TRƯỜNG THPT THANH BÌNH 2 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN NĂM 2011
KHỐI: A
Thời gian: 180 phút(không kể thời gian phát đề)
Câu I. (5,0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
+ mx + 1 (m là tham số) (1)
1. Tìm m để hàm số (1) đạt cực trị tại x
1
, x
2
thỏa mãn x
1
+ 2x
2
= 3.
2. Tìm m để đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C
sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau.
Câu II. (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình:
8
5.
x x y x y y
x y

− = +


− =

1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 2), các đường thẳng ∆
1
: x + y – 3 = 0 và đường
thẳng ∆
2
: x + y – 9 = 0. Tìm tọa độ điểm B thuộc ∆
1
và điểm C thuộc ∆
2
sao cho tam
giác ABC vuông cân tại A.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-3; 5; -5), B(5; -3; 7) và mặt
phẳng (P): x + y + z - 6 = 0.
Tìm tọa độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA
2
+ MB
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu VI. (2,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông
góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng 60
0
.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.
Câu VII. (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 3.
Chứng minh rằng:
3 3 3
2 2 2
3

1 2
1 2
1 2
9 -3 0
-2
.
3
2 3
m
x x
m
x x
x x
>


+ =



=


+ =


0,5
Giải hệ trên ta được m = -105 0,5
I.2
(2điểm)

1
2
+ 6x
1
+ m
và tại C là k
2
= 3x
2
2
+ 6x
2
+ m
0,5
Tiếp tuyến của (C) tại B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi
k
1
.k
2
= -1
0,5
⇔ 4m
2
– 9m + 1 = 0
0,5
⇔
9 65
m ( t/m)
8
9 65

5
( 1) 5
( 1)
1
t
t
t y t y
t t
y t
y t
t

− = +


− = +
 
− −
⇔
 
− =

 
= ≠

−

(*) ⇔ 4t
3
– 8t


− + =

0,5
⇔
4
os3 sinx 2
x k
c x
π
π

= − +


− =

0,5
Chứng minh được phương trình cos 3x – sin x = 2 vô nghiệm
KL: x =
4
k
π
π
− +
0,5
III
(2điểm)
3. PT ⇔
2 2 2

I =
4
2
0
tan
cos 1 cos
xdx
x x
π
+
∫
=
4
2 2
0
tan
cos 2 tan
xdx
x x
π
+
∫
.
0,5
Đặt t =
2 2 2
2
tan x
2 tan t 2 tan tdt =
cos

∆ ABC vuông cân tại A ⇔
2 2
. 0AB AC
AB AC

=


=


uuur uuur

0,5
⇔
2 2
2ab - 10a - 4b + 16 = 0 (1)
2a - 8a = 2b 20b 48 (2)


− +

a = 2 không là nghiệm của hệ trên.
0,5
(1) ⇔ b =
5a - 8
a - 2
. Thế vào (2) tìm được a = 0 hoặc a = 4
0,5
Với a = 0 suy ra b = 4.

= =
1 1 1
. 0,5
M là giao điểm của MI và mặt phẳng (P).
Từ đó tìm được M(2; 2; 2)
0,5
VI
(2điểm)
3.

D
C
B
A
S
M
Gọi M là hình chiếu vuông góc của B lên SC. Chứng minh
được góc DMB = 120
0
và ∆ DMB cân tại M
0,5
Tính được: DM
2
=
2
3
a
2
0,5
∆ SCD vuông tại D và DM là đường cao nên

+ +
+ + + + + + + + +
=
3 3 3
( )( ) ( )( ) ( )( )
a b c
b c a b c a b c a b c a
+ +
+ + + + + +
Theo BĐT AM-GM ta có
3
3
( )( ) 8 8 4
a b c a b a
b c c a
+ +
+ + ≥
+ +

3
5 2
( )( ) 8
a a b c
b c c a
− −
⇒ ≥
+ +
(1)
0,5
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được:

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 (Đpcm)
0,5