1
H×
nh häc mỈt ph¼ng täA ®é

C¸ch gi¶i c¸c bµi to¸n vỊ tam gi¸c: viÕt pt c¸c c¹nh cđa tam gi¸c, t×m c¸c ®Ønh
chó
ý
: - 2 ®g th¼ng // th× cã cïng vÐc t¬ ph¸p tuyªn vµ vÐc t¬ chØ ph¬ng
- 2 ®g th¼ng vu«ng gãc th× ph¸p tun ®êng nµy lµ chØ ph¬ng cđa ®g kia,
chØ ph¬ng ®êng nµy lµ ph¸p tun cđa ®g kia

Lo¹i 1: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng cao kh«ng qua ®Ønh ®ã:
c¸ch gi¶i: - viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi CK
- viÕt ph¬ng tr×nh c¹nh AB qua A vµ vu«ng gãc víi BH
Lo¹i 2: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng trung tun kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i:
- LÊy ®iĨm M thc BM theo tham sè, theo c«ng thøc trung ®iĨm t×m
to¹ ®é C , thay to¹ ®é C vµo PT ®êng CN t×m tham sè t 
®iĨm C
- LÊy ®iĨm N thc CN theo tham sè, tõ CT trung ®iĨm t×m to¹ ®é B
thay voµ PT ®êng BM t×m tham sè t  ®iĨm B

lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’  A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm
B vµ C


| ngắn nhất.
e/ Tìm J trên trục tung sao cho JA –JB dài nhất.
A

B
C(x;y)
A(x;y)

B
C
A’ B’
B’
C’
A(x;y)

C
A’
I
J
B
A’’
2
4/Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1;1) . Hãy tìm điểm B trên đường thẳng y =3 và điểm C
trên trục hoành sao cho ABC là tam giác đều.
5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a)
Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.

CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài 7 :Tam giác ABC có A( -1 ; - 3 ) , các đường cao có phương trình : BH: 5x + 3y –25 = 0;
CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC và đường cao còn lại.
Bài 8 :Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Viết phương trình đường
thẳng d trong mổi trường hợp sau :
1/ d qua M và cách N một khoảng bằng 4. 2/ D qua M vàcách đều hai điểm N, P.
Bài 9: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC biết A( 1; 3) và hai trung
tuyến có phương trình là x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0.
Bài 10: Lập phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác ABC nếu cho điểm B(-4;-5) và hai
đường cao có phương trình là :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0.
Bài 11 : Cho điểm P( 3; 0) và hai đường thẳng d
1
: 2x – y – 2 = 0 , d
2
:x + y + 3 = 0. Gọi d là đường thẳng qua
P cắt d
1
, d
2
lần lượt tại A và B .Viết phương trình của d biết PA = PB.
Bài 12 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1 ) đường cao và trung tuyến kẻ từ một
đỉnh lần lượt có phương trình : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 .
Bài 13 : Cho tam giác ABC có M( - 2 ; 2) là trung điểm của cạnh BC cạnh AB có phương trình là x – 2y
– 2 = 0,cạnh AC có phương trình là 2x + 5y + 3 = 0 . Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
3
Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1

Bài 2 : Tính khoảng cách từ điểm M ( 3 ; 2) đến các đường thẳng sau đây:
1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 .
Bài 3: Cho đường thẳng d: 3x – 2y +1 = 0 và điểm A(1;2) . Lập phương trình đường thẳng  đi qua A và
hợp với d một góc 45
0
.
Bài 4 : Cho tam giác ABC cân đỉnh A . Cho biết BC: 2x – 3y –5 = 0 ,
AB :x + y + 1 = 0. Lập phương trình cạnh AC biết rằng nó đi qua điểm M(1;1).
Bài 5: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 2;7 ) và cách điểm A(1;2) một khoảng bằng1.
Bài 6 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2 : -1) sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường
thẳng : (d
1
):2x – y + 5 = 0 , (d
2
) : 3x + 6y – 1 = 0 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của
(d
1
) và (d
2
) .
Bài 7 : Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B( 2 ;- 1 ),đường cao qua đỉnh A có phương trình
3x – 4y +27 = 0 và phân giác trong của góc C có phương trình x + 2y – 5 = 0.
Bài 8: Viết phương trình đường thẳng song song với d:3x –4y +1=0 và cách d một khoảng bằng 1

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết
phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là
7x- y +8 = 0
4

13/ Cho tam giác ABC có A(2;-3) ,B(3;-2)trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng
3x –y – 8 =0,diện tích tam giác ABC bằng 3/ 2.Tìm C.
14 / Cho tam giác cân ABC có phương trình cạnh đáy AB:2x –3y+5=0cạnh bên AC:x+y+1=0.
Tìm phương trình cạnh bên BC biết nó đi qua điểm D(1;1).
15/ Cho hình chử nhật ABCD có tâm I(1/ 2;0),phương trình đường thẳng AB là
x –2y+2=0,AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết A có hoành độ âm.
16/ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng d
1
:x-y=0,d
2
:2x+y+1=0.Tìm tọa độ các đỉnh của
hình vuông ABCD biết A thuộc d
1
, C thuộc d
2
và cả hai đỉnh B,D thuộc trục hoành.
17/ Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x – y -8 = 0, diện
tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C.
18/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một
đỉnh có phương trình 2x -3y +12 = 0 và 2x + 3y = 0.
20/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có
phương trình là x -2y+1= 0 và y-1 =0.
21/ Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE)
4x+13y-10 = 0. Lập phương trình ba cạnh.
22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là
3x y 3 0

I ( a ; b ) ,bán kính R =
cba 
22 II. Phương tích của một điểm đối với đường tròn.

Cho đường tròn ( C ) có phươngtrình : F ( x ; y ) = x
2
+y
2
– 2ax – 2by + c = 0 vá điểm M
0
(x
0
;y
0
)
P
M
/
(C )
= F (x
0
; y
0
) = x
0
2
+y

y + c
2
= 0 .
Trục đẳng phương của hai đường tròn ( C
1
) , ( C
2
) có phương trình là :
2( a
1
- a
2
) x + 2( b
1
- b
2
) y – c
1
+ c
2
= 0 .IV. Tiếp tuyến của đường tròn

1/Dạng 1
:
Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )
2
+ ( y –b)

Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng k.
* Đường thẳng

có hệ số góc k có phương trình : y = kx + m
*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được m.

3/ Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) đi qua M( x
M
; y
M
)
.
* Đường thẳng

qua M có phương trình : A ( x – x
M
) + B ( y – y
M
) = 0.
*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP


có phương trình : 3x +y–3 = 0
Bài 3 : Cho đường tròn ( C ) có phương trình x
2
+ y
2
+ 4x + 4y – 17 = 0 .Lập phương trình tiếp tuyến d với (
C ) : 1/ Tại điểm M ( 2 ; 1 ) . 2/ Biết d song song với

: 3x – 4y – 2004 = 0.
3/ Biết d đi qua điểm A ( 2 ; 6 ) .
Bài 4: Cho đường tròn ( T ) có phương trình : x
2
+ y
2
– 4x – 2y = 0 .
1/ Tính phương tích của điểm M ( 5 ; -2) đối với đường tròn ( T ).
2/Viết phương trình tiếp tuyến với (T)vuông góc với đường thẳng

:2x – 3y + 1= 0.
6
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( T ) kẻ từ N (– 2 ; 6 ).
Bài 5 : Cho hai đương tròn ( C
1
) và ( C
2
) lần lượt có phương trình là :
x
2
+ y

2
+y
2
-10x + 9 = 0
d) Với giá trò nào của m thì (T) tiếp xúc với đường tròn (T’’) có pt: x
2
+ y
2
– 2my = 0.

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba đỉnh A(1;1),B(-1;2),C(0; -1)
2/ Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác có ba cạnh nằm trên ba đường thẳng :
(d
1
) :
5
2
5

x
y
, (d
2
) : y = x+2 , (d
3
): y = 8 – x
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d)
:2x – y + 1 = 0

+4x – 2y – 20 = 0
a. Viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (C
1
) ,(C
2
) và có tâm (d):x+6y – 6 = 0.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C
1
) ,(C
2
)
10/ Cho (C): (x – 1)
2
+ (y – 2)
2
= 4 và đường thẳng (d) : x – y – 1 = 0 . Viết phương trình đường tròn ( C’)
đối xứng với ( C) qua (d)
11/ Cho hai đường tròn (C
1
) : x
2
+y
2
– 4x – 5 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp

2
+y
2
– 2x – 4y = 0 . Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M
và cắt (C ) tại hai điểm A,B sao cho AB = 10 .
14/Cho đường tròn (C ) : x
2
+y
2
– 2x – 6y – 9 = 0 và điểm M(2;4) .
a. Chứng tỏ rằng M nằm trong đường tròn.
b. Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A và B sao cho M là trung
điểm của đoạn AB.
c. Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng với (C ) qua AB.
15 / Cho ba đường thẳng (d1) : 3x +4y -6 = 0, (d2):4x +3y -1 = 0 , (d3) : y = 0 .(d1)  (d2) = A,
7
(d
2
)  (d
3
) =B , (d
3
)  (d
1
) = C.
a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC .
b. Tính diện tích tam giác ABC .
c.
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
16/ Cho đường tròn (C) :x

1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau .
b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đó .
20/ Viết phương trình các tiếp tuyến chung của các cặp đường tròn sau :
a. (C
1
): x
2
+ y
2
-10x = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
+4x -2y -20 = 0
b. (C
1
): x
2
+ y
2
- 4x - 5 = 0 , (C
2
): x
2
+ y

2
=(c;0)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF a ex a x
a
c
MF a ex a x
a
   
   NÕu
b
>
a

th×:

a
2
=
b
2
-


1/ 16x
2
+ 25y
2
= 400 ; 2/ 4x
2
+ 9y
2
= 144 ;
3/ 9x
2
+25 y
2
= 225 ; 4/ 4x
2
+ 9y
2
= 25.
Bài 2 : Lập phương trình chính tắc của elip ( E ) trong các trường hợp sau :
1/ ( E ) có tiêu cự bằng 6 ; trục lớn là 2 10 .
2/ ( E ) có trục lớn bằng 20 tâm sai bằng 3/5,
3/ ( E ) có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm M ( 15 ; - 1 ).
4/ ( E ) có một tiêu điểm F
2
( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)
5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3
2

1
M = F
2
M.
2/ Cho A , B là hai điểm thuộc ( E ) sao cho AF
1
+ BF
2
= 8 .Hãy tính AF
2
+ BF
1
.
Bài 6 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) 16x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm tọa độ các tiêu điểm , tọa độ các đỉnh , tính tâm sai của ( E ) .
2/ Đường thẳng d đi qua một tiêu điểm của ( E ) cắt ( E ) tại hai điểm A , B .Tính
độ dài AB 3/ Tìm các giá trò của m để đường thẳng y = x + m cắt (E )tại hai điểm phân biệt.
Bài 7: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y
2
=25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .

– F
1
M.F
2
M.
3/ Viết phương trình đường thẳng (d) // Ox và cắt (E) tại hai điểm A,B sao cho OA
 OB.
Bài 11
:1/ Lập pt chính tắc của elíp (E) có tiêu điểm F
1
( - 15 ;0), tiếp xúc với (d) : x + 4y – 10 = 0.
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) vuông góc với (d’) : x + y + 6 = 0.
Bài 12 : Cho (E) : 4x
2
+ 9y
2
=36 và đường thẳng (d) có phương trình mx – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt với mọi m .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (E) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;3)
Bài 13: 1/Lập phương trình chính tắc của elíp (E) có một tiêu điểm F
2
( 10 ;0) độ dài trục lớn 2 18
2/ Đường thẳng (d) tiêp xúc với(E) tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B .Tìm M để diện tích tam giác
OAB nhỏ nhất .
Bài 14 : Cho (E) :
1
4
9
22



1.T
ÓM TẮT LÝ THUYẾT
     
 
 

























,
,a .10
0 0.a .9
0.//a .8
a .7
a .6
a .5
,,ak. .4
,, .3
.2
),,( .1
bb
aa
bb
aa
bb
aa
b
babababab
b
a
b
a
b
a
babkab
bababab
ba
ba
ba










k
kzz
k
kyy
k
kxx
M
B
ABABA
1

,
1
,
1

14. M là trung điểm AB





CBACBACBA
zzzyyyxxx
G

16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc:
)
1,0,0();0,1,0();0,0,1(
3
21

 eee

17.
Oz
zKOyyNOxxM



)
,0,0(;)0,,0(;)0,0,(

18.
Ox
zzxKOyzzyNOxyyxM



)
,0,(;),,0(;)0,,(


/
.
).
(
/
///
A
AADABV
D
CBAABCD

 10
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
 A,B,C là ba đỉnh tam giác 

[

AC,AB
] ≠
0


Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
 [

AC,AB
].

AD
≠ 0
 V
td
=
6
1

AD.AC],[AB

*Đường cao AH của tứ diện ABCD

AH
SV
BCD
.
3
1




BCD



*Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (
)

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp
*Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
*H là trung điểm của MM
/

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
*Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM
/

11

c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :

u
= 4

a
- 2

b
+ 3

c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ

a
,

b
,

c
không đồng phẳng .
c) Hãy biểu diển vectơ

w
= (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vectơ

a


b)
4 2
e a b c



5: Tìm tọa độ của vectơ
x

, biết rằng:
a)
0
a x


và

1; 2;1
a


b)
4
a x a


và

0; 2;1

A B C D

Hãy tìm tọa độ trọng tâm G
của tứ diện ABCD.
8:
Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn
lại.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
13 . Cho ba vectơ

1; 1;1 , 4;0; 1 ,
a b

3;2; 1 .
c


Tìm:

2 2 2 2
) . ; ) . ; ) ;
a a b c b a b c c a b b c c a

b a b



15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,
a b c

trong mỗi trờng hợp sau đây:


) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
a a b c




) 4;3;4 , 2; 1;2 , 1;2;1
b a b c


) 4;2;5 , 3;1;3 , 2;0;1
c a b c



Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23.
Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp

:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của 


n

 
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp


,
b

]
4. Pt mp

qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

() : Ax + By + Cz + D = 0 ta có
n

= (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) :

z + D
1
= 0
(
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
) + n(A
2
x + B

2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A



°
2
1
2
1
2
1
2
1
D

D Cz By Ax


)d(M,


10.Góc gi
ữa hai mặt phẳng :
21
21
.
.
nn
nn



),cos(
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:

AB
,

AC
°


d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua




Dạng 4: Mp

qua M và //

: Ax + By + Cz + D = 0
°



n n vtpt nên // Vì
M qua



14
Dạng 5: Mp

Dạng 6 Mp

qua M,N và



:
■
Mp qua M,N nên

aMN 

■
Mp  mp nên

bn 

°
],[


n nvtpt
N) (hayM qua


 MN

Dạng 7 Mp

chứa (d) và đi qua

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n

biÕt
a,




M 3;1;1 , n 1;1;2
 

b,




M 2;7;0 , n 3;0;1
 


c,




M 4; 1; 2 , n 0;1;3
  



®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng



biÕt:
a,






M 2;1;5 , Oxy
 
b,




M 1;1;0 , :x 2y z 10 0
     
c,




M 1; 2;1 , : 2x y 3 0
    

(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ


3;2;1
a

vµ


3;0;1
b 


b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 13:
Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14:
ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15:
Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz
a) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z
c) ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).

tazz
tayy
t
a
x
x
(d)
3o
2o
1o









:
2.Phương trình chính tắc của (d)

32
a
z-z
a
yy

A
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương









22
11
22
11
22
11
,,
BA
BA
AC
AC
CB

MN
≠ 0
(không đồng phẳng)
 d,d’ đồng phẳng

[
d
a

,
/
d
a
].

MN
= 0


d,d’ cắt nhau

[
d
a

,
/
d
a
]

 d,d’ trùng nhau

{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM 
} 5.Khoảng cách
:
Cho (d) qua M có vtcp
d
a

; (d’) qua N có vtcp
/
d
a

; ’ có vtcp
/
d
a
; ( ) có vtpt
n
Góc gi
ữa 2 đường thẳng
:
/
/
.
.
'
d
d
d
d
aa
aa


)dcos(d,Góc giữa đường và mặt :
na

a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp




n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua


A
d )(Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên

: d
/
=





aad
dquaM
d
d

ª



)(
)(
)(
/


d

Dạng 5:
Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)

]
d
a ,
d
a [ avtcp
qua



d =   
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =






với mp = (A,d
1
) ; mp = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //

và cắt d
1
,d
2
: d =

1



, d
2
: d =






với mp chứa d
1
,(P) ; mp chứa d
2
,  (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)
a

lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng
( ) : -3 2 -6 0
P x y z
 
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng
tr×nh:

tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
18
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a)
( ) : 2 3 - 4 0
P x y z
  
b)


: 2 3 1 0
P x y z
   
.

Bµi 7: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®êng
th¼ng (

) cho bëi :
 
2 2


tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
 
R t,
1
9
412
: 








tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®êng th¼ng (d) cã ph¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ
 
3
2
1





zyx
d

   
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d 









a) CMR hai ®êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d


   
R
tz
ty
tx
d 








1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:

a) Chøng tá r»ng hai ®êng th¼ng (d
1
),(d
2

x
:
R)
S(I,
2
2
2

(2)
(
0
d
c
b
a
với
222

)
 Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR 
222

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho













2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22

IdRr 

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

na
d


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()

3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu



(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª






2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB
 Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mp

:
R)
S(I,
2
2
2

A,B,C,D  mc(S)

hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

0
d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2

(2)
A,B,C  mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c) (α): thế a,b,c vào pt (α)

222
 zyxzyxS d)


07524:
222
 zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


04624:
2222
 mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


05824:
22222

®êng th¼ng qua A , T c¾t ®êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6:
Cho 3 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
), (d
3
) cã ph¬ng tr×nh :
 
1
1
4
2
3
2
:
1





zyx
d






zyx
d

a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d
1
),(d
2
) vµ song song víi (d
3
).
b) Gi¶ sư






Add 
1
,






 
1
9
2
3
1
7
:
2






zyx
d

a) CMR (d
1
) vµ (d
2
) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d
2
).
c) LËp mËt cÇu (S) cã ®êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d
1
) vµ (d

b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13:
Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABCD

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.


Ta
có :
,
,
Ox
Oy Oz

vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

Với
hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD
V
ới hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a a a'
(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A

Với
hình hộp đáy là hình thoi
'
'''. DCBAABCD
Chọn hệ
trục tọa độ sao cho :

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD

- Trục
Oz

đi qua 2 tâm của 2 đáy
Với
hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ

2 a
C
a
A

2
2
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
2
2
a a
B D S h
   

   
   
   

Với
hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
A


A’

C’
y

z

x

zB
D

C

A

O
S
x

y

zS


   
    Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA

(ABCD) ABCD là hình chữ nhật
;
AB a AD b
 

chiều cao bằng
hChọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :



Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

Với hình chóp S.ABC có SA

(ABC) và

ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
;
AB a AC b
 
đường cao bằng
h
.

O
S

x

y

zB

D

C

A

O
S

x

y

z
B

Tam giác ABC vuông tại B có
;
BA a BC b
 
đường cao bằng
h
.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; C 0; ;0
A a b

S ;0;
a h


;0;0 ; B 0; ;0
A a b ( ; ; )
2 2
a b
S h

Với hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),

SAB cân tại S
và

ABC vuông tại A 
ABC vuông tại A
;
AB a AC bVới hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),

SAB cân tại S
và

ABC vuông cân tại C
z

B

C

A
S

x

yB 25 Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA CB a
 
đường cao bằng
h
.

H là trung điểm của AB Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)

Khi đó :
;0;0 ; A 0; ;0
2 2
a a
C
   
   
   
lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh
rằng :
1coscoscos
222



( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương
chủ biên, NXBGD 2000 )

Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O
;
)0;0;(aA
;
)0;;0( bB

);0;0( cC
;
)0 ; ; ( baAB 

) ; 0 ; ( caAC 

Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:



)(),(coscos ABCOBC




)(),(coscos ABCOBC




)(),(coscos ABCOBC



222222
.
cos
baaccb
cb





222222


y

z
x

y

z



A

B

C

C’

O