PHÁÖN II :

BAÌI TÁÛP DAO ÂÄÜNG VAÌ SOÏNG CÅ
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

bài tập chơng 1 :
Dao động tử điều hòa ghép
hiện tợng lan truyền dao động

@ Bài tập I: Dao động cỡng bức không có lực cản của hệ một bậc tự do:
Xét một dao động tử một bậc tự do nh hình vẽ. Hai lò xo có cùng độ cứng là K. Quả cầu có

2) Bây giờ nhờ một cơ cấu tay quay con trợt, đầu A của quả cầu chịu một dịch chuyển dới
dạng:
0
() costt


= . Hãy xác định dịch chuyển của quả cầu trong chế độ cỡng bức hình sin
ổn định. Vẽ đồ thị của biên dộ dao động cỡng bức
()A

của quả cầu theo tần số góc của lực
kích thích (

gọi là tần số kích thích). ứng với giá trị nào của

, hiện tợng cộng hởng sẽ
xảy ra ?
Hớng dẫn: Phơng trình dao động tự do của hệ:

1
1
()
F
A
M



=

với
00
FK

=
x
()t

A
M
K
()t

K
B
x
A
M
K

K

()t

Lò xo có độ cứng K bằng hằng số. Qủa cầu B có khối
lợng là M. Gọi

là dịch chuyển của cầu so với vị trí cân
bằng. Giả sử quả cầu chịu tác dụng của một lực cản nhớt:

52
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
c
Fh

=

, trong đó h là hệ số cản nhớt của môi trờng (h = hằng số). Gọi
1
M
Q
h

=
với
2
1
.
K
M


khi xảy ra cộng hởng.
Hớng dẫn: Phơng trình dao động tự do của hệ:
2
1
1
()
.
Ft
QM


++=

với
() ()Ft K t

=
.
Biên độ dao động:
()
0
2
2
22
1
1
1
()
F

và khối lợng m) có thể dao động trong
nớc của một bình chứa có tiết diện S.
Gọi là khối lợng riêng của nớc. Vị
trí của các phao đợc xác định bằng các
dịch chuyển x
1
và x
2
của chúng theo
phơng thẳng đứng so với vị trí cân bằng.
1) Tìm hệ phơng trình vi phân mô tả
chuyển động của hai phao (thừa nhận
rằng mặt thoáng của nớc nằm ngang và
có thể áp dụng định lý Archimède).
2) Giải hệ phơng trình trên, giả sử rằng
tại thời điểm ban đầu, hai phao đều nằm
ở vị trí cân bằng, với vận tốc ban đầu là
2v
0
đối với phao thứ nhất và v
0
đối với phao thứ hai.
Tiết diện S
Tiết diện S
Tiết diện s
Hình bài 1
Bài giải : Câu 1 :
ắ Khi phao dịch chuyển theo phơng thẳng đứng mực nớc trong bình bị thay đổi.
Gọi x là dịch chuyển của mặt thoáng chất lỏng so với vị trí lúc các phao cân bằng; x
1
10,1
20,2
()
()
chim
chim
mx mg V x x s g
mx mg V x x s g




= +



= +






mg
Với : V
0, chim
: thể tích phần chìm trong nớc của mỗi phao lúc phao cân bằng :
Vg

x
Ss
+
=


Từ (1) suy ra :
()
12
11 1 11
()
2
22
xxs sg
mx x s g x S sx sx sx
Ss Ss


+

= + = + +




2[]
112

sgS s
mS s



=

;
()
2
2
12
2
sg
mS s


=

(Chú ý rằng :
12


>
)
Suy ra :
22
11122
x
x

x

ắ Tóm lại, hệ phơng trình vi phân mô tả chuyển động của hai phao :

22
1112
22
2211
2
2
x
xx
x
xx



=


=




(3)
Câu 2 :
ắ Cộng vế theo vế của hệ phơng trình (3) :
22 22
1 2 11 12 22 21

x
xxx+= +

2
2
với
22
11



=+

Tơng tự, trừ vế theo vế của hệ phơng trình (3) :

22
12 1 212
()()
x
xxx

=

2
12 212
()
x
xxx=

2


12 1
12 2
sin
sin
x
xA t
x
xB

t
+
=



=



11
21
sin sin
22
sin sin
22
AB
2
2
x

01 2
2v
22
A
B
= +
(4)
Ta có :
21 1 2 2
cos cos
22
AB
x
tt=

. Tại t = 0,
2
vx
0
=


01 2
v
22
A
B
=
(5)
Từ (4) và (5), suy ra :

x
tt


=+







=







@ Bài 2 (Trang 28): Triệt tiêu dao động:
Xét dao động tử nh trên hình vẽ (hình a). Dịch chuyển của đầu A của lò xo có dạng hình sin:

(giả sử ).
0
() sinyt y t=
2

Hình bài 2
x
()yt
A
1
m
1
K
1
()
x
t
2
K
2
m
2
()
x
t Bài giải : Câu 1 :
Phơng trình chuyển động của khối lợng m

t
+
=

(1)
Nghiệm riêng x
1
(t) của phơng trình (1) biểu diễn dao động cỡng bức của khối lợng m
1
có
dạng :
1
() ( )sin
x
tA= t

1
cos
x
At=


22
11
sin
x
At x
=
=


=


Biên độ dao động cỡng bức :
2
10
2
1
()
y
A


=
2


. Cộng hởng xảy ra khi :
1

= , khi đó |A|

Câu 2 :
Phơng trình chuyển động của hệ hai dao động tử liên kết m
1
, m
2
:
11 1 1 2 2 1
22 2 2 1

của phơng trình (2) biểu diễn chế độ cỡng bức ổn định của khối lợng m
2

có dạng :
11
20
22
22
sin
sin
KK
x
yy
KK
xA t

= =



=

t
với :
2
2
2
K
m
=

55
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
@ Bài 8 (Trang 30): Phơng trình truyền sóng Klein-Gordon:
của sóng dọc theo
Ký hiệu:
Hình bài 8 :
Oz:
Khảo sát sự lan truyền
một chuỗi các con lắc đơn giống nhau, khối
lợng M, chiều dài L, liên kết với nhau bằng
các lò xo có độ cứng K, nh trên hình vẽ.

0
K

0
g
M

=
và:
L
=

1) Viết phơng trình lan truyền liên hệ các
dịch chuyển bé
.
nn
L


i
M
F=

dt
G
với
Oz n
L
J

=

; J = ML
2

()
(
)
2
11
cos sin cos
nnn n nnnn
ML K L MgL K L


+
= +



0
K
M

= và
0
g
L
=

Phơng trình lan truyền sóng dọc(1) trong chuỗi con lắc trở thành :
()
22
001 1
2
nnnnn

+
= + +

(2)
Trong đó :
là tần số riêng của
Nghiệm hình sin của phơng trình truyền sóng :
ình bày trong phần lý thuyết.
m
0
dao động tự do của con lắc đơn.

ắ

Ae

=()
it
tAie
nn


=


()
2
2it
e

nn n
Ai


==


y vào phơng trình lan truyền (2) : Tha
(
222
00

56
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
n
O
()
+
M
11
()
nnn
FK


++
=

n

M
g
G
n

11

r=
, suy ra :
1
1
n
n
A
r


=
và
1
1
n
n
A
r
+
+
=

Hệ thức (3) trở thành :
2 2 1
2
n n
rrr

+
=

=
(
)
(
)
22222222
00 0 00 0
2222


+

22 22
00 0
4

=
Nếu > 0 (hay )
=

()()
2


01
(,


trong đó
22

01

< < Các tần số góc của các dao động tự do sẽ
nằm trong miền

01

< < tức là
22
4
000


<< +
. Đây chính là dải tần cho phép của
của các dao do của chuỗi con lắccác tần số góc động tự liên kết.
Ta có :
22 22
000
4

< < +

22 2
00
04


<<
. Do đó, có thể đặt :

21 2sin 1 0
2
rr



+=





(5)
Hai nghiệm của phơng
1
.r
2
= 1.

2
2cos 1 0rr+=
trình (5) là r
1
và r
2
, là hai số phức liên hợp và tích của chúng: r
Ta có :
222
cos 1 sin ( )i




=

Do đó, cá só hình sin lan t yền dọc theo chuỗi các con lắc liên kết có dạng (dới dạng tổ

c ng ru
hợp tuyến tính của các nghiệm
()
inka i t
n
tee



=
):

57
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
()
inka i t inka i t
n
tAee Aee




+
=+

Từ phơng trình truyền sóng, ta suy đợc hệ thức:
22 22
00
4sin
2



=


với
(0, )


và
k
a

=22
0
4sin
2
ka


=

()
n
t


:
[
]
() exp ( )
nn
tiA itkx

=

;
[
]
2
() exp ( )
nn
tAitkx

=


Thay vào (2), đồng thời lu ý rằng
.
n
x
na
[
]
222
00
cos() sin()2cos() sin()ka i ka ka i ka

=+ + + [
]
22 2
00
2cos()1ka

=

22 22
00
4.sin
2
ka


=





22
00
4

0

<< +

Các tần số góc của các dao động tự do sẽ nằm trong miền :
22
00
4

0

<< +

Câu 2 :
Đồ thị của
(k)

nh hình vẽ, chỉ cần đợc vẽ trong vùng :
k
aa



222
00
4

=+=
2
1
1

=

Đạo hàm theo k :
2
0
cos
2
4sin
2
ka
ka
d
ka
dk




=

+


), chúng ta có thể dùng tập hợp gián
đoạn các giá trị của ()
n
t

để biểu diễn hàm
(,)
x
t

, nghĩa là : () ( ,)
n
txnat


= ;
1
() [ ( 1) ,]
n
txnat


+
=+
1
() [ ( 1) ,]
n
txnat;


() ( ,)
n
xn at
txt

+
=+
=
, và lấy x
0
= na và x = (n+1)a thì
0
(1)xx n anaa

=+ =
, suy ra :
22
100
2
(1),
() ( ,) ( ) ( ) ( )
1! 2!
n
xn at
aa
txt x x x
xx


+



)

Tơng tự, ta có :
22
1
2
(1),
(,
( ) .
2!
n
xn at
xnat
a
ta
xx



=
=


==+



)



=
=
==




= + + + + + +





2
2
x



22
222
00
22
a
tx

<< =
(với sóng
đơn sắc)

2ka

<<

2
ka

<
<
và là khá nhỏ
2
2
sin

22
ka ka




Hệ thức tán xạ
2
22
0
4
2



=@ Bài 4 (Trang 28): Cái thang cho vẹt :

Một cái thang cho vẹt treo trên trần nhà gồm những thanh nh
nhau, có momen quán tính J đối với trục quay thẳng đứng (Ox)
của chúng. Các thanh đợc buộc từng đôi một với nhau bằng
những sợi dây xoắn có độ dài a, độ cứng (xoắn) C.
Gọi
n
là góc quay của thanh thứ n so với vị trí cân bằng của
nó.
1) Hãy viết phơng trình lan truyền của một sóng dọc theo cái
thang cho vẹt.
2) Trong phép gần đúng của môi trờng liên tục, phơng trình
nói trên trở thành phơng trình nào?

59
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
3) Những đại lợng tơng tự nh những hằng số
0
(tần số góc của dao động của thanh) và c
(vận tốc lan truyền) là những đại lợng nào ?

Bài giải : Câu 1 :

áp dụng định lý momen động lợng đối với trục (Ox) cho

+
Với :
Ox n
L
J

=

và
11
()
e
Ox i n n
i
M
FMM

+
=+

G
;
1n
M

: momen
xoắn từ con lắc thứ n -1 tác dụng lên con lắc thứ n :
;
()
1n1nn
()
11
2
nnnn
JC

+
=+


Đây chính là phơng trình lan truyền dao động xoắn trong
chuỗi các thanh liên kết từng đôi một.
Câu 2 :

Trong phép gần đúng cho môi trờng liên tục (a <<

), chúng
ta có thể dùng tập hợp gián đoạn các giá trị của ()
n
t

để biểu
diễn hàm
(,)
x
t

, nghĩa là : () ( ,)

00
00
2
() ()
( , ) ( ) ( ) ( )
1! 2!
xx xx
xt x x x
xx



=+ + +

0

Do
1
(1),
() ( ,)
n
xn at
txt

+
=+
=
, và lấy x
0
= na và x = (n+1)a thì

(1),
(,
( ) .
2!
n
xn at
xnat
a
ta
xx


+
=+
=


==+++



)

Tơng tự, ta có :
22
1
2
(1),
(,
( ) .

=+

1+

22
22
Ca
tJx
2



=

hay
22
222
1
.
xct




0
=
(1)
Với :
2
Ca

Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng
@ Bài 5 (Trang 28): Ma sát trong chuyển động tự do của hai dao động tử liên kết:
Chúng ta quan tâm đến ảnh hởng của ma sát nhớt yếu lên chuyển động tự do của hai dao
động tử liên kết, có khối lợng M nh trên hình vẽ. Lò xo giữa có độ cứng K, và hai lò xo kia
có độ cứng 4K. Ký hiệu: f
1
= - .v
i
là các lực do ma sát nhớt tác dụng lên vật thứ i ( bằng
hằng số, dơng và v
i
là vận tốc của vật thứ i).
Đặt:
2
K
M

=
và
0
M
Q


=
với Q > 1.
1) Thiết lập các phơng trình dao động tự do của hai vật.
2) Lúc đầu, hệ đợc kích thích ở trạng thái
10


2
(t) cho trờng hợp:
0
1mm

= ;
1
0
1.rad s


=
; Q = 10.

x
4
K
K
4
KBài giải :

Câu 1 : Phơng trình dao động tự do của hai vật :

Phơng trình vi phân của dao động tự do của hai vật :
11121
22221
4()



= +
(1)
Câu 2 : Biểu thức của các dịch chuyển
1
(t) và
2
(t) của hai vật.:
Đặt :
12
12
v
u




=+


=


1
2
v



v
2
u+
Mu M Ku K Ku K uv5 5v+-v v


+=


(
)( )
v4v+6v
M
uM u Ku K

+=+

40
v+ v+6 v 0
Mu u Ku
MK

(Q > 1), suy ra :
2
0
0
2
0
0
40(
v+ v+6 v 0 (3)
uu u
Q
Q





++ =




=

2)

0
00
2
1
16 4 4 0
4
QQ



= do Q > 1. = <


Suy ra :
0
1,2 1
2
rj
Q


= với :
10
2
1
4
4
Q

=

.
Thế mà :
(0)ut A==

0
A

=
+ Tại t = 0 thì
12
0
dd
dt dt


==

12
0
du d d
dt dt dt


=
+=

Thế mà :
()()
00
22


=
= +

0
1
0
2
AB
Q


+=
0
1
2
A
B
Q


=

00
1
2
B
Q



0
0
60rr
Q


++=
2
22
0
00
2
1
24 4 6 0
4QQ




==


< do Q
> 1.
Suy ra :
0
1,2 2
2
rj
Q

+ Tại t = 0 thì
102
;0


== v =
1
-
2
=
0

Tơng tự nh trên :
0
C

=

+ Tại t = 0 thì
12
0
dd
dt dt


==

12
0
du d d


0
2
0
v
2
t
d
CD
dt Q


=
= +

0
2
0
2
CD
Q


+=
0
2
2
C
D
Q






=+



Tóm lại :
0
2
00
12
112
12
sin sin
() cos cos
22
t
Q
tt
ttt
Q
e











=+





Câu 3 :

Đồ thị biểu diển
1
(t) và
2
(t) ứng với
0
= 1mm,
0
= 1rad/s, Q = 10 cho trên hình vẽ.
Biên độ suy giảm dới dạng hàm mũ. Cơ năng của các hệ dao động tử giảm xuống và cơ năng
biến thành nhiệt năng. 62
Baỡi tỏỷp Cồ hoỹc õaỷi cổồng (Meù canique Geùneùrale) PFIEV aỡ nụng

=
(Q đợc gọi là hệ số phẩm chất);
i
.v
i
f

=
là lực ma sát nhớt
tác dụng lên vật thứ i, trong đó:
là vận tốc của vật thứ i.
i
v

x
4
K
K
4
K
1) Thiết lập phơng trình chuyển động của hệ.
2) Biểu diễn dới dạng phức các biên độ
10

,
20

MK K
MKK
1



= +


=
(1)
1121
2 212
54
5
KK K
MMMM
KK
MMM






= +


0
10102 1
22
0
20201 2
54
5
Q
Q

2
0





= +




= +


22
0

Nghiệm riêng của phơng trình (2) biểu diễn dao động cỡng bức có dạng :

110
220
() cos( )
() cos( )
tt
tt
1
1




=+


=+


Biểu diển dới dạng phức :
0
()
it
te


=
;
110




=

Trong đó :
10

và
20

là biên độ phức của dịch chuyển của hai vật.
Ta có :
110
it
ie



=

;
22
110 10
()
it it
ie e





của hai vật :
222
0
010 020 00
22 2
0
10 0 20
54
50
i
Q
i
Q

2










+ + =




1
24 10 10 2
i
Q
i
i
QQQ
i
i
QQQ



4
4
4
4
0













;




của các biên độ
dao động theo
0
X


=
ứng với Q =1, Q =2 và Q =10 (Hình vẽ). Chúng ta nhận thấy rằng :
Khi Q lớn (Q =10) hay ma sát nhớt rất nhỏ tồn tại 2 biên độ cộng hởng khá lớn ứng
với X = 2 và X = 2,45. Khi Q thì 2 biên độ cộng hởng nói trên ứng với
1
= 2
0
và
20
6


=
.
Xung quanh vùng cộng hởng, sự mất mát năng lợng do ma sát nhớt sẽ lớn, do đó các vùng
cộng hởng là vùng hấp thụ năng lợng.
Khi Q nhỏ hơn hay ma sát nhớt tơng đối lớn cũng nhận thấy 2 biên độ cộng hởng
nhng tơng đối nhỏ và sự phân biệt hai biên độ này không rõ nét.
Khi Q khá bé không có cộng hởng xảy ra.