K thut thu khớ Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 108 -
Xác định khoảng cách dịch chuyển của đờng dòng do ảnh hởng
của tính nhớt dựa trên tính chất: đờng dòng là đờng lu lờng bằng nhau.
Tính lu lợng Q
t
chất lỏng thực qua mặt cắt giữa bề mặt vật và đờng dòng
cách thành một khoảng y.


=
y
0
t
udyQ

Đờng dòng tơng ứng của chất lỏng lý tởng sẽ gần bề mặt vật hơn
một đoạn và đợc tính từ điều kiện cân bằng lu lợng:

==


udyu)y(uQ
y
0
l

= * =











y
0
dy
u
u
1

hay viết dới dạng không thứ nguyên
* =


1
0
d)1(

, với



Lợng chất lỏng đi qua chiều dày * bằng lợng chất lỏng đi qua ( - *). Sự
giảm lu lợng đó gây ra do lớp biên ép chất lỏng, nên * mang tên chiều
dày bị ép. Đối với tấm phẳng: * = 0,375
K thut thu khớ Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 109 -
3. Chiều dày tổn thất xung lực.
Xét ảnh hởng động lực của tính nhớt lên dòng chảy bao quanh vật.
Tính lực cản X theo định lý biến thiên động lợng (Định lý Ơ le 1(4-
20)) cho khối chất lỏng chứa trong ABAB (h.8-3)
Động lợng chất lỏng chảy vào qua AB:

2
1
hu2q

=


Vì lợng chất lỏng chảy vào qua AB gần bằng lợng chảy ra qua AB
nên:


+


=
h
h

'qdyuudyuX
h
h
2
h
h
+=

+

+




trong đó q - động lợng chất lỏng chảy qua Â, BB. Khi h

thì
0'q
nên:


+









+



=








==




K thut thu khớ Lc tỏc ng lờn vt ngp trong lũng cht lng chuyn ng - 110 -
trong đó
dy
u
u
1
u
u





=






Hay là viết dới dạng không thứ nguyên:
()

=

1
0
d1


Nh vậy, chiều dày tổn thất xung lực là chiều dày mà trong đó động
lợng của chất lỏng lý tởng (tơng ứng với U

) bằng động lợng tiêu hao
trong lớp biên:


=


u
1
u
u

Trong một số tính toán, ngời ta còn dùng tỉ số các chiều dày:













=== H;H;H

4. Phơng pháp lớp biên.
a) Giải chính xác
: Vì lớp biên đợc hình thành chỉ khi số Râynôn lớn,
nên phơng trình chuyển động trong lớp biên có thể nhận đợc từ phơng
trình Navie - Stốc viết dới dạng tổng quát không thứ nguyên, sau đó đánh
giá bậc các thành phần trong phơng trình ấy dựa trên điều kiện cơ bản:
chiều dày lớp biên nhỏ hơn nhiều so với chiều dài của vật (<<1) nên suy ra
giá trị các đại lợng theo phơng y nhỏ hơn giá trị các đại lợng theo phơng
x (h.8-4)


0
y
u
x
u
=


+


(8-1)
Với các điều kiện: tại y = 0: u=v=0
y = : u = u

(x)
Giải trực tiếp hệ phơng trình (8-1) với các điều kiện biên tơng ứng
ta sẽ tìm đợc nghiệm u(x,y), v(x,y) trong toàn lớp biên và do đó có thể tính
đợc ứng suất tiếp trên bề mặt vật. Lời giải điển hình là của Foknẻ và Skane
tìm ra từ năm 1930 khi cho phân bố vận tốc ngoài lớp biên dới dạng hàm số
mũ:
u

(x) = C. x
m



(8-2)
Số hạng thứ nhất trong vế trái của phơng trình (8-2) biểu diễn ứng
suất ma sát đối với chuyển động của chất lỏng nén đợc. Đối với chất lỏng
không nén đợc (

= const) ta có phơng trình:

()
2
w
w
u
2
dx
du
u
1
dx
d





=++





3
2
20
++==




Bằng phơng pháp này ngời ta đã giải cho lớp biên chảy tầng trên
tâm phẳng và tìm ra đợc hệ số cản toàn bộ:
Re/444,1C
x
=

Hệ số cản cục bộ:
x
2
w
f
Re
722,0
u
2
1
C ==




trong khi đó, lời giải chính xác cho:



lớp biên chảy tầng:
)x(f
u
x.v
30 ==



Khi Re
x
> (3,6 ữ 5).10
5
lớp biên rối

)x(f)
v
xu
(x37,0
5
4
5
1
r
==






K thut thu khớ Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 114 -

Chơng IX
Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự

9.1. Mở đầu

Những lời giải chính xác (bằng phơng pháp lý thuyết) của một số bài
toán thuỷ khí động lực là rất hiếm. Trên thực tế, ngời ta sử dụng nhiều
phơng pháp thực nghiệm. Phơng pháp mô hình hóa tơng đối phổ biến. Nó
dựa trên lý thuyết thứ nguyên và tơng tự. Mô hình hoá là sự thay thế việc
nghiên cứu hiện tợng của một đối tợng trên nguyên mẫu bằng việc nghiên
cứu hiện tợng tơng tự trên mô hình có kích thớc bé hơn hay lớn hơn.
ý nghĩa của phơng pháp: dựa vào những kết quả thí nghiệm trên mô
hình có thể kết luận về các hiện tợng xảy ra trên nguyên mẫu. Điều kiện sử
dụng đợc những kết quả trên mô hình là khi tiến hành thí nghiệm phải tuân
theo những qui luật nhất định của mô hình hóa. Những quy luật đó là những

Các định nghĩa nêu trên chỉ có tính chất tơng đối.
2. Thứ nguyên
- Đơn vị cơ bản và đơn vị dẫn xuất.
Các đại lợng vật lý đợc liên hệ với nhau bằng những biểu thức nhất
định. Trong cơ học thờng chọn 3 đại lợng cơ bản: độ dài L, thời gian T,
K thut thu khớ Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 116 -

khối lợng M và thiết lập cho chúng một đơn vị đo lờng nào đó gọi là đơn
vị cơ bản, nh hệ đơn vị SI (m,s,kg), hệ đơn vị CGS (cm, gam, s)
Đơn vị dẫn xuất là đơn vị biểu diễn qua đơn vị cơ bản nh cm/s, kg/m
3

v.v
Thứ nguyên là biểu thức biểu diễn đơn vị dẫn xuất qua đơn vị cơ bản
và đợc ký hiệu bằng dấu []. Ví dụ nh thứ nguyên của vận tốc [L/T], của
gia tốc [L/T
2
] v.v
3. Công thức tổng quát của thứ nguyên.
Lý thuyết thứ nguyên dựa trên hai định lý sau đây:
a. Tỷ số giữa hai giá trị bằng số của một đại lợng dẫn xuất bất kì nào
đấy không phụ thuộc vào việc chọn các kích thớc của hệ đơn vị cơ bản.
Chẳng hạn nh tỷ số giữa hai diện tích không phụ thuộc vào việc là chúng
đợc đo trong hệ đơn vị nào.
Từ định lý này có thể suy ra công thức thứ nguyên tổng quát của các
đại lợng vật lý:
a = L

k+1
, , a
n
) (9-2)
K thut thu khớ Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 117 -

Nếu k

n là số các đại lợng có thứ nguyên cơ bản thì (n+1-k) tổ hợp
không thứ nguyên Pi của các đại lợng có thứ nguyên ở trên có thể biểu diễn
dới dạng: (theo (9-1))

qk
k
2q
2
1q
1
n
kn
pk
k
2p
2
1p
1
1k

, ,
k
)
Mỗi tổ hợp không thứ nguyên là một tiêu chuẩn tơng tự. Có nghĩa là
nếu đại lợng không thứ nguyên (ví dụ hệ số lực cản Cx) phụ thuộc n đại
lợng, mà số thứ nguyên cơ bản của chúng bằng k, thì số tiêu chuẩn tơng tự
là = n - k. Trong thuỷ khi động lực k = 3, vậy nên biểu diễn đại lợng nào
đó qua bốn thông số.
Ví dụ 1. Hãy xác định sự phụ thuôc hệ số lực cản Cx của cánh vào các
thông số dòng chảy.

Bài giải:

Giả sử Cx phụ thuộc vào các đại lợng có thứ nguyên sau đây: khối
lợng riêng , độ nhớt , vận tốc và chiều dài của cánh L. Khi đó:
Cx = f(,,,L)
Dùng công thức thứ nguyên có thể tìm đợc một tổ hợp không thứ
nguyên của các đại lợng vật lý trên:
K thut thu khớ Chơng 9:Cơ sở lý thuyết thứ nguyên, tơng tự - 118 -

[Cx] = []
b
[]
d
[]
c
[L]

= 1
từ đó ta có 3 phơng trình đối với 3 thứ nguyên cơ bản:
M : b + d = 0
L : -3d -d +c +n = 0
T : - d - c = 0
Xem rằng một trong 4 số mũ, chẳng hạn n đã biết, giải hệ phơng
trình trên ta đợc b = c = n; d = -n. Nh vậy, ta tìm đợc dạng phụ thuộc của
Cx vào đại lợng thứ nguyên:

)(Ref
vl
fCx
n
n
=

















Viết dới dạng thứ nguyên:
FLT
-1
= [L
3
T
-1
]
x
[FL
-3
]
y
[L]
z

Từ đó suy ra: x = y = z = 1
Do đó:
QH
N


=
hay là N = kQH
Qua hai ví dụ trên, có thể suy ra một số bớc cơ bản để giải một bài
toán nh sau:
1 - Lập biểu thức phụ thuộc (n + 1) đại lợng a (9-2). Ghi thứ nguyên
của chúng.
2- Chọn k đại lợng cơ bản (thông thờng k = 3). Viết công thức thứ

Hai hệ thống thuỷ khí động lực tơng tự hình học là khi các kích thớc
tơng ứng của chúng tỷ lệ với nhau.

; ;
2
L
m
n
L
m
n
k
S
S
k
L
L
Dm
Dn
===

Trong đó k
L
- tỷ lệ tơng tự hình học

Hình 9-2
2. Tơng tự động học:
Hai hệ thống thuỷ khí động lực tơng tự động học phải tơng tự hình học và
có thời gian di chuyển của một phần tử chất lỏng từ điểm này sang điểm
khác trên các đờng dòng tơng ứng tỷ lệ:

k


=
- tỷ lệ tơng tự động lực
Tỷ lệ các lực:
2
T
4
Lp
2
mm
3
mm
2
nn
3
nn
m
n
k
kk
TLL
TLL
F
F
==





0
, thời gian t
0
, lực khối viết cho một đơn vị khối lợng g - gia tốc trong
trờng. Ký hiệu các đại lợng không thứ nguyên cũng bằng những chữ nh
các đại lợng có thứ nguyên: 0
;
1
)(
;
1
)(
0
0
2
00
0
2
000
0
2
00
0
2
000
=

u
x
u
u
lvy
p
v
p
Y
v
gl
y
u
u
x
u
u
t
u
tv
l
u
lvx
p
v
p
X
v
gl
y

Từ hệ phơng trình trên suy ra nếu hai dòng chảy tơng tự, có nghĩa là
chúng đợc mô tả bằng những phơng trình và các điều kiện biên giống
nhau, thì phải có cùng giá trị các đại lợng không thứ nguyên sau đây:

lv
v
p
v
gl
tv
l
0
0
2
00
0
2
0
00
;;;