1
___________

ABC
GLA
nhữngphơngphápchứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh


gla
abc
những ph ơng pháp chứng minh

LI NểI U Nhng nm gn õy Bt ng thc (BT) ging nh mt n hong - mang trong mỡnh
nhiu v p huyn bớ . T nhng kỡ thi H C, HSG Tnh hay n nhng kỡ thi Olympic quc
gia, quc t, BT c trao cho mt v trớ c bit quan trng. Nú xut hin trong bi thi nh th
thỏch s dng mnh ca cỏc chin binhvỡ th nú cú kh nng hụ phong, hoỏn v , nú lm chao
o khụng bit bao nhiờu cỏi u thụng minh nht.
Cng chớnh vỡ v p cha ng nhiu s tim n ú m khụng bit bao nhiờu anh ti lao vo
cuc chinh phc nh cao. Hng lot nhng cỏi tờn luụn c gii tr yờu Toỏn, yờu BT trong
nc nhc n nh : Phm Kim Hựng, Nguyn Anh Cng, Vừ Thnh Nam, Bựi Vit Anh vi s


# Bài 1 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho . Chứng minh bất đẳng thức :
a,b,c 0: a b c 3>++=
222
abc
1b 1c 1a 2
3
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22
AM GM
22
aab ab
aa
1b 1b 2b 2
−
=− ≥ − =−
++
ab
a
. Hoàn toàn tương tự ta có :

()()
222
abc 1
abc abbcca

AM GM
ac bd
ab bc cd da a c b d 4
4
−
⎡++ +⎤
⎣⎦
+++=+ + ≤ =# Bài 3 . ( Sáng tạo BĐT – P.K.H ) Cho .Chứng minh bất đẳng thức a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=
22 2 2
abcd
2
1bc1cd1da 1ab
+
++
++++
≥

BG .
Ta có :
(
)
22
AM GM AM GM
22
b
aac
aabc abcba.a.c

()()
()
()
()
()
22
AM GM
bc ad
abc bcd cda dab bc a d da c b a d c b
44
−
++
+++= ++ + ≤ ++ +
=
=
()()
()
()
(
2
AM GM
bcad abcd
abcd abcd 4
416
−
++ +++
+++ ≤ +++ =
)
. đpcm ⇒


222
222
abc
1
a2b b2c c2a
+
+≥
+++

BG .
Ta có :
22 2
AM GM
3
22
22
3
4
a2ab 2ab2
aaa
a2b a2b 3
3ab
−
=− ≥ − =−
++
a.b
. Lại có :
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
3

222
abc 4 242
abc abbcca 3 1
a2b b2c c2a 9 3 33
++++++
+++
= . pcm .

# Bi 6 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=

222
333
abc
1
a2b b2c c2a
+
+
+++

BG .
Ta cú :
23 3
AM GM
3
2
33
2
3
a2ab 2ab2
aaa

+++

BG . Bi toỏn ny cú cỏch lm tng t Bi 1. chng qua tỏc gi ch cng thờm i lng
222
111
b
1b 1c 1
++
++
+
vo v trỏi ca BT ó CM .
# Bi 8 . ( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
a1 b1 c1 d1
4
1b 1c 1d 1a
++++
+
++
++++

# Bi 9 .
( Sỏng to BT P.K.H ) Cho .Chng minh bt ng thc a,b,c,d 0: a b c d 4>+++=

22 22
1111
2
1b 1c 1d 1a
+
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
4
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh
II. 1 S DNG TIP TUYN TèM LI GII TRONG CHNG MINH BT NG THC
Tụi khụng cú nhiu nhng thụng tin v phng phỏp ny, ch bit phng phỏp ny c vit bi
Kin - Yin Li vi tiờu Using Tangent Lines to Prove Inequalities nm 2005. Sau ú trờn din n toỏn
hc :
www.mathscope.org tỏc gi Nguyn Tt Thu ó vit li lm ti SKKN
Cỏi hay ca phng phỏp ny l s xut phỏt t nhiờn tỡm li gii cho bt ng thc. Ta i vo mt s
VD sau ú s im qua ý gii toỏn ca nú.
# Bi 1. Cho . Chng minh rng : a,b,c R:a b c 6++=
(
)
444 333
abc2abc++ ++

BG .
- Li gii 1. Thc ra bi toỏn vi bi toỏn ny thỡ gó khng l Cauchy Schwarz (BunhiaCopxki) s

AM GM AM GM AM GM
43434
a2a 3a,b2b 3b,c2c 3c

+ + +
Li cú : . Do ú :
AM GM AM GM AM GM
333
a 2 3a, b 2 3b, c 2 3c

+ + +
()
(
)
(
)
444 333
a b c 2abc 2a b c 3abc 6+++ ++ ++ + ++


pcm
-
Li gii 3. Nhng tỏc gi mun dựng bi toỏn n gin ny nhc n mt cỏch chng minh khỏc :
Ta cú :
()()
(
)
2
43 2 43
a2 . Tng t ta cú : a 8a16 a2a2a40a2a8a16= +

(
)
fx ax b, x ;+
. ng thc xy ra khi x = x
0
. T õy ta cú
hoc
() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==
+


() ( )
nn
iii
i1 i1
f x a x nb, x ;
==

+
Phng trỡnh tip tuyn ti A(x
0
; y

Ta cú :
()
()
2
222
Schwarz AM GM
3
abc
abc 1
VT
a abc b bca c cab a b c 3abc 10
abc
1
9

++
=++ =
+++ +++
++
+
9

_ Li gii bng phng phỏp tip tuyn :
gii c bng phng phỏp tip tuyn, nht thit phi chuyn
BT ó cho v 1 BT cha cỏc biu thc di dng 1bin s.
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
5
___________



. Xột hm s
2
4x
f(x)
x2x5
=
+
, o hm :
f'(x)=
()
2
2
2
4x 20
x2x5
+
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
( im ri ) l :
99x 3
y
100

=
.


BG.
Chun húa : Bt ng thc ó cho thun nht nờn ta ch cn chng minh BT ỳng vi mi s thc
dng tha món : a + b + c =1. Khi ú BT ó cho tr thnh :
41 41 41
9
1a a 1b b 1c c

+ +




(
)
(
)
(
)
fa fb fc 9

++

Xột hm s
()
2
5x 1
fx
xx





. T ú ta gii quyt
bi toỏn !
# Bi 4 ( V Toỏn Ba Lan 1996 ). Cho
3
a,b,c
4

tha món : a+ b+ c =1. Chng minh bt ng thc
222
abc
a1b1c110
++
9
+
++

BG .
Xột hm s :
2
x
f(x)
x1
=
+
. Phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=

()
222
22 2
22
bca cab abc
3
5
bc a ca b ab c
+ + +
2
+
+
++ ++ ++

BG . Chun húa : a + b + c = 1. BT ó cho tng ng vi BT :
() () ()
222
222
12a 12a 12a
3
2a 2a 1 2a 2a 1 2a 2a 1 5

+
+
+ + +

Xột hm s :
2
2
4x 4x 1


+
+
=
()()
()
()
2
2
23x 1 6x 1
0, x 0;1
25 2x 2x 1
+

+
.
Bi toỏn ó tỡm ra hng gii quyt !
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
6
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________
ng s hói khi phi i u vi mt i th mnh hn, m hóy vui mng vỡ bn ó cú c hi chin u ht mỡnh

# Bi 6 ( USA MO 2003 ). Chng minh rng vi mi a, b, c khụng õm ta cú bt ng thc :
()

+++
+
+
+ + +

Xột hm s :
()
2
2
x2x1
fx
3x 2x 1
++
=
+
, phng trỡnh tip tuyn ti im cú honh x
0
=
1
3
l :
12x 4
y
3
+
=
Lỳc ú : f(x)
12x 4
3
+


I v k l mt hng s khụng ph thuc vo a,b,c,t
m ch ph thuc vo bn thõn hm f.
# Bi 7 ( RUSSIA MO 2002 ). Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0: a b c 3>++=
abcabbcca
+
+ ++
BG .
Ta cú : 9 = (a+b+c)
2
= a
2
+b
2
+c
2
+2(ab+bc+ca) . Do ú BT cn CM tng ng vi BT :
222
abc2a2b2c+++ + + 9
Xột hm s : f(x) = x
2
2x+ , tip tuyn ca hm s ti im cú honh x
0
= 1 l : y = 3x .
Khi ú f(x) 3x = x
2
3x 2x+
(
)
(

abc1
abc
33
+

++ +++



_Li gii 1.
BT
()
13111
abc 10
abc
33
+

++++



.Li cú :
111 9
abcabc
++
++
, ta cn CM :
()
33

l : y
123 223
x
3
3
++
= +

# Bi 9 . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c 0>
()()()
()
222
abc 9
4a b c
bc ca ab
++
+
+
+++

BG . _ Li gii 1. S dng BT Cauchy Schwarz ( BunhiaCopxki )
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
7
___________

ABC
GLA
nhữngphơngpháp chứngminh bĐT độc đáo
___________


()()()
222
abc
4
1a 1b 1c
++

9

. Xột hm s :
()
()
2
x
fx
1x
=

, tip tuyn ca th hm s ti im
cú honh x
0
=
1
3
l :
18x 3
y
4


# Bi 11 (
NEWZEALAND MO 1998) . Cho n s thc dng tha món : . Chng minh :
n
i
i1
xn
=
=

nn
i
2
i1 i1
ii
x
1
1x 1x
==

+
+


# Bi 12 (
HONGKONG MO 1998) . Cho cỏc s thc dng x, y, z. Chng minh rng :
(
)
()
()
222

+
++ ++ ++

# Bi 14 .
Cho a . Chng minh bt ng thc : ,b,c,d0:abbccdda1>+++=
3333
abcd1
b
cd cda dab abc 3
+
++
++ ++ ++ ++# Bi 15 . Cho . Chng minh bt ng thc :
222
a,b,c 0:a b c 1>++=
111
1ab 1bc 1ca 2
9
+
+


# Bi 16 (
BT Nesbit ) . Cho a, . Chng minh bt ng thc : b,c 0>
abc3
b
ccaab2
++

3x 1
f(x) 0, x 0;3
443x


=

)
=
.succeed !
# Bi 17 (
CHINA TST 2004 ) . Cho . Chng minh bt ng thc : a,b,c,d 0:abcd 1>
()
2
a,b,c,d
1
1
1a

+


www.MATHVN.com
www.mathvn.com
8
___________
∑
ABC
GLA
nh÷ngph−¬ngph¸p chøngminh b§T ®éc ®¸o

Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
()
()
()
()
()
()
333
333
333
3a b c 3b c a 3c a b
375
11
3a b c 3b c a 3c a b
++ ++ ++
++
++ ++ ++
≤

# Bài 20 (
SERBIA 2005). Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
()
abc3
abc
2
bc ca ab
++≥++
+++

_Lời giải khác :

() ()
SCW AM GM
111 54
6xyz xyz
xyz xyz
−
⎛⎞
++ − ++ ≥ − ++ ≥
⎜⎟
++
⎝⎠
3
=VP(1)
# Bài 21 .Chứng minh bất đẳng thức :
() () ()
222
222
222
2x 2y 2z
1
2x y z 2y z x 2z x y
+
+≤
++ ++ ++

# Bài 22.
Cho a, . Chứng minh bất đẳng thức : b,c 0>
() () ()
333
333

tiếp tuyến :
Xét hàm số : f(x) = 10x
3
– 9x
5
. Phương trình tiếp tuyến tại điểm x
0
=
1
3
là :
75x 16
y
27
−
=

Do đó : f(x)
(
)
(
)
2
32
35
3x 1 27x 18x 21x 16
75x 16 270x 243x 75x 16
27 27 27
−− − ++
−−−+

=
−
⎢
=⇔
⎢
⎢
=
⎢
⎣

Ta có bảng BT :
x

0
1
3
1

g’(x) + 0
−

g(x)
16 8
−

−
−www.MATHVN.com
www.mathvn.com