Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 90 Giáo Trình Toán Chuyên Đề

==
=
M
0j
)j(
j
N
0k
)k(
k
)(X)i(b)(Y)i(a

Giải ra đợc
Y() =




k
k
j
j
)i(a
)i(b
X() = H()X() y(t) = h(t)x(t) (5.5.8)

Ví dụ Giải phơng trình y(t) + 4y(t) + 3y(t) = x(t) + 2x(t)
Chuyển qua ảnh

y(t) = h(t) và x(t) = (t)

y(t) =



t
d)(h

Cho x(t) bằng một hàm cụ thể
x(t) = e
-t
(t) X() =
+ i1
1

Giải ra đợc nghiệm tơng ứng
Y() =
4
1
(
+ i1
1
+
2
)i1(
2
+
-
+ i3


tik
k
ea
,

=
T
2


+

)k(a2
k

2

(t)
i
1
+ ()
8


+

)kTt(



<
T |t| 0
T |t| 1

2


Tsin

11

)!1n(
t
1n


e
-at
(t)
n
)ia(
1
+
, Rea > 0
6

t
Wtsin



1Click to buy NOW!
P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u

w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 91
Đ6. Biến đổi Laplace

Hàm f F(3, ) gọi là hàm gốc nếu có các tính chất sau đây
1. f(t) liên tục từng khúc trên 3
2. t < 0, f(t) = 0
3. M > 0, s > 0 sao cho t > 0, | f(t) | < Me
st

Số s
0
bé nhất thoả mn điều kiện 3. gọi là chỉ số tăng của hàm gốc. Kí hiệu G là tập hợp

0
) và F(z)





+zRe
0 đều theo Argz.
Chứng minh
Theo giả thiết ta có ớc lợng
= Rez > s
0
, t 3, | f(t)e
-zt
| M
t)s(
0
e






+
0
Suy ra tích phân (5.6.1) hội tụ đều trên P
+
(s

)), f(t) F(z) (5.6.2)
xác định theo công thức (5.6.1) gọi là phép biến đổi Laplace. Hàm f(t) gọi là hàm gốc,
hàm F(z) gọi là hàm ảnh của biến đổi Laplace và kí hiệu là f(t) F(z).

Ví dụ
1. (t) =




=+
0t 0
0t
u(z) =

+


0
zt
dte)t( 1
2. (t) =




<
0t 1
0t 0
F(z) =

C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o

r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 92 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Chú ý
1. Biến đổi Laplace không phải là song ánh và nửa mặt phẳng P
+
(s
0
) thay đổi theo từng
hàm gốc f(t). Tức là f(t) G(s
0
) và F(z) =

+

0
zt
dte)t(f là hàm giải tích trên P
+
(s
0
).
2. Hàm gốc định nghĩa nh trên gọi là gốc phải. Tơng tự có thể định nghĩa hàm gốc

0
bé nhất thoả mn điều kiện 1. và 3. gọi là chỉ số của hàm F(z). Kí hiệu A là tập hợp
các hàm ảnh. Nếu F(z) là hàm ảnh chỉ số s
0
ta sẽ viết F A(s
0
).

Định lý Cho F(z) A(s
0
). Khi đó hàm trị phức
t 3, f(t) =
i2
1


+

i
i
zt
dze)z(F
(5.7.1)
là hàm gốc chỉ số s
0
và f(t) F(z).
Chứng minh
Theo giả thiết 3. với mỗi > s
0
cố định hàm F( + i) khả tích tuyệt đối. Kí hiệu


de)i(F
2
1
ti
=

+


i
i
zt
dze)z(F
i2
1

Theo định lý về biến đổi Fourier ngợc hàm g



C
0
suy ra hàm f

CM. Ngoài ra do
giả thiết 1., 2. và công thức tính tích phân suy rộng (4.9.6)


t = -

h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m

a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Giáo Trình Toán Chuyên Đề Trang 93
Ước lợng tích phân
> s
0
, | f(t) | = | g

(t) | e

t
< Me

t
với M = sup{ | g

(t) |, > s
0
}
Từ đó suy ra hàm f(t) là hàm gốc và ta có
> s
0
, F(z) =


1k
k
zt
]a,e)z(f [sRe
(5.7.2)
Chứng minh

Suy ra từ công thức (5.7.1) và công thức tính tích phân suy rộng (4.9.6)
Hệ quả 2
Cho hàm F(z) =
)z(B
)z(A
là phân thức hữu tỷ thực sự, có các cực điểm đơn thực
a
k
với k = 1 n và các cực điểm đơn phức b
j
=
j

j
với j = 1 m. Khi đó
f(t) =

=

n

j
= Im
)b(B
)b(A
j
j

với j = 1 m
Chứng minh
Suy ra từ công thức (5.7.2) và công thức tính thặng d tại cực điểm đơn.

Ví du Hàm F(z) =
)8z4z)(2z(
2z3z3
2
2
++
++
có các cực điểm đơn a = 2 và b = -2

2i
Ta có ,1
)2(B
)2(A
=
)i22(B
)i22(A
+

+

=


1n
1n
n
t
)!1n(
a
(5.7.4)
Chứng minh
Với Rez > R, chuỗi ở vế trái (5.7.4) hội tụ đều. Tích phân từng từ
f(t) =


+
=
+


1n
i
i
n
zt
dz
z
e
i2
1

P
D
F
-
X
C
h
a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a

o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Chơng 5. Biến Đổi Fourier Và Biến Đổi Laplace
Trang 94 Giáo Trình Toán Chuyên Đề
Đ8. Tính chất của Biến đổi Laplace

Giả sử các hàm mà chúng ta nói đến là hàm gốc hoặc là hàm ảnh và do đó luôn có ảnh
và nghịch ảnh Laplace. Kí hiệu f F với f(t) là hàm gốc và F(z) là hàm ảnh tơng ứng.

1. Tuyến tính Nếu hàm f và hàm g là các hàm gốc thì với mọi số phức hàm f + g
cũng là hàm gốc.
, f(t) + g(t) F(z) + G(z) (5.8.1)
Chứng minh
f(t) + g(t)

+
+
0
dt)]t(g)t(f[ = F(z) + G(z)







z
F
1
(5.8.3)
Chứng minh

f(t)

+





0
t
z
)t(de)t(f
1
Đổi biến = t
4. Hàm tuần hoàn







+
=

T
0
z
1n
Tz)1n(
de)(ge
Ví dụ Ta có sint =
i2
1
(e
i

t
- e
-i

t
)

a
n
g
e

V
i
e
w
e
r
w
w
w
.
d
o
c
u
-
t
r
a
c
k
.
c
o
m
Click to buy NOW!

c
k
.
c
o
m