
hợp của biến ñiều khiển z
i
nhằm mục tiêu ñáp ứng nhu cầu D

z
i+1
z
N
D
i
D
N

Bảng VII.4. Các tham số cho ba chu kì hàng
Chu kì i Cầu D
i
Chi phí ñặt hàng Chi phí lưu kho h
i
1 3 3 1
2 2 7 3
3 4 6 2
Ngoài ra còn cho biết: Lượng hàng tồn kho chuyển sang chu kì 1 là x
1
= 1. Chi phí
mua hàng là 10 USD/ñơn vị hàng cho 3 ñơn vị ñầu tiên và 20 USD cho mỗi ñơn vị hàng
tiếp theo. Vậy ta có:

i
i i
i
10z
c (z )
30 20(z 3),


= 2 + 4 = 6. Do x
1
= 1,
nên giá trị nhỏ nhất của z
1
= D
1
- x
1
= 3 -1 = 2. Còn giá trị lớn nhất của z
1
là 8.
Kết quả tính toán ñược thể hiện trong bảng VII.5.
Bảng VII.5. Kết quả tính toán giai ñoạn 1
f
1
(x
2
/z
1
) = C
1
(z
1
)+h
1
x
2
z
1

}
2 2 3
2 3 2 2 2 3 1 3 2 2
0 z D x
f (x ) C (z ) h x f (x D z )
Min
≤ ≤ +
= + + + −
, D
2
= 2, 0 ≤ x
3
≤ D
3
= 4.
Kết quả tính toán ñược thể hiện trong bảng VII.6.
Bảng VII.6. Kết quả tính toán giai ñoạn 2
Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học
……………………………… 210f
2
(x
3
/z
2
) = C
2
(z

) = 0 17 27 37 57 77 97 f
2
(x
3
)
2
*
z

0 0 55 51 50 50 2
1 3 79 75 64 63 63 3
2 6 103 99 88 77 86 77 3
3 9 127 123 112 101 100 109 100 4
4 12 151 147 136 125 124 123 132 123 5
Giai ñoạn 3:
{
}
3 3 4
3 4 3 3 3 4 2 4 3 3
0 z D x
f (x ) C (z ) h x f (x D z )
Min
≤ ≤ +
= + + + − , D
3
= 4, x
4
= 0.
K
ết quả tính toán ñược thể hiện trong bảng VII.7.

4
h
3
x
4
C
3
(z
3
) = 0 16 26 36 56 f
3
(x
4
)
3
*
z

0 0 123 116 103 99 106 99 3
Kết quả cuối cùng: giá trị của các biến ñiều khiển là
1
z
∗
= 2,
2
z
∗
= 3,
3
z