Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên htt p :// w w

w. l rc

-tnu. e d

u. v

n
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN DUY PHAN
ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH CHẤT
(D N D Z
)
VÀ
(WD

Z)
TRONG LỚP
CÁC KHÔNG GIAN FRECHET
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN
HỌC
THÁI NGUYÊN –
2007
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYẾN DUY PHAN
ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC TÍNH
CHẤT
(D

V
Ă
Ă
N
N
T
T
H
H
Ạ
Ạ
C
C
S
S
Ỹ
Ỹ
T
T
O
O
Á
Á
N
N
H
H
Ọ
Ọ
C

)
và định lý chẻ tame.
12
1.3.2. Đặc trưng của tính chất (WDZ
)
.
15
Chương 2. Đặc trưng của các tính chất (D N D Z
)
trong lớp các không gian frechet
và (W D

Z )
25
2.1. Các tính chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)
.
25
2.2. Đặc trưng của các tính chất (D N

D Z ) .
27
2.3. Đặc trưng của các tính chất (WD


1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, các bất biến tôpô tuyến tính của các không gian Frechet có
vai trò rất quan trọng trong lý thuyết các không gian Frechet, nói riêng, trong
các định lý phân rã. Các bất biến tôpô tuyến tính
(DN
)
và
(W)
đã được
D.Vog giới thiệu và nghiên cứu sâu sắc. Vog đã sử dụng các bất biến tôpô
tuyến tính đó để chứng minh định lý phân rã đối với các không gian Frechet
trong trường hợp không gian hạch và trường hợp không gian Frechet -
Hilbert. Đồng thời đã cho đặc trưng đầy đủ của các bất biến tôpô tuyến tính
(DN
)
và (W) .
Từ năm 1990 M.Poppenberg đã giới thiệu và nghiên cứu các tính chất
(DNDZ
)
và (WDZ
)
trong lớp các không gian Frechet phân bậc. Ông đã giới
thiệu khái niệm ánh xạ tuyến tính tame giữa các không gian Frechet phân bậc
và thiết lập định lý phân rã trong phạm trù các không gian Frechet phân bậc
và các ánh xạ tuyến tính tame. Tiếp theo, trong trường hợp không gian hạch,
Poppenberg đã cho đặc trưng đầy đủ của các tính chất (DNDZ
)
và (WDZ
)
.

trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của
các tính chất
(DNDZ
)
và
(WDZ
)

.
- Chứng minh chi tiết một số kết quả về các tính chất
(DN
DZ
)
và
(WD

Z
)
trong lớp các không gian Frechet phân bậc cùng đặc trưng của các tính
chất
(DN
DZ
)
và
(WD

Z )
.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra chúng tôi đã tiến hành:

trong lớp các không gian Frechet phân bậc
cùng đặc trưng của các tính chất
(DN
DZ
)
và (WD

Z
)
. Phần cuối cùng của
chương này dành cho việc trình bày các kết quả về tính ổn định của các tính
chất
(D N
D

Z)
và (W D

Z
)
đối với không gian đối ngẫu thứ hai.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
Bản luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những
kinh nghiệm trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo

(WDZ
)
là cơ sở để trình bày đặc trưng của các tính
chất (DNDZ ) , (WDZ
)
.
1.1. Một số khái niệm cơ bản.
1.1.1. Định nghĩa. Một dãy khớp các không gian lồi địa phương và ánh xạ
tuyến tính liên tục là một dãy hữu hạn hay vô hạn
×××®
E ¾
¾
f
® F ¾ ¾
g
® G ®
×××
sao cho ảnh của ánh xạ tuyến tính vào bằng hạt nhân của ánh xạ tuyến tính ra.
1.1.2. Định nghĩa. Một dãy các không gian lồi địa phương và ánh xạ tuyến
tính liên tục có dạng
0 ®
E
¾
¾
f
® F ¾ ¾
g
® G ®
0
được gọi là dãy khớp ngắn nếu


)
f có ngược trái.
g
có ngược phải.
Khi đó
F
=
E
Å

G
(
Å
là tổng trực tiếp tô pô của E và G ).
Bây giờ xét phạm trù tame với các vật là các không gian Frechet phân
bậc
E

,
F , ( trên K = ¡ hoặc £ ), tức là các không gian Frechet được trang
bị dãy các nửa chuẩn cố định
.
0
£
.
1
£
.
2

x Î E
.
1.1.5. Định nghĩa. Ánh xạ tuyến tính
A : E ®
F
được gọi là đẳng cấu
tame nếu A là song ánh và A,
A

- 1
đều là tame.
Hai bậc trên
E
được gọi là tương đương tame nếu phép đồng nhất là đẳng
cấu tame.
1.1.6. Định nghĩa. Dãy khớp ngắn các không gian Frechet phân bậc
0 ®
E
¾
¾
i
® F ¾ ¾
q
® G ®
0
được gọi là khớp tame nếu các ánh xạ chính tắc
i : E ® iE
và
q
%

x
n
£
1
}
Î
¡
È
{
+
¥
}
,
U
n
=
{
x

Î
E : x
n
£
1
}
,
U
0
=
{

p

(a
)
=
{
x
=
(x
j
)

j = 1
Î
K

¥
:
x
n
< +
¥
, " n
}
,
(a
)
e
æ
å

j
j =
1,2, ,¥
ø
a

j

,n
nếu p = ¥ ,
trong đó a
=
¥
j
,n j = 1,n =
0
là ma trận thoả mãn 0
£
a

j
,n
£ a

j
,n +
1
với mọi
j
,

n
a
j
p p p
en
a

j
,n
=
e
. Đối với e
>
0
bất kỳ,
s
e
=
L

¥
(e log
j
) =
l
(a)
với
a

j

w = K
¥
(tương ứng
(s

p
)
¥
) các bậc
n
x
n
=
å
x
i
(tương ứng (x ,
x
n
, ) =
n
x , x
n
Î s
e
).
0 1 i i
p
i
=

)

(
x
)
.
i
= 0,n x Î
[
a,b
]
Nếu
H
là không gian Frechet và || . ||
1
≤ || . ||
2
≤ ≤ || .||
n
≤ là hệ
tăng các nửa chuẩn liên tục trong
H
,
H

k
là không gian Banach kết hợp
với nửa chuẩn .
k
;

bằng cách bổ sung (E /
ke
r
.
n
)
đối với .
n
.
Ký hiệu
s
không gian các dãy giảm nhanh với hệ các nửa chuẩn
tương đương:
k
k
:
}
x = sup
x

j
j j Î ¥
với mọi x
=
(x
1
,
x
2
,

= sup
x

j
j

k
< + ¥
}
.
1.1.8. Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc.
i
)
Cho e
>
0 bất kỳ,
E
được gọi là
(e) -
hạch tame nếu
E
đẳng cấu tame
với không gian con của (s
2

)
¥
.


k
)
£
c (n + 1)
- e(m -
q)
với mọi m
³ q,
k
³
0 và n ³ 0 ,
ở đó
a
n
(k,
k
+
m
)
=
a
n
(E

k + m
® E

k
)

Ð
E
,dimF £
n

}
là số Kolmogorov thứ
n
, mà trong đó với bất kỳ không gian con F
Ð
E
d(A, B,
F
)
=
inf
{
d
>
0 : A
Ð
dB + F
}
1.2. Đặc
trƣng
của tính chất (D N D Z ) .
1.2.1. Tính chất (D N D Z
)
và Định lý chẻ tame.
Trong [11], [15] D.Vog đã chứng minh rằng không gian Frechet hạch

£
n i
n +
k
từ đó bằng cách lấy minimum theo r với mọi
r
>
0 ta nhận được
¥
¥
F
k
*
e
.
£
r

i
.
+
1
.
,
n
n -
i
n +
k
r

b, p ³
0
và các hằng số
c
n
>
0,c
n ,k
>
0 sao cho
æ
n - b
ö æ
¥
C
ö
U
0
Ð
c
ç
r

i
+ p
U
0 ÷
+
ç
n ,k

đẳng cấu tame
với không gian con phân bậc của
L

¥
(a
)
thì
E
có tính chất
(DNDZ )
.
1.2.1.3. Mệnh đề. Giả sử 0 ¾ ¾®
L

¥
(a
) ¾
¾
i
® E
%
¾ ¾
q
®
E
¾ ¾®
0
là dãy khớp tame các không gian Frechet phân bậc và
E

Î
E
%
,
qx
=
y

}
,
và
E
có tính chất (DNDZ
)
với
b
= 0

, tức là với n
³ 0,
r >
0
æ
n + p
ö
æ
¥
ö
U
0

ø
Theo định lý Hahn - Banach ta thác triển hàm toạ độ thứ j
¥
j
j
j j
=
f Î
L

¥
(a
)
¢
, f
(x
) =
x
tới hàm F
n
Î
E
%
¢

sao
cho
n -
n
a

j
ẻ
2e U
n + 1
é
E
Â
n n + 1
n
G

j
o
q =
F
j
-
F
j
, v chn
1
Ê
c
k
Ê
c
k +
1
vi
D :=

ẻ
E
Â
sao
j
D
m
2
-
n
e
(

p
+ 1- m )a
j
vi mi
m
Ê
n + p
,
n
n
*
2
-
n
(

p

ù
m
Ơ
ỹ
ù
ù
j j j
j
ù
ồ
j
j
ồ
j
ù
j
Ta cú
:= F
0
+
(g
o
q)
=
F
m + 1
-
ỡ
ợ
ù

m +
p
+
1

ồ
n =
0
2
-
n
e
- m a
j
Ê
(1
+
2D
m +
p
+
1
)e
- m a
j
.
Ta nh ngha ỏnh x
nhn c
j : E
%

p
+ 1
)
x
m +
p
+ 1
.
T ú, j l ngc trỏi tame ca i .
1.2.1.4. H qu. Nu E cú tớnh cht (DNDZ
)
v
L

Ơ
(a
)
l hch thỡ mi
dóy khp tame 0 đ L
Ơ
(a
)
đ
E
%
đ E đ
0
u ch tame.
1.2.1.5. Mệnh đề. Giả sử không gian Frechet phân bậc E là hạch và có tính
chất (DNDZ ) . Khi đó E là hạch tame.

Ð
c
l,k
,m
ç
r B
l
+
B
÷
ö
r
m -
k
- p
m
÷
è ø
Lấy F
Ð
E
¢

là không gian con và d
>
d(B
l
,
B
m

B

m
+
F
với mọi
r > 0
,
Từ đó
è ø
æ ö
÷
d(B , B
;
F ) £
c
ç
r
k
-
l
+ p
d(B ,
B
;
F ) +
1
.
k m
l

. (*)
Nói riêng, với mọi n
³
1, k ³ q
³
p ta nhận được
d(B
k
,
B
k +
nq

;

F
)
nq
+ q
£
c
k
,n
d(B
k -
q
,
B
k +
nq


B

k +
nq

;

F

)
nq- p
.
Từ đó suy ra với mọi n
³
1, k ³ q
³
p ta có
d(B
k
, B
k +
nq

; F )
£
c
k

,n

)
£
c
k
,m
d(B
q
, B
k + m
;F
)
m - p m -
p
£
c
k
,m
d(B
q
,
B
k
;

F
)
d(
B

k


, B
k
; F
)
m -
p
k
-
q
+
p
(***)
Từ (**) và (***) với q
³
p ,
k
³
3p
+
3q, m
³
p với n :=
é
k
ù
ta nhận được
ë
q
û

, B
k
; F
)
Ê c
k

,m
d(B
q

, B
nq

; F )
m - p
k
-
p
-
2q
1 m -
p
ì
ì
Ê
c
k

,m

q

;

F
)
2
q
+ p
.
Ly infimum ca v trỏi theo tt c F
é
E
Â

vi dimF Ê
n
ta nhn c
d
n
(B
k
, B
k + m
)
Ê
c
k

,m

vi
d
n
(B

0
,
B
q
)
Ê
c(n + 1)
- 2
.
t e =
1
p + q
. Khi ú vi k

0 v m

6p +
5q
ta c
a
(
k
,
k +
m

ử
ữ
ữ
Ê c (n + 1)
2
(n + 1)
p
+
q
ứ
ữ
Ê
c
k
,m
(n + 1)
- e(m -
6

p
-
5q
)
.
1.2.2. c
trng
ca tớnh cht (D N D Z ) .
1.2.2.1. B [12 v 18]. Vi mi
e >
0

E
%
của
s
phải chứng minh.
. Áp dụng hệ quả 1.2.1.4 ta có điều
¥
¥
1.2.2.3. Định lý. Với mỗi không gian Frechet hạch phân bậc
E
, các mệnh
đề sau là tương đương:
i
) E
có tính chất
(DNDZ )
.
ii

)
Tồn tại e
>
0 sao cho
E
đẳng cấu tame với không gian con phân bậc
của
s
e
.
iii )

trƣng
của tính chất (WD Z
)
.
1.3.1. Tính chất (WDZ
)
và định lý chẻ tame.
1.3.1.1.Định nghĩa. Cho
E
là không gian Frechet phân bậc . Ta nói rằng
E
có tính chất (WDZ
)
Nếu tồn tại b, p
³
0 và các hằng số c
n
>
0,c
n ,k
>
0 sao
cho với mọi n
³
b +
p
và r >
0
æ
n - b

è
i = p
ø è
k = - p
r
ø
Khi b
=
p = 0
,
E
gọi là có tính chất
(WD

)

.
1.3.1.2. Mệnh đề. Nếu không gian Frechet phân bậc
E
đẳng cấu tame với
không gian thương phân bậc của
L

p
(a
)
thì E có tính chất (WDZ
)
.
1.3.1.3. Mệnh đề. Giả sử

y
£
:
=
n
n
Giả sử
E Í
G
và
H
Í
L

¥
(a
)
là các không gian con phân bậc và
E
có tính chất
(WDZ
)
với
b
=
0

, tức là với mọi
n
³

I
m
÷
ç
I
m ,n m
÷
è
m = 0
ø
è
m = n - p
ø
Ký hiệu .
n
,
.

n
theo thứ tự là bậc của
L
1
(a )
,
L
2
(a )
và .
n
là bậc cảm

x
n
£
c
¢
x
n + d
,
x
Î
L

¥
(a
)
.
Ký hiệu
H

n
là là bao đóng của H trong
l
2
(e
n a
j
)
=
{
x

n
sung của
dãy khớp
E
,G (tương ứng H ) đối với .
G
(tương ứng .
:
) và nhận được
0
i
n
qn
%
0
®
E
n
¾ ¾ ®
G
n
¾ ¾¾® H
n
® .
Ký hiệu
e

j
Î
L