trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
5
Về tính

-ổn định của phơng trình
sai phân tuyến tính trong không gian banach

Phạm Ngọc Bội
(a)
, Hoàng Văn Thành
(a)

Tóm tắt. Trong bài báo này chúng tôi xây dựng các khái niệm

-ổn định đều,

-
ổn định mũ cho phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach
và chứng minh một số điều kiện cần và đủ để phơng trình này

-ổn định đều,

-ổn
định mũ. Bài báo cũng chỉ ra mối quan hệ giữa điều kiện Perron của phơng trình sai
phân tuyến tính không thuần nhất với tính

Constantin (xem [2], [4] - [8]). Đối với phơng trình sai phân, gần đây Y. Han và J.
Hong ([9]) đã chỉ ra một số tiêu chuẩn về sự tồn tại nghiệm

-bị chặn của phơng
trình sai phân tuyến tính trong
n
:
x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2)
trong đó {f(n), n

0} là dãy nhận giá trị trong
n
.
Các tác giả của [1], [2], [4] - [9] chỉ xét bài toán trong
n
và

(t), t (hoặc

(n), n = {0,1,2 } ) là ma trận đờng chéo, mỗi phần tử trên đờng chéo lấy giá
trị trong (0, +).
Trong bài báo này, chúng tôi xây dựng khái niệm

-ổn định đều,

-ổn định
mũ cho phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach và
chỉ ra một số tiêu chuẩn để chúng

-ổn định đều,


) > 0 sao cho mỗi một nghiệm bất kỳ {x(n)} của phơng trình (1) trên [n
0
,

), với n
0
tuỳ ý thuộc nếu thoả mãn
)()(
00
nxn
<

thì
)()( nxn
<

với mọi n

n
0
.
b) Phơng trình (1) đợc gọi là

-ổn định mũ trên nếu tồn tại các số dơng
K và q, q < 1 sao cho nếu {x(n), n} là nghiệm bất kỳ của phơng trình (1) thì
)()()()( mxmKqnxn
mn

với mọi n, m thuộc , n

(tơng ứng ổn định mũ) của phơng trình (1).
II. các kết quả
Trong bài báo này ta giả thiết rằng ,2,1),()1()(
1
=

nnnAn là dãy toán
tử tuyến tính bị chặn đều

,2,1,)1()1()(
1
=<

nCnnAn
. (3)
Ký hiệu
X n m
A n A n A m n m
I n m
( , )
( ) ( ) ( ) ,
,
=
>
=



1 2
,

0. (6)
Đặt
)(),()(),(
1
m

mnXn

mn


=
, ta chứng minh họ toán tử
{
}
0,),( mnmn
bị chặn đều. Với
0


mn
, giả sử u 0, u B, ta xét dãy {x(n), n
trờng Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXVII, số 3A-2008
7


u
umn
2
),(
. (7)
Khi u = 0 hiển nhiên bất đẳng thức thức (7). Vậy đẳng thức thức (7) đúng với
mọi u B, suy ra họ toán tử
{
}
0,),( mnmn
bị chặn tại mỗi một u B. Theo
nguyên lý bị chặn đều, ta suy ra họ toán tử
{
}
0,),( mnmn
bị chặn đều.
Vậy (4) đợc chứng minh.
Ngợc lại giả sử có (4). Nếu là số dơng bất kỳ, ta chọn =
K

. Khi đó với
nghiệm x(n) tuỳ ý của (1) nếu
x(m)m )(
<
K

thì

m)x(m))(n)X(n,(n)x(n) =

C

,





=
=
1 nếu
0 nếu
nnvnA
n
nSv
)1()1(
0
))((

ta gọi S là toán tử dịch chuyển của C

. Chú ý rằng điều kiện (3) đảm bảo cho Sv
C

và S L[C

] (không gian các toán tử tuyến tính bị chặn của C

). Ta ký hiệu
chuẩn của S là


. (9)
Dễ thấy
0);(),())(( = knknvknnXnvS
k
nên
P.N. Bội, H. V. Thành Về sự -ổn định của không gian banach, Tr. 5-12
8
k)k)v(n(nk)n(n,vS
n
k
=


sup
)()(sup),(sup knvknknn
nn



n
v.k)n(n, sup
.
Vậy

k)(nk)v(nk)n(n,
x
x

=

1
sup

)(),()(sup
1
knvknnXn
x
x
=
=
= )()(sup
1
nvSn

x
k
x =
=

=
x
k
x
vS



.
Điều này suy ra từ công thức (9) và công thức bán kính phổ
k
k
k
SSr
1
lim)(



=
.
2.4. Định lý. Phơng trình (1)

-ổn định mũ khi và chỉ khi bán kính phổ của
S thoả mãn 1)( <Sr

.
Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh đẳng thức
{
}
xmqNxmnXnNqSr
mn
qq
x
mn
)(),()(,00inf)(

Vậy


vqNvS
k
q
k
cho nên
k
q
k
qNS

. Suy ra
qSSr
k
k
k
=



1
lim)(
.
Vậy (12) đợc chứng minh.
Ta còn phải chứng minh
RSr

)( . (13)
9




=

=
1nếu
1nếu
nx
n
nu
x
0
)( .
Dễ thấy
==


)(),()(sup
0
0
0
nuknnXnuS
x
n
x

Giả sử phơng trình (1)

-ổn định mũ. Khi đó tồn tại các số K và q : K > 0, 0 <
q< 1 sao cho nếu {x(n), nN} là nghiệm bất kỳ của phơng trình (1) thì
(m)x(m)Kq(n)x(n)
mn

với mọi n

m

0. (16)
Với phần tử v bất kỳ của B, ký hiệu x(n) là nghiệm của (1) sao cho x(0) = v. Từ
(16) ta có
)v(Kq)v(n)X(n,
n
00
. Từ (11) ta suy ra 1)(
<Sr

.
Ngợc lại, nếu 1)(
<Sr

thì từ (11) ta suy ra tồn tại các số 0 < q< 1, N
q
sao
cho
(m)vqNm)v(n)X(n,
mn


có nghiệm x(n) thuộc C,

ta nói rằng phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron.
Sau đây là kết quả về mối liên hệ giữa tính

-ổn định mũ và điều kiện
Perron.
2.6. Định lý. Phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron khi và chỉ khi
phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Chứng minh. Ký hiệu
C
~
là tập hợp con của C gồm tất cả các dãy {x(n),
n

0|x(0) = 0}. Dễ thấy rằng tập hợp
C
~
với chuẩn

.
nói trên là một không gian
Banach, ta ký hiệu không gian này là

C
~
. Ký hiệu

~
(
S
.
ý nghĩa hình học của Bổ đề này là: giải thức của
S
~
là một hình tròn xoay tâm
là gốc toạ độ.
Chứng minh. Để chứng minh Bổ đề 2.7 ta chỉ cần chứng minh rằng phổ
)
~
(
S
bất biến với mọi phép quay quanh gốc toạ độ:
)
~
(
S
= e
i

)
~
(
S
, (17)
với mọi .
Trớc hết ta chứng minh cho


~

T
v)(n) =
e
i

n
(
S
~

T
v)(n) =
e
i

n
A(n-1)(

T
v)(n-1)
= e
i

n
A(n-1)e
-i

(n-1)



T
=

T
nên )
~
(
S
=
)
~
(

TST
= )
~
(
Se
i

= )
~
(
Se
i


.

~
(
Se
i


)
~
(
S
. Thật vậy giả sử z
0
là số phức tuỳ ý thuộc )
~
(
S
thì dãy
{z(n)

=
n
i
e

z
0
} )
~
(
Se


i
e
z
0
)
~
(
Se
i


. Vậy )
~
(
S
)
~
(
Se
i


hay )
~
(
Se
i



< |

|.
ý nghĩa hình học của Bổ đề này là: giải thức của
S
~
và phổ của
S
~
nằm ở hai
phần phân biệt của mặt phẳng

. Phổ của
S
~
chiếm phần trong và giải thức của
S
~
chiếm phần ngoài.
Chứng minh. Theo Bổ đề 9, toàn bộ đờng tròn z =

không nằm trong phổ
)
~
(
S
. Ký hiệu )
~
,(
SsR


11
là một phép chiếu trong

C
~
(P
2
=P). Hơn nữa P giao hoán với
S
~

(P
S
~
=
S
~
P) và
(P
S
~
P) = (
S
~
) { z | |z| < |

|}
((I-P)
S

.
1
ta thu đợc ImU
ImU
n
. Mặt khác, hiển nhiên ImU
n
ImU vì vậy ImU = ImU
n
, với mọi số tự nhiên n.
Để ý rằng I-P giao hoán đợc với
S
~
và (I-P)
n
= (I-P) với mọi số tự nhiên n nên
ta có U
n
= (I-P)
n
S
~
(I-P). (20)
Từ công thức (19) và (20) ta nhận đợc ImU =


=

1
)(

~
nh sau






=
=
1),1()(
~
0)0(
~
nnfnf
f
.
Dễ thấy phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron khi và chỉ khi với mỗi
một
f
~

C
~
tồn tại
x
~

C
~

(Sr

< 1 khi và chỉ khi phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Vậy phơng trình (2) thoả mãn điều kiện Perron tơng đơng với 1
)
~
(S
và
tơng đơng với phơng trình (1)

-ổn định mũ.
Chú ý: Điều kiện Perron cổ điển đợc chứng minh bởi Ta Li (xem [10]) là
trờng hợp riêng của Định lý 2.6 khi các dãy {

(n), n

0} và {


-1
(n), n

0} bị chặn
(nói riêng khi {

(n), n

0} là dãy toán tử đồng nhất).

223-233.
[7] Pham Ngoc Boi, On the

- dichotomy for homogeneous linear differential
equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2006 (2006), No. 40,
pp. 1-12.
[8] Pham Ngoc Boi, Existence of

-bounded solutions on for nonhomogeneous
linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol.
2007 (2007), No. 52, pp. 1-10.
[9] Y. Han, J. Hong, Existence of

-bounded solutions for linear difference equations,
Applied Mathematics Letters, No. 20, 2007, pp. 301 305.
[10] Xaaa A., Beep.., aecea eop x ce, M,
, 1971.
Summary
on the

-stability of LINEAR difference equations in Banach spaces
In this article we introduce concepts of

-uniformly stable,

-exponential
stable for homogeneouslinear difference equations in Banach spaces and prove some
necessary and sufficient conditions for

-uniformly stable,