Một số tính chất của không gian o-mêtric
và o-mêtric mạnh
Đinh Huy Hoàng
(a)
, Phan Anh Tài
(b)
Nguyễn Đình Lập
(c)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi đa ra một số tính chất và mối liên hệ của
các không gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, không gian đối xứng và chứng minh rằng một
không gian o-mêtric mạnh (tơng ứng, o-mêtric Hausdorff) là không gian Frechet mạnh
(tơng ứng,
4
-không gian).
1 Mở đầu
Không gian mêtric là một không gian tôpô đặc biệt có rất nhiều tính chất và trực
quan. Vì thế khi nghiên cứu các không gian tôpô tổng quát, ngời ta thờng xét
các tính chất tơng tự nh không gian mêtric. Một trong những hớng nghiên cứu
trong tôpô hiện đại là xây dựng những hàm tơng tự nh mêtric trên các không gian
tôpô và nghiên cứu các tính chất sinh ra từ các hàm đó. Để xây dựng các hàm kiểu
này, ngời ta mở rộng khái niệm mêtric bằng cách giảm bớt các điều kiện trong định
nghĩa của nó. Với cách làm nh vậy, ngời ta thu đợc các khái niệm giả mêtric, nửa
mêtric, o-mêtric, symmetric, và nghiên cứu các không gian bằng cách dựa vào các
khái niệm này. Những ngời đạt đợc những kết quả đáng kể về những lĩnh vực đã
nêu là A. V. Arhangel'ski, G. Gruenhage, K. B. Lee, Ja. A. Kofnor, S. Lin,
Mục đích của chúng tôi là tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của các không
gian o-mêtric, o-mêtric mạnh, đối xứng,
Đầu tiên chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản.
1.1. Định nghĩa. Giả sử V là một tập con của không gian tôpô X. V đợc gọi là
lân cận dãy của x X nếu với mỗi dãy {x
n

Hàm d đợc gọi là một o-mêtric trên X nếu
1
Nhận bài ngày 29/5/2009. Sửa chữa xong 15/9/2009.
(i) d(x, y) 0 với mọi x, y X,
(ii) d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,
(iii) Tập con U X là mở khi và chỉ khi d(x, X \ U) > 0 với mọi x U, trong đó
d(x, X \ U) = inf{d(x, y) : y X \ U}.
Hàm d đợc gọi là một o-mêtric mạnh nếu d là o-mêtric và với mỗi x X, với mỗi
r > 0, hình cầu B(x, r) = {y X : d(x, y) < r} là một lân cận của x.
Hàm d đợc gọi là một symmetric nếu d là o-mêtric và d(x, y) = d(y, x) với mọi
x, y X.
Hàm d đợc gọi là một nửa mêtric nếu d là symmetric và với M X thì x M
khi và chỉ khi d(x, M) = inf{d(x, y) : y M} = 0.
Không gian tôpô X cùng với một o-mêtric (tơng ứng, o-mêtric mạnh, symmetric,
nửa mêtric) d trên nó đợc gọi là không gian o-mêtric (tơng ứng, o-mêtric mạnh, đối
xứng, nửa mêtric) và ký hiệu là (X, d) hoặc X nếu không cần chỉ ra d.
1.5. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là có tính chất (*) nếu với mỗi
điểm không cô lập x của X đều tồn tại một dãy không tầm thờng (không là dãy
dừng) trong X hội tụ tới x.
1.6. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X. Tập con Q của X đợc gọi là một cái
quạt tại x của X nếu Q có thể biểu diễn dới dạng Q = {x} {{x
nm
: m N} :
n N}, trong đó {x
nm
: m N}
nN
là vô hạn dãy rời nhau của X mà mỗi dãy hội tụ
về x.
Tập con C của quạt Q tại x đợc gọi là một đờng chéo của Q nếu C có giao với

n
)0 nên tồn tại số tự nhiên n
0
sao cho
d(x, x
n
) < r với mọi n n
0
. Do đó x
n
B(x, r) U với mọi n n
0
. Vậy x
n
x.
2.2. Định lý. Không gian tôpô X là nửa mêtric khi và chỉ khi nó là không gian
o-mêtric mạnh và đối xứng.
Chứng minh. Giả sử X là không gian nửa mêtric và d là nửa mêtric trên X.
Khi đó, với mỗi x X và n N thì B

x,
1
n

là một lân cận của x. Thật vậy, đặt
E = X\B

x,
1
n

x,
1
n

B(x, r). Nh vậy B(x, r) là lân cận
của x. Từ đó suy ra X là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng.
Ngợc lại, giả sử X là không gian o-mêtric mạnh và đối xứng. Khi đó trên X có
một symmetric d sao cho với mỗi x X và r > 0 tập B(x, r) là một lân cận của x.
Ta chứng tỏ X là không gian nửa mêtric. Giả sử M X và x M. Lúc đó, với mỗi
r > 0, B(x, r) M = , tức là tồn tại y B(x, r) M. Từ đó ta có
0 d(x, M) d(x, y) < r.
Cho r 0 ta kết luận đợc d(x, M) = 0. Ngợc lại, giả sử x X sao cho d(x, M) = 0.
Nếu x / M thì x X\M. Do đó tồn tại r > 0 sao cho d(x, M) d(x, M) r > 0.
Điều mâu thuẫn này chứng tỏ x M. Vậy X là không gian nửa mêtric.
2.3. Định lý. Nếu (X, d) là không gian o-mêtric sao cho từ x và dãy {x
n
} trong
X thỏa mãn x B

x
n
,
1
n

với mọi n N đủ lớn suy ra {x
n
} hội tụ tới x thì X là
không gian đối xứng.
Chứng minh. Ta xác định hàm d


nếu x = y.
Rõ ràng d

(x, y) 0, d

(x, y) = d

(y, x) với mọi x, y X và d

(x, y) = 0 khi và chỉ khi
x = y. Để hoàn thành chứng minh định lý, ta chỉ cần chứng tỏ rằng U mở trong X
khi và chỉ khi với mỗi x U đều có d

(x, X\U) > 0.
Giả sử U là tập mở trong X và x U. Khi đó, theo Mệnh đề 2.1 ắt tồn tại n
0
N
sao cho B

x,
1
n
0

U. Với mỗi y X\U thì y / B

x,
1
n

n
. (2)
Nếu x / B

y
n
,
1
n

thì
1
inf

j N : x / B

y
n
,
1
j


1
n
. (3)
Từ (1) và (3) suy ra d

(x, y
n

x,
1
n

(X\U) =
tức là với mỗi n = 1, 2, . . . tồn tại x
n
B

x,
1
n

(X\U). Từ x
n
B

x,
1
n

với
n = 1, 2, . . . suy ra d

(x, x
n
) <
1
n
. Kết hợp với x

1
n

= với mọi n. Từ
đó suy ra tồn tại {x
n
} X sao cho x
n
A
n
B

x,
1
n

với mọi n. Vì thế
d(x, x
n
) <
1
n
, với mỗi n N.
Cho n ta đợc d(x, x
n
)0. Theo Mệnh đề 2.1 thì x
n
x. Do đó X là không gian
Frechet mạnh.
2) Đầu tiên, ta chứng minh hình cầu B(x, r) là tập mở với mỗi x X và r > 0.

} hội tụ tới x. Không mất tính tổng quát có thể giả thiết
các x
n
đôi một khác nhau. Đặt E = {x
1
, x
2
, . . . }. Vì X là không gian Hausdorff nên
E {x} là tập con đóng trong X. Do đó X\(E {x}) là tập mở.
Giả sử y X\E. Nếu y = x thì B(y, r) = B(x, r) X\E.
Nếu y = x thì y X\(E {x}). Vì X\(E {x}) là tập mở nên tồn tại > 0 sao
cho
B(y, ) X\(E {x}) X\E.
Từ Mệnh đề 2.1 suy ra X\E là tập mở hay E là tập đóng. Điều này mâu thuẫn với
{x
n
} E, {x
n
} hội tụ tới x nhng x / E. Vậy B(x, r) là lân cận dãy của x.
Mệnh đề 2.1 chỉ ra rằng trong không gian o-mêtric từ d(x, x
n
)0 suy ra x
n
x.
Vấn đề đặt ra là với điều kiện nào thì từ x
n
x suy ra d(x, x
n
)0. Mệnh đề sau đây
giải quyết vấn đề này.

- không gian.
Chứng minh. Giả sử Q là một cái quạt tại x X và Q đợc biểu diễn dới dạng
Q = {x} {{x
n m
: m N} : n N},
trong đó {x
nm
: m N}
nN
là đếm đợc các dãy rời nhau trong X và x
nm
x khi
m; n = 1, 2, . . . Theo Bổ đề 2.5, mỗi B

x,
1
n

là một lân cận dãy của x. Từ đó
suy ra với n N ắt tồn tại m
n
N sao cho
x
nm
B

x,
1
n


: m N} = , tức là C có giao với vô hạn dãy
của Q. Giả sử U là một lân cận của x. Khi đó, tồn tại n
0
N sao cho B

x,
1
n
0

U.
Ta có
y
n
B

x,
1
n

B

x,
1
n
0

U, với mọi n n
0
.

bởi vì nếu tồn tại z V (A\E) thì từ z A\E suy ra V (A\U) = và ta có
điều mâu thuẫn. Do đó
d(y, (A\U) (A\E)) > 0.
Cuối cùng, giả sử y U\E. Khi đó, từ E U = A U suy ra y là điểm trong của
A. Do đó tồn tại
1
> 0 sao cho
B(y,
1
) intA.
Mặt khác, vì y U nên d(y, A\U) > 0. Từ đó suy ra d(y, (A\U) A) > 0. Kết hợp
với X\G (A\U) A ta có d(y, X\G) > 0. Nh vậy d(y, X\G) > 0 với mọi y G.
Do đó G mở trong X.
2.9. Bổ đề. Mọi không gian o-mêtric đều có tính chất (*).
Chứng minh. Giả sử X là không gian o-mêtric và x không là điểm cô lập trong
X. Khi đó với mỗi n = 1, 2, . . . đều có B

x,
1
n

(X\{x}) = . Thật vậy, nếu tồn tại
n
0
N sao cho B

x,
1
n
0

}
trong A, hội tụ tới x. Nếu x là điểm cô lập thì điều cần chứng minh là tầm thờng.
Giả sử x không là điểm cô lập. Khi đó, theo giả thiết, A là không gian o-mêtric. Vì
thế, theo Bổ đề 2.9, A có tính chất (*), nghĩa là tồn tại dãy {x
n
} trong A hội tụ tới x.
Vậy X là không gian Frechet.
Bây giờ, giả sử thêm X là không gian Hausdorff. Lấy x X và r > 0. Ta chỉ
cần chứng tỏ B(x, r) là lân cận của x.
Ký hiệu U là phần trong của B(x, r). Nếu x / U thì x (X\B(x, r)). Theo kết
quả vừa chứng minh X là không gian Frechet nên tồn tại dãy {x
n
} trong X\B(x, r)
hội tụ tới x. Mặt khác, theo Bổ đề 2.5, B(x, r) là lân cận dãy của x nên dãy {x
n
}
nằm trong B(x, r) từ một lúc nào đó. Nh vậy, ta có điều mâu thuẫn. Từ đó suy ra
x U và do đó B(x, r) là lân cận của x.
tài liệu tham khảo
[1] G. Gruenhage, E. Michael and Y Tanaka, Spaces ditermined by point-countable
covers, Pacific J. Math., 113(2), 1984, 303 - 332.
[2] Ja. A. Kofnor, On a new class of spaces and some problems of symmetrizability
theory, Soviet Math. Dokl., 10, 1969, 845 - 848.
[3] K. B. Lee, On certain g-rst countable space, Pacific J. of Math., 65, 1976, 113
- 118.
[4] C. Liu, On weak bases, Topology and its Applications, 150, 2005, 91 - 99.
[5] S. Lin and P. Yan, Point - countable k-networks, cs

-networks and
4