trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
47

các phơng pháp số
để giải phơng trình lan truyền xung Đinh Xuân Khoa
(a)
, Nguyễn Việt Hng
(b)
,
Bùi Đình Thuận
(a)
, Hoàng Thị Hồng Thanh
(c)Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi trình bày những cơ sở của phơng pháp số
để giải gần đúng phơng trình lan truyền xung. Bằng cách sử dụng phơng pháp số,
chúng tôi khảo sát sự tơng tác giữa các soliton.
I. Mở đầu
Xuất phát từ phơng trình Schrodinger phi tuyến suy rộng [1]:
( )
.







U
UUUiSUUiN
UUiU
R
(1)
trong đó
(
)

,U
là hàm bao phức của xung, các tham số đặc trng cho các hiện
tợng tán sắc bậc ba, tự dựng xung và tự dịch chuyển tần số tơng ứng là
3

, S và
R

. Trong trờng hợp tổng quát, việc tìm lời giải giải tích cho phơng trình (1) là rất
khó và đến nay vẫn cha thực hiện đợc. Chỉ với một vài trờng hợp riêng ngời ta
mới tìm đợc các nghiệm soliton của nó mà thôi. Mặt khác, cần lu ý rằng phơng
trình (1) chỉ là một trong số rất nhiều các dạng gần đúng của phơng trình lan
truyền xung [1,2]. Khi tính đến các số hạng tán sắc và phi tuyến bậc cao hơn,
phơng trình lan truyền xung sẽ trở nên rất phức tạp và việc tìm các phơng pháp
giải tích chung cho các phơng trình này là không thể thực hiện đợc.

(
)
,

UUNL
U
+=



(2)
trong đó
L

và
N

tơng ứng là các toán tử tuyến tính và phi tuyến tác dụng lên hàm
bao:
( )
( )
.
1

2

2
22
2
3

U
UUU
U
iSUiNUN
i
L
R
(3)
Lấy tích phân phơng trình (2) theo biến trong khoảng + , ta đợc [9]:
(
)
(
)
(
)

,exp, UBAU +=+
(4)
với:
( )( ) ( )( )


+
++
=
===












+
A
B
A
BA
(6)
Trong phép gần đúng này, chúng ta đã xem rằng các toán tử A và B là giao hoán khi
nhỏ. Sai số của công thức (6) vào bậc ()
2
.
Thay các biểu thức trên vào (4) ta có biểu thức mô tả thuật toán split - step bậc
hai cho bài toán (2) nh sau:

( ) ( )( )
(
)
( )
.,

2
exp,

exp
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
49
Để tính đợc giá trị hàm bao theo (7) chúng ta cần biết cách tính tác dụng của
các toán tử tuyến tính và phi tuyến lên hàm bao. Chúng ta sẽ giới hạn biến thời gian
trong khoảng hữu hạn [a, b] đủ lớn để các biên không ảnh hởng đến kết quả tính
toán. Giả thiết rằng hàm bao
(
)

,U
thoả mãn điều kiện biên tuần hoàn
(
)
(
)
bUaU ,,

=
với
[
]
0
,0





=
NN
iU
N
UFU
k
N
j
jkjjk

(8)
Biến đổi Fourier ngợc đợc xác định nh sau:
( )
( )
[ ]
( )
( )
., ,2,1,0,exp,,,
12/
2/
1
NjiUUFU
N
Nk
jkkkjj
===



]
[
]
.,
21
jkkj
UFF




3. Thuật toán Runge - Kutta bậc bốn
Phơng trình (1) cũng có thể đợc tính gần đúng nhờ thuật toán Runge Kutta.
ở đây, chúng tôi sử dụng thuật toán Runge Kutta bậc bốn, là thuật toán thờng
dùng để giải các phơng trình vi phân [4,5,8].
Sau khi sử dụng phép biến đổi Fourier để tính các đạo hàm riêng theo thời gian
nh phần trên thì phơng trình (1) trở thành:
[ ]
( ) ( ) ( )
[ ]
( )( )
[ ][ ]
( )
[ ][ ][ ]







[ ]
,
2
3
3
2
UFi
i
exxpV
















=


(11)
chúng ta có thể viết lại (1) nh sau:











++
















=

2

(
)
(
)
( )
( )
( )( )
.,,.
,
2
1
,,
2
.
,
2
1
,,
2
.
,,,.
34
23
12
1
KUfK
KUfK
KUfK
UfK
++=


(15)
Từ (14) và (11) chúng ta tính đợc giá trị hàm bao tại vị trí



+
:
( ) ( ) ( )
.
2
exp
3
3
2
1















trên, đầu tiên chúng tôi tiến hành so sánh với một số trờng hợp riêng đã đợc thực
hiện theo phơng pháp giải tích. Theo phơng pháp tán xạ ngợc, khi các tham số
bậc cao
3

, S và
R

trong phơng trình (1) bằng không thì với điều kiện các xung vào
là hàm dạng secant hyperbolic, phơng trình sẽ có các nghiệm soliton. Các soliton có
tính tuần hoàn theo chu kỳ trong quá trình lan truyền. Bậc của soliton đợc xác
định qua tham số N trong (1), với các giá trị N càng lớn, tức là soliton bậc càng cao,
thì khi lan truyền trong mỗi chu kỳ, hàm bao càng biến đổi phức tạp. Chúng tôi tính
toán cho các trờng hợp lan truyền của soliton khi mà N = 1 và 10 với xung vào dạng
secant hyperbolic [7]:
(
)
(
)
.sec,0

hU =
. (17)
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008

(
)

irhrhU expsecsec,0
21
++=
, (18)
với r là liên hệ về biên độ còn là liên hệ về pha của chúng [4, 7]. Các kết quả giải
tích [10] đã chỉ ra rằng do các hiện tợng phi tuyến nên trong quá trình lan truyền
các soliton sẽ có tơng tác với nhau. Các tính toán sau đây của chúng tôi tiến hành
cho quá trình va chạm của các soliton cơ bản và các soliton bậc cao. Các tham số
trong (18) đợc chọn là, 0,1
=
=

r và
21

=
. Kết quả tính toán biểu diễn ở hình 2.
Hình 2(a) mô tả quá trình va chạm giữa hai soliton cơ bản. Trong khi lan
truyền, mới đầu hai soliton này hút nhau và tiến lại gần trong khi cờng độ tăng
dần lên, ở vị trí hai soliton gần nhau nhất, cờng độ gấp 4 lần giá trị ban đầu, sau đó
chúng lại đẩy nhau ra xa và cờng độ giảm dần về các giá trị ban đầu. Quá trình hút
và đẩy giữa các soliton do ảnh hởng của các hiện tợng tán sắc và phi tuyến đợc
lặp đi lặp lại theo chu kỳ, sau mỗi lần va chạm nh vậy dạng của hàm bao xung vẫn
không thay đổi. Kết quả tơng tự cũng xẩy ra với các soliton bậc cao. Trong hình 2(b)

Propagation technique for ultrashort pulses I. Tạp chí khoa học, Trờng Đại học
Vinh, 3A, Tập 36, 2007, trang 47-54.
[2] Cao Long Vân, Đinh Xuân Khoa, Marek Trippenbach, Nhập môn Quang học phi
tuyến, Vinh - 2003.
[3] Cao Long Vân, Marek Trippenbach, Đinh Xuân Khoa, Nguyễn Việt Hng, Phan
Xuân Anh, National Conference on Theoretical Physics, Sam son, Vietnam, 12 -
14 August 2003; Journal of Science, Vinh University 1A, 50, 2003.
[4] G. M. Muslu, H. A. Erbay, Mathematics and Computers in Simulation, 67, 2005,
pp. 581 - 595.
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008
53
[5] J. D. Hoffman, Numerical Methods for Engineers and Scientists, Marcel Dekker -
2001.
[6] T. Hohage, F. Schmidt, On the Numerical Solution of Nonlinear Schrodinger
Type Equations in Fiber Optics, Berlin, 2002.
[7] G. P. Agrawal, Nonlinear Fiber Optics, Academic, San Diego, 2003.
[8] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical
Recipes in Fortran 77 - The Art of Scientific Computing, Cambridge University
Press, 1992.
[9] U. Bandelow, A. Demircan and M. Kesting, Simulation of Pulse Propagation in
Nonlinear Optical Fibers, WIAS, 2003.
[10] A. L. Maimistov, A. M. Basharov, Nonlinear optical waves, Kluwer Academic,
1999.