*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 1

Thân gửi những học trò thương!

Năm học mới đã đến kèm theo đó là sự bận rộn của các bạn trong việc học
chính tại trường và học thêm nâng cao nên đã không còn có thời gian đến
học nhóm nữa. Thầy đã thực sự không còn có thể giúp được các bạn nhiều
trong việc học tập, tuy vậy thầy vẫn muốn theo sát quá trình học tập của
các bạn tại lớp, tại trường. Thời gian vừa qua thầy đã tìm kiếm được một
số vấn đề về khảo sát hàm số. Rất muốn chia sẻ cùng các bạn. Với mỗi
chuyên đề sau này thầy cung cấp là những phương pháp giải không có
trong SGK, SBT, các bài tập đều là những dạng đề thi ĐH các năm về
trước. Thầy nghĩ rằng việc học sát với các dạng đề thi sẽ giúp các bạn có
thể nắm được dạng đề toán thi TN và ĐH. Thầy rất mong ngoài kiến thức
SGK; SBT và kiến thức các thầy cô giáo trên trường dạy, các bạn có thể
tranh thủ làm những dạng bài của thầy để nâng cao thêm tầm kiến thức, và
rất mong các bạn sẽ đón nhận chuyên đề này và những chuyên đề khác
nữa. Mong các bạn góp ý và bổ sung nhưng thiếu sót về mặt kiến thức
cũng như phương pháp giải. Trong quá trình học với từng chuyên đề,
những phần các bạn không hiểu hay thắc mắc có thể liên hệ trực tiếp với
thầy. Nếu còn ngại thì viết tên bài/số trang và chuyển tới Hưng, thầy sẽ cố
gắng hướng dẫn các bạn sớm nhất. Cảm
ơn các bạn rất nhiều.

Chúc các bạn sức khoẻ, thành công!

TRUNG TÂM GIA SƯ ANH TIẾN
http://violet.vn/thandieu2


3
1
x
3
+ mx
2
+ (m + 6)x - (2m + 1) có cực đại và cực tiểu.
Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x
3
+ 3x
2
+ mx + 5 có cực đại và cực tiểu.
Bài 3: Chứng minh rằng

m, hàm số y = 2x
3
- 3(2m + 1)x
2
+ 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt
cực trị tại x
1
; x
2
với x
1
- x
2
không phụ thuộc m.
Bài 4: Tìm m để hàm số y =
3

thoả mãn điều kiện -1 <x
1
< x
2

Bài 6: Chứng minh rằng

m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x
1
; x
2

với m < x
1
< n < x
2
< p.
Bài 7: Cho hàm số y = 2x
3
- 3(m + 2)x
2
+ 6(5m + 1)z - (4m
3
+ 2)
a, Tìm m để hàm số có đúng một điểm cực trị lớn hơn 1.
b, Tìm m để hàm số có 2 điểm cực trị nhỏ hơn 2.
c, Tìm m để hàm số có ít nhất một điểm cực trị

(-1; 1)
d, Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị lớn hơn 9.


*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 3

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số


xfy  ,đồ thị là (C). Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:
Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm




0 0
;
M x y C
 .
 Tính đạo hàm và giá trị


0
'
f x
.

 Giải phương trình:


'
f x k

, tìm nghiệm
0 0
x y

.
 Phương trình tiếp tuyến dạng:


0 0
y k x x y
  
.

Chú ý: Cho đường thẳng
: 0
Ax By C
   
, khi đó:
 Nếu


// :
d d y ax b
   

d y k x x y
  

 Điều kiện tiếp xúc của




à
d v C
là hệ phương trình sau phải có nghiệm:




 
'
A A
f x k x x y
f x k

  




Tổng quát: Cho hai đường cong

.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 4

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN.

A. Hướng dẫn cách giải
1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị
Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
)

(C): y = f(x)
có hệ số góc là f’(x
0
).
Phương trình tiếp tuyến tại M
0
(x
0
;y
0
) của (C) là
y - y
0

;x
2
; …x
i
…x
n
)
Phương trình tiếp tuyến tại x
i
là y = k(x- x
i
) + f(x
i
)
Cách 2: Phương pháp điều kiện nghiệm kép
Xét đường thẳng với hệ số góc k với phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với
(C): y = f(x)  phương trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép. Giải phương trình (*)
với  = o => các giá trị của m => phương trình tiếp tuyến.
Chú ý: Vì điều kiện (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện
f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm
f’(x) = g’(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các hàm số mà phương trình tương
giao kx + m = f(x) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2.

3. Các dạng biểu diễn của hệ số góc.
a, Dạng trực tiếp k =




1
= tg

với






0000
75; 45;30,15

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 5

4. Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước.
Phương pháp tìm tiếp điểm:
Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành
độ x
i

;x
2
; …x
i
…x
n
).
Phương trình tiếp tuyến tại x = x
i
là y = f’(x
i
)(x - x
i
) + f(x
i
).
Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x-a) + b tiếp xúc
với đồ thị (C): y = f(x)  Hệ phương trình
f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f’(x) (x - a) + b. Giải phương trình ta tìm
f’(x) = k được x

(x
0
; x
1
;x
2
; …x
i
…x

= 0 (**) Hệ sinh ra hệ số góc
Giải hoặc biện luận hệ điều kiện (**) suy ra giá trị của k hoặc số lượng của k. Từ đó suy ra
phương trình tiếp tuyến hoặc số lượng các tiếp tuyến đi qua A(a;b).

B: BÀI TẬP

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 6
Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2.

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x
3
- 3x + 5 khi biết
a, Hoành độ của tiếp điểm là x
1
= -1; x
2
= 2 ; x
3
= 3
b, Tung độ của các tiếp điểm là y
1
= 5; y
2
= 3 ; y
3

+ + 3x
2
+ 3x + 5.
a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau.
b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với
đường thẳng y = kx + m.
Bài 5: Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =
3
1
x
3
- x +
3
2
mà tiếp tuyến đó vuông góc với
đường thẳng y =
3
1

x +
3
2
.
Bài 6: Cho đồ thị (C) y = x
3
+ 3x
2
- 9x + 5
Tìm tiếp tuyến với đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất


- 3x
2
+ 2 biết tiếp tuyến đó

y =
3
xBài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x
3
- 3x
2
- 12x - 5
a, Viết phương trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4
b, Viết pt tiếp tuyến

y = 2
3
1


x
c, Viết pt tiếp tuyến tạo với y = 5
2
1


x một góc 45
0

b, Cho (C) y = x
3
- 3x
2
+ 2.
+ Viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm B(
9
23
; -2) đến (C)
+ Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.
+ Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 8

Bài 13: Cho (C) y = x
3
- 12x + 12. Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ được 3
tiếp tuyến đến đồ thị (C) .

Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( 1;
3
2
 ) đến y = x
3
- 3x + 1
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x
3
- x - 6.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x

- 7x
2
+ 10.
+ Viết pt tiếp tuyến đi qua B( 1, - 4) đến đồ thị (C) y = x
4
- 2x
3
- 2x
2
+
4
5

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x
4
- x
3
+ 2x
2
-1
Bài 17: Cho (C): y = 2x
3
+ 3x
2
- 12x - 1. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến
của (C) tại M đi qua gốc toạ độ.
Bài 18: Cho (C): y =
3
1
x

(C)
Bài 21: Cho (C): y = -x
4
+ 2x
2
- 1. Tìm tất cả các điểm thuộc Oy sao cho từ đó có thể kẻ
được 3 tiếp tuyến đến (C)
Bài 22: Cho (C): y = x
3
- 3x
2
+ 2.
a, Qua A(0; 1) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy.
b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói
trên.
Bài 23: Cho (P) y = 2x
2
+ x - 3. Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ
được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 45
0

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 9

Bài 24: Cho (C): y =
x
xx 23
2


c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất
(gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB +
22
IBIA 

2 IBIA. + IBIA.2 = 2(2+
2
)
Dấu = sảy ra  IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.)
Bài 28: Cho (C): y =
1
1


x
x
. CMR mọi tiếp tuyến của (C) tạo với 2 tiệm cận của (C) một tam
giác có diện tích không đổi.
Bài 29: Cho (C): y =
1
23


x
x
. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với trục hoành góc 45
0
.
Bài 30: Cho (C): y =
1

1
x + 1
b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x.
c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 45
0
.
Bài 32: Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C):
y =
1
3


x
x
.
Bài 34: Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y =
3
4
43


x
x

Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y =
2
2


x

Bài 39: Cho (C): y =
2
33
2


x
xx
. Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0.
Bài 40: Cho (C): y =
2
772
2


x
xx
. Viết pt tiếp tuyến của (C) song song với đt y = x + 4.
Bài 41: Cho hàm số
4 2
2
y x x
 

a. khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):
i. Tại điểm có hoành độ
2
x  .
ii. Tại điểm có tung độ y = 3.

2
1
1
x x
y
x
 


có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên.
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0.
d. Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
Bài 44: Cho hàm số
2
3 3
1
x x
y
x
 


có đồ thị (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b. Chứng minh rằng qua điểm M(3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho
hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.

Bài 47: Cho hàm số
2
1
2
x x
y
x
 


. (ĐH KhốiB 2006)
a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận
xiên.
ĐS: b.
2 2 5
y x
   
.
Bài 48: Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x
  
(*) (m là tham số).


4 3 2
1
m
y x x m x x m C
     
. Định m để


m
C
tiếp xúc với trục
hoành.
Bài 51: Cho đồ thị hàm số
 
2
4
:
1
x
C y
x



. Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ
đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C).
Bài 52: Cho đồ thị hàm số




Cho hàm sô’


xfy  ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
 Nghiệm của phương trình


' 0
f x

là hoành độ của điểm cực trị.
 Nếu


 
0
0
' 0
'' 0
f x
f x







thì hàm số đạt cực đại tại



y f x
 có 2 cực trị
'
0
0
y
a 




 


.
 Để hàm số


y f x
 có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
 
.
 Để hàm số



0
. 0
CĐ CT
CĐ CT
y y
y y
 





.
 Để hàm số


y f x
 có cực trị tiếp xúc với trục hoành
. 0
CĐ CT
y y
 
.

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Dạng 1: hàm số
3 2
y ax bx cx d
   
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 13

MỘT SỐ BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng hàm số y =


2 2 4
1 1
x m m x m
x m
   

luôn có có cực trị với mọi m. Tìm
m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
2. Cho hàm số
 
3 2
1
2 1
3
y x mx m x
    
. Định m để:
a. Hàm số luôn có cực trị.
b. Có cực trị trong khoảng


    
. Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
6. Cho hàm số


2
1 1
x m x m
y
x m
   


. Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại,
cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
7. Cho hàm số




3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
      
. Định m để đồ thị hàm số có hai cực
trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
8. Cho hàm số
2 2
2 1 3



(1). (ĐH KhốiA / 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị
cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS:
4 2 6
m    .
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 14

11. Cho hàm số


3 2 2 2
3 3 1 3 1
y x x m x m
      
(1), m là tham số. (ĐH KhoiB/2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
cách đều gốc tọa độ.
ĐS : b
1
2

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:


2
f x ax bx c
  
.

1. Nếu
0
 
thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu
0
 
thì f(x) có nghiệm
2
b
x
a
  và f(x) luôn cùng dấu với a khi
2
b
x
a
  .
3. Nếu
0

   




*
1 2
0 0
x x P
   

1. Cho hàm số




3 2
3 1 3 1 1
y x m x m x
     
. Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng


2;

.
2. Xác định m để hàm số
3 2

2;

.
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng


; 1
 
.
4. Cho hàm số
2
6 2
2
mx x
y
x
 


. Định m để hàm số nghịch biến trên


;1 .

Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng):
   
2 2

y x mx x m C
    
. Định m để


m
C
có cực đại cực tiểu
đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
2. Cho hàm số
 
2 2
:
1
x
C y
x



. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách
đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
3. Cho hàm số
 
2
1
:
1
x x
C y


. Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao
cho đoạn MN nhỏ nhất.
6. Cho hàm số
 
2
2 1
:
1
x x
C y
x
 


.
a. Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ
nhất.
b. Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ
nhất.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 16
7. Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số:
1

F x y mG x y
 . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu
có là nghiệm của hệ phương trình


 
, 0
, 0
F x y
G x y







.

1. Cho hàm số




3 2
3 1 3 2
m
y x m x mx C    
. Chứng minh rằng






4 2
: 1 2 3 1
m
C y m x mx m
    
. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị
trên.
4. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số








3 2
3 3 3 6 1 1
m
y m x m x m x m C       

luôn đi qua ba điểm cố định.


. Do đó ta
phải giữ nguyên phần phía trên
trục Ox và lấy đối xứng phần
phía dưới trục Ox lên trên.


y f x
 có




f x f x
  ,
x D
 
nên đây là hàm số
chẵn do đó có đồ thị đối
xứng qua trục tung Oy.

x
y
(
C
)x
y
(

k
x



.
2. Cho hàm số
 
2
3 3
:
1
x x
C y
x
 


.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
2
3 3
1
x x
m
x
 



x x
C y
x
 


.
a) Khảo sát hàm số.
b) Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:


2
1 2 1 0
x m x m
    
.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 18
5. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
3 2
2 9 12 4
y x x x
   
.
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12
x x x m




 


 
 
0
0 0
' 2
2 2
x x x
f x f x x y
 




  



Vậy


0 0
;
I x y
là tâm đối xứng của (C)

C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
2. Cho hàm số
 
2 2 2
2
:
1
m
x m x m
C y
x
 


.
Định m để


m
C
có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
3. Cho hàm số


3 2
3 1
y x x m  
(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.

3 2
1
y x ax bx c   
. Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng
là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1).
6. Cho hàm số y = x
3
– 3x
2
+ 4 (1) (ĐH Khối D2008)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều
cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn
thẳng AB.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 19
Dạng 8: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN

1. Định nghĩa:
(d) là tiệm cận của (C)
  
0lim 


c. Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=

x+


trong đó:


 
 
xxf
x
xf
xx



lim;lim
.
Các trường hợp đặc biệt:
*Hàm số bậc nhất trên bậc nhất (hàm
nhất biến)
n
mx
bax
y





x


:lim
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y
m
a
y 
m
n
x 
I

* Hàm số bậc hai trên bậc nhất (hàm hữu
tỷ)
 
n
mx
A
x
n
mx
cbxax

:lim
+TCX: 0lim 


n
mx
A
x
 TCX: y=

x+


-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
x
y




xy
m
n
x 
I

M
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 20
2. Cho hàm số
 


2 2
1 1
mx m x m
y f x
x
   
  . Tìm m sao cho đồ thị của hàm số f(x) có tiệm
cận xiên đi qua gốc tọa độ.
3. Cho hàm số
 
2
(2 1). 3
1, 0
2
ax a x a
y a a
x
   
   

có đồ thị (C). Chứng minh rằng đồ thị của
hàm số này có tiệm cận xiên luôn đi qua một điểm cố định.

6. Tìm m để đồ thị hamd số
2
1
1
x
y
x mx


 
có hai tiệm cận đứng là x=x
1
và x=x
2
thỏa mãn
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
 



 


.
*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 21
CHUYÊN ĐỀ CHỨNG MINH ĐỒ THỊ CÓ 3 ĐIỂM UẤN THẲNG HÀNG.
VIẾT PT ĐƯỜNG THẲNG.
Hướng dẫn:
Tìm 3 điểm uấn . f’’(x) = 0 => x = x
0
là hoành độ điểm uấn => y
0
=> U(x
0
; y
0
)
Viết pt đường thẳng đi qua 2 điểm uấn (dựa vào VTCP); thay điểm còn lại vào pt đường
thẳng vừa tìm được => đpcm
Một số bài toán mở đầu.
Bài 1: Tìm các khoảng lồi; lõm và điểm Uấn của

5
- 5x
4
+ 7x - 2.
h: (C): y =
4
5
32



x
xTìm điều kiện tham số để (C): y = f(x) nhận U(x
0
; y
0
)làm điểm uấn
Bài 2: Tìm m để (C): y = 23
2
3


m
m
x
nhận U(1; 0) làm điểm uấn
+ Tìm a; b; c; d để (C): y = x

y + ax + by = o có điểm uấn U(2;
2
5
)

Chứng minh đồ thị có 3 điểm uấn thẳng hàng, viết pt đường thẳng.

Bài 1: CMR (C): y =
1
12
2


xx
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng. Viết ptđt đi qua 3 điểm uấn.
Bài 2: CMR (C): y =
2
2
x
x
có 3 điểm uấn thẳng hàng Viết ptđt qua 3 điểm uấn của (C).
Bài 3: CMR (C): y =
1
1
2


x
x

Cho hàm số y = 2x
4
- 4x
2
. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
b, Với giá trị nào của m thì phương trình x
2
|x
2
- 2| = m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
Bài 3: ĐH khối D/2009
Cho hàm số y = x
4
- 3(m+2)x
2
+ 3m. có đồ thị là (Cm)
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho với m = 0.
Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt có hoành độ đều nhỏ hơn
2
Bài 4: ĐH khối A/2008
Cho hàm số (C): y =
m
x
xmmx
3
2)23(
22


với m là tham số thực.

x
mmmx
(1), m là tham số
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1.
b, Tìm m để hàm số (10 có cực đại và cực tiểu, đồng thời các cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành 1 tam giác vuông tại O.

*.L.* *.O.* *.V.* *.E.*
 My Life 
Trung tâm gia sư Anh Tiến - 0986 915 960 Nơi nào có ý chí – Nơi đó có con đường 23
Bài 8: ĐH khối B/2007
Cho hàm số y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
- 1)x - 3m
2
- 1. (1) m là tham số
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) với m = 1.
b, Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc toạ độ O.

Bài 9: ĐH khối D năm 2007.
Cho hàm số (C):y =
1

. a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đt hàm số.
Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên của (C)
Bài 12: ĐH khối D/2006
Cho hàm số (C): y = x
3
- 3x + 2.
a, Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
b, Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng
(d) cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt.
Bài 13: ĐH khối A/2005.
Cho (Cm) y = mx +
x
1
(m là tham số)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =
4
1

b, Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên của (Cm)
là
2
1

Bài 14: ĐH khối B/2005
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y =
1
1)1(
2



0
= k ( x - x
0
)

Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm
y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
=f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)

Áp dụng:
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 33
3
 xxy tại điểm uốn của nó

`b. Dạng 2:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho
trước
Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau


) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của
(

) là:

k a

Định lý 2: Nếu đường thẳng (

) đi qua hai điểm
B A B
( ; ) vaø B(x ; ) vôùi x x
A A B
A x y y
 thì hệ số
góc của (

) là :

B A
B A
y y
k
x x



3 2 3
y x x x


Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn song song vi ng thng (d):
y = 4x+2.
Vớ d 2: Cho ng cong (C):
1
3
2



x
x
y
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn vuụng gúc vi ng thng
xy 3:)(




c. Dng 3:
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C): y=f(x) bit tip tuyn i qua im
A(x
A
;y
A
)










Bc 3: Gii h (1) tỡm k. Thay k tỡm c vo (*) ta s c pttt cn tỡm.

p dng:
Vớ d1: Cho ng cong (C): 43
23
xxy
Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua im A(0;-1)
Vớ d 2: Cho ng cong (C):
2 5
2
x
y
x




Vit phng trỡnh tip tuyn vi (C) bit tip tuyn i qua im A(-2;0).

x
y
AAAA