 Hình học mặt phẳng tọa độ
lo¹i 3: cho 1 ®Ønh vµ 2 ®êng ph©n gi¸c trong kh«ng qua ®Ønh ®ã
c¸ch gi¶i: - gäi A’ vµ A’’ lµ diĨm ®èi xøng cđa A qua ®êng ph©n gi¸c
BB’ vµ CC’
 A’ vµ A’’ thc c¹nh BC
- viÕt PT c¹nh BC, t×m giao cđa nã víi ®êng CC’, BB’ta cã ®iĨm
B vµ C

chó ý :

c¸c bµi to¸n kÕt hỵp ®êng cao vµ ph©n gi¸c; ®êng cao vµ trung tun; trung tun vµ ph©n gi¸c ta ®Ịu dùa vµo
c¸ch gi¶i 3 bµi to¸n c¬ b¶n trªn

lo¹i 4: Bµi to¸n cho diƯn tÝch, cho ®iĨm trªn ®o¹n th¼ng theo tØ sè cho tríc
c¸ch gi¶i: Ta dïng c«ng thøc diƯn tÝch, c«ng thøc t×m to¹ ®é cđa ®iĨm chia ®o¹n th¼ng theo tØ sè k
Bµi tËp:
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ;
2
3
), D (- 2; 2)
a/ Chứng minh rằng A , B, C không thẳng hàng : A , B , D thẳng hàng.
b/ Tìm điểm E đối xứng với A qua B.
c/ Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành.
d/ Tìm tọộ trọng tâm G của tam giác ABC .
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) .
a/ Xác đònh tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
b/ Xác đònh tọa độ trọng tâm G, trực tâm H của tam giác ABC .suy ra ba điểm G,H,I thẳng hàng.
3/ Cho hai điểm A( 1; -2 ) và B( 3 ; 4 ) .
a/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua trục hoành.
b/ Tìm điểm M trên trục hoành sao cho MA +MB nhỏ nhất
.

5/Trong mặt phẳng Oxy cho điểm B trên đường thẳng x + 4 = 0 và điểm C trên đường thẳng x–3 =0
a)
Xác đònh tọa độ B và C sao cho tam giác OBC vuông cân đỉnh O
b) Xác đònh tọa độ B;C sao cho OBC là tam giác đều.

CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Lập phương trình của đường thẳng:
Bài 1 : Viết phương trình tham số phương trình , chính tắc rồi suy ra phương trình tổng quát của đường
thẳng trong các trường hợp sau:
1/ Qua điểm M(2 ; -5) và nhận vectơ

u
=( 4; -3) làm vectơ chỉ phương .
2/ Qua hai điểm A(1 ; - 4 ) và B( -3 ; 5 ) .
3/ Qua điểm N ( 3 ; -2 ) và nhận vectơ

n
= ( 5 ; - 2 ) làm vectơ pháp tuyến .
Bài 2: Viết Phương trình tham số , phương trình chính tắc của đường thẳng có phương trình tổng quát là: 3x
– 2y + 6 = 0 .
Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Viết phương trình đường
thẳng d trong các trường hợp sau :
a) d đi qua A và cách B một khoảng bằng 4.
b) d đi qua A và cách đều hai điểm B , C
c) d cách đều ba điểm A; B ; C
d) d vuông góc với AB tại A. e; d là trung tuyến vẽ từ A của tam giác ABC.
Bài 4: Cho tam giác ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , BC
, CA . 1/ Viết phương trình tổng quát của các cạnh của tam giác ABC.
2/ Viết phương trình các đường trung trực của các cạnh của tam giác ABC.
Bài 5: Cho đường thẳng (d) có phương trình : 4x – 3y + 5 = 0 .

Bài 14 : Cho hai đường thẳng d
1
: x – y = 0 , d
2
:x – 2y – 2 = 0. Tìm điểm A trên d
1
, C trên d
2
và B , D trên
trục hoành sao cho ABCD là hình vuông .
Dạng 2 : Hình chiếu của một điểm trên đường thẳng
1 / Phương pháp : Xác đònh hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d:
 Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua diểm M và vuông góc với d .
 Giải hệ gồm hai phương trình của d và d’ ta có tọa độ của điểm H.
2/ Phương pháp :Xác đònh điểm N đối xứng của điểm M qua d.
 Dùng phương pháp trên để tìm hình chiếu vuông góc H của điểm M trên đường thẳng d.
 Điểm N đối xứng với M qua d nên H là trung điểm đoạn MN , từ điều kiện đó ta tìm được tọa độ
điểm N
Bài tập :
Bài 1 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm M(-6 ; 4 ) và đường thẳng d: 4x – 5y + 3 = 0.
1/ Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng d.
2/ Tìm điểm N đối xứng với điểm M qua d .
Bài 2 : Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho hai đểm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) và đường thẳng d : 2x – y – 1 = 0 .
1/ Chứng minh rằng A , B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d.
2/ Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d .
3/ Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB bé nhất.
Dạng 3 : Các bài toán về vò trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 1: Xác đònh a để các đường thẳng sau đây đồng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 .
Bài 2 : Cho hai đường thẳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Với giá trò nào của m thì :
1/ d và d’ cắt nhau. 2/ d // d’. 3/ d trùng với d’.

CÁC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
1/ Trong mặt phẳng Oxy một tam giác có phương trình hai cạnh 5x-2y + 6 =0 và 4x +7y – 21 =0. Viết
phương trình cạnh thứ ba biết trực tâm của tam giác trùng với góc tọa độ .
2/ Lập phương trình các cạnh của hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)và một đường chéo có phương trình là
7x- y +8 = 0
4
3/ Chgo tam giác ABC ,cạnh BC có trng điểm M(0; 4) còn hai cạnh kia có phương trình :
2x + y – 11 =0 và x + 4y – 2 =0
a. Xác đònh tọa độ điểm A.
b.
Gọi C là điểm trên đường thẳng x – 4y – 2 = 0 , N là trtrung điểm AC . Tìm N rồi suy ra tọa độ của
B , C.
4/ Cho tam giác ABC có M(-2 ;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x –2y–2=0
cạnh AC có phương trình 2x + 5y + 3 =0. Xác đònh tọa độ các đỉnh của tam giácABC.
5/ Cho A(-1; 2)và B(3;4).Tìm điểm Ctrên đường thẳng x –2y +1=0 sao cho tam giác ABC vuông tại C .
6/ Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5),đường cao vẽ từ A có phương trình 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyến vẽ từ
C có phương trình x + y – 5 =0
a. Tìm tọa độ điểm A. b, Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC.
7/ Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;1)và có các cạnh AB:4x+y 15 = 0 và AC :2x+5y +3 = 0.
a,Tìm tọa độ A và trung điểm M của cạnh BC b,Tìm tọa độ điểm B và viết phưng trình đường thẳng BC.
8/ Cho A(1;1), B(-1;3)và đường thẳng d:x+y+4 =0.
a, Tìm điểm C trên d cách đều hai điểm A,B. Với C vừa tìm được .Tìm D s/cho ABCD là hbh .tính S
hbh
.
9/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a.
Biết đường cao BH:5x+3y –35=0, đường cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tìm B,C.
b. Biết trung trực của cạnh AB có phương trình x+2y –4=0 và trọng tâm G(4;-2).Tìm B,C.
10/ Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến vẽ từ một đỉnh
có phương trình 2x-3y +12 =0,2x+3y =0.

22/ Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C
lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC.
23/ Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y= x , phân giác
trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC .
24/ Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là
3x y 3 0
  
, các đỉnh A và B thuộc trục
hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

5
ĐƯỜNG TRÒNA . LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

I .phương trình đường tròn
:
*
Đường tròn ( C ) có tâm I ( a; b) ,bán kính R có phương trình là :
(x – a )
2
+ ( y – b)
2
= R
2

* Phương trình : x
2
+ y

; y
0
) = x
0
2
+y
0
2
–2ax – 2by + c .III. Trục đẳng phương của hai đường tròn :

Cho hai đường tròn không đồng tâm ( C
1
) : x
2
+ y
2
– 2a
1
x – 2b
1
y + c
1
= 0 ,
( C
2
) : x
2


1/Dạng 1
:
Cho đường tròn ( C ) : ( x – a )
2
+ ( y –b)
2
= R
2
. Tâm I ( a ;b) , bán kính R.
Tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M
0
( x
0
; y
0
)

( C ) có phương trình :
(x
0
– a) (x – a ) + ( y
0
– b)( y – b) = R
2

Chú ý: Tiếp tuyến với ( C ) tại M
0
nhận vectơ M
0

*

tiếp xúc với ( C )  d( I ,

) = R.Từ điều kiện này ta tìm được A và B.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Bài 1 :Xác đònh tâm và bán kính của các đường tròn sau :
1/ x
2
+ y
2
– 2x + 4y + 2 = 0 . 2/ 2x
2
+ 2y
2
+ 4x - 8y - 2 = 0 .
3/ x
2
+ y
2
– 6x – 16 = 0 . 4/ x
2
+ y
2
- 8y - 9 = 0 .
Bài 2 :Lập phương trình đường tròn ( T ) trong các trường hợp sau:
1/ ( T ) có tâm I ( 2 ; - 1) và có bán kính R = 3 .
2/ ( T ) có đường kính AB với A ( 1 ; 2 ) , B( - 5 ; 4 ) .
3/ ( T ) có tâm I ( 3 ; - 1 ) và tiếp xúc với đường thẳng


) và ( C
2
) lần lượt có phương trình là :
x
2
+ y
2
+ 4x + 4y –13 = 0 , x
2
+ y
2
- 2x + 8 y + 5 = 0 .Viết phương trình trục đẳng phương của hai đường
tròn đó .
Bài 6 : Cho ( C
m
) có phương trình : x
2
+ y
2
– 2mx – 4my + 2m
2
– 1 = 0.
1/ Tìm các giá trò của m sao cho (C
m
) là đường tròn. 2/ Tìm tập hợp tâm I của ( C
m
)
.
Bài 7 : Cho đường tròn (T) có phương trình : x
2

) : y = x+2 , (d
3
): y = 8 – x
3/ Lập phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có ba đỉnh A(-1;7),B(4;-3)C(-4;1).
4/ Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm A( -1;1) , B(1;-3) và có tâm nằm trên đường thẳng (d)
:2x – y + 1 = 0
5/ Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(-1;-2) và tiếp xúc với đường thẳng
(d) : 7x-y-5= 0 tại điểm M(1;2)
6/ Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 2x +y = 0 và tiếp xúc với đường
thẳng (d
2
): x -7y+10 = 0 tại điểm M(4;2).
7/ Viết phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d
1
) : 4x + 3y – 2 = 0 và tiếp xúc với hai
đường thẳng (d
2
) : x +y+4 = 0 ,(d
3
) :7x – y+4 = 0
8/ Viết phương trình đường tròn qua A( 2;-1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ .
9/ Cho hai đường tròn (C
1
): x
2
+y
2
-10x = 0 , (C

2
): x
2
+y
2
– 6x +8y +16 = 0 . Viết phương trình tiếp
tuyến chung của hai đường tròn .
12/ Cho hai đường tròn : (C
1
) : x
2
+y
2
– 4x +2y –4 = 0 , (C
2
): x
2
+y
2
– 10x – 6y +30 = 0 có tâm I, J.
a. Chứng minh rằng (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc ngoài với nhau , tìm tọa độ tíêp điểm H.
b. Gọi (d) là một tiếp tuyến chung của (C
1
) và (C
2
) không qua H .Tìm tọa độ giao điểm K của (d) với

) = C.
a. Viết phơng trình phần giác trong của góc BAC .
b. Tính diện tích tam giác ABC .
c.
Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
16/ Cho đường tròn (C) :x
2
+ y
2
-8x -6y = 0 và điểm A(14;8) . Qua A kẻ các tiếp tuyên AM,AN với
(C) . Lập phương trình đường thẳng MN .
17/ Cho (Cm) : x
2
+y
2
+2(m – 1)x – 2(m – 2 )y +m2 -8m +13 = 0.
a.Xác đònh m để (Cm) là đường tròn .
b. Tìm quỹ tích tâm I của (C
m
) .
18/ Cho (C) : x
2
+ y
2
+2x – 4y – 20 = 0 và A(3 ; 0) .Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và cắt (C)
theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất.
19/ Cho hai đường tròn (C1) :x
2
+ y
2

2
- 4x - 5 = 0 , (C
2
): x
2
+ y
2
- 6x +8y +16 = 0

C«ng thøc vỊ E-LÝp
Ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t:
2 2
2 2
x y
+ = 1
a b
(a,b>0)
NÕu a>b th×:

b
2
= a
2
-

c
2 trơc lín lµ 2a

2
=
b
2
-

c
2 trơc lín lµ 2b
trơc nhá lµ 2a
tiªu cù lµ 2c
t©m sai e=c/b
tiªu ®iĨm ( thc Oy) F
1
=(0;-c) F
2
=( 0;c)
Víi ®iĨm M(x;y) thc (E) b¸n kÝnh qua tiªu lµ

1
2
c
MF b ex a x
b
c
MF b ex a x
b
   

( 4 ; 0 ) và đi qua điểm N ( 3 ;
5
12
)
5/ ( E ) đi qua hai điểm A ( 5 ; 0 ) và B ( 4 ; 3
2
)
6/ ( E ) có trục nhỏ bằng 6 , phương trình hai đường chuẩn x 7

16 = 0.
8
7/ ( E ) có tâm sai bằng
2
1
, khoảng cách giữa hai đườg chuẩn bằng 32.
Bài 3 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) :4x
2
+ 25y
2
= 100.
1/ Tìm các điểm trê ( E ) có hoành độ bằng 3 và tính khoảng cách giửa hai điểm đó.
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) sao cho bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán kính qua
tiêu điểm bên phải .
Bài 4 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : 2x
2
+ 6y
2
= 12 .
1/ Xác đònh tọa độ các tiêu điểm và độ dài các trục của ( E ) .
2/ Tìm những điểm M trên ( E ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông .

Bài 7: Cho elip ( E ) : x
2
+ 4y
2
=25 ; (d) : 7x – 2y – 25 = 0.
1/ Tìm tọa độ giao điểm của (d) và ( E ) .
2/ Viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm đó.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( E ) biết tiếp tuyến đi qua M( 5; 5 ).
Bài 8 : Viết phương trình tiếp tuyến với (E) : 9x
2
+ 16y
2
= 144 biết tiếp tuyến :
1/ song song với đường thẳng :3x – 2y +1 = 0.
2/ vuông góc với đường thẳng :x + 2y – 3 = 0.
Bài 9: Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) nhận các đường thẳng:
3x – 2y – 20 = 0 và x + 6y – 20 = 0 làm tiếp tuyến.
Bài 10 : Cho elíp (E) có hai tiêu điểm F
1
(- 3 ;0) ,F
2
( 3 ;0) và một đg chuẩn có phương trình x =
3
4
.
1/ Viết phương trình chính tắc của (E).
2/ M là điểm thuộc (E) .Tính giá trò của biểu thức :P = F
1
M
2

Bài 14 : Cho (E) :
1
4
9
22

yx
.Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong đó a,b là hai số thay đổi
1/ Xác đònh tọa độ giao điểm I của AN và BM .
2/ Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) là ab = 4 .
Bài 15 : trong mặt phẳng tọa độ cho hai elíp (E
1
) :
1
1
16
22

yx
và (E
2
):
1
4
9
22

yx

1/ Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của hai elíp .






21
21
13
13
32
32
332211
3
3
2
2
1
1
332211
33
22
11
2
3
2
2
2
1
321
332211

b
aaa
kakaka
babababa
zzyyxxABAB
zzyyxxAB
ABABAB
ABABABcb,,a .11
đồng phẳng


0.  cba

cb,,a .12
không đồng phẳng


0.  cba

13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1








,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M

15. G là trọng tâm tam giác ABC








,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G

16. Véctơ đơn vị cña 3 trôc:
)1,0,0();0,1,0();0,0,1(
321



20.
ADACABV
ABCD
).(
6
1


21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
 10
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
 A,B,C là ba đỉnh tam giác 

 Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
 ABCD là hbh


DCAB Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
 [

AC,AB
].

AD
≠ 0
 V
td
=
6
1

AD.AC],[AB

*Đường cao AH của tứ diện ABCD

AH
SV
BCD
.
3


 Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và ()
2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d)
*Viết phương trình mp qua M và vuông góc với (d): ta có
d
an 


*Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (
)

Dạng 5 : Điểm đối xứng
1.Điểm M
/
đối xứng với M qua mp
*Tìm hình chiếu H của M trên mp (dạng 4.1)
*H là trung điểm của MM
/

2.Điểm M
/
đối xứng với M qua đường thẳng d:
*Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM
/
a
= ( 2;1 ; 0 ),

b
= ( 1; -1; 2) ,

c
= (2 ; 2; -1 ).
a) Tìm tọa độ của vectơ :

u
= 4

a
- 2

b
+ 3

c
b) Chứng minh rằng 3 vectơ

a
,

b
,

c
không đồng phẳng .

. Tìm tọa độ của vectơ: a)
1
4 3
2
d a b c


b)
4 2
e a b c



5: Tìm tọa độ của vectơ
x

, biết rằng:
a)
0
a x


và

1; 2;1
a


b)
4

A B C

Hãy tìm trọng tâm G của tam giác
ABC.
7: Cho bốn diểm không đồng phẳng :
(2;5; 3), (1;0;0), (3;0; 2), ( 3; 1;2).
A B C D

Hãy tìm tọa độ trọng tâm G
của tứ diện ABCD.
8:
Cho điểm M(1; 2; 3). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M:
a) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz. b) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
9: Cho điểm M(1 ; 2 ; 3). Tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm M:
a) Qua gốc tọa độ O b) Qua mặt phẳng Oxy c) Qua Trục Oy.
10: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). Tìm tọa độ của các đỉnh còn
lại.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). Đờng thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz tại điểm M.
a) Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào ? b) Tìm tọa độ điểm M.
13 . Cho ba vectơ

1; 1;1 , 4;0; 1 ,
a b

3;2; 1 .
c


a a b




) 2;5;4 , 6;0; 3 .
b a b



15. a) Trên trục Oy tìm điểm cách đều hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1).
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
16. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ
, ,
a b c

trong mỗi trờng hợp sau đây:


) 1; 1;1 , 0;1;2 , 4;2;3
a a b c




) 4;3; 4 , 2; 1;2 , 1;2;1
b a b c




Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo.
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22.
Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D .
23.
Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC. b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1. Vectơ pháp tuyến của mp

:
n

≠
0

là véctơ pháp tuyến của 


:
n

= [
a

,
b

]
4. Pt mp

qua M(x
o
; y
o
; z
o
) có vtpt
n

= (A;B;C)

A(x – x
o
) + B(y – y
o
) + C(z – z
o
) = 0

): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
Pt mp chứa (d) có dạng sau với m
2
+ n
2
≠ 0 :
m(A
1
x + B
1
y + C

:
A
cắt


°
2
1
2
1
2
1
2
1
//
D
D
C
C
B
B
A
A



°
2
1
2

) : Ax + By + Cz + D = 0 222
ooo
CBA
D Cz By Ax


)d(M,


10.Góc gi
ữa hai mặt phẳng :
21
21
.
.
nn
nn



),cos(
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
° Cặp vtcp:

d (hoặc AB)
°
) ( AB
n



d
a vtpt nên (d) Vì
Mqua




Dạng 4: Mp

qua M và //

: Ax + By + Cz + D = 0
°



n n vtpt nên // Vì
M qua



/
,
d
d
aan 

Dạng 6 Mp

qua M,N và



:
■
Mp qua M,N nên

aMN 

■
Mp  mp nên

bn 

°
],[


n nvtpt
N) (hayM qua


d
a

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt
n

biÕt
a,




M 3;1;1 , n 1;1;2
 

b,




M 2;7;0 , n 3;0;1
 


c,


   
   

Bµi 3: LËp ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng



®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng



biÕt:
a,






M 2;1;5 , Oxy
 
b,




M 1;1;0 , :x 2y z 10 0
     
c,

);4,3,2(n
lµm VTPT.
15
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 ,
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ


3;2;1
a

vµ


3;0;1
b 


b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 13:
Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD.
Bµi 14:
ViÕt ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P)
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0

2
;a
3
)

Rt;
tazz
tayy
t
a
x
x
(d)
3o
2o
1o









:
2.Phương trình chính tắc của (d)
D
z
B
x
A
(d)
2222
1111
Cy
Cy
:

Véctơ chỉ phương









22
11
22
11
22
11

,
/
d
a
].

MN
≠ 0
(không đồng phẳng)
 d,d’ đồng phẳng

[
d
a

,
/
d
a
].

MN
= 0


d,d’ cắt nhau

[
d
a

và
)(
/
dM 
}

 d,d’ trùng nhau

{
d
a

//
/
d
a
và
)(
/
dM 
} 5.Khoảng cách
:
Cho (d) qua M có vtcp
d

ddd 

6.Góc : (d) có vtcp
d
a

; ’ có vtcp
/
d
a
; ( ) có vtpt
n
Góc gi
ữa 2 đường thẳng
:
/
/
.
.
'
d
d
d
d
aa
aa


Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (

)

 a
d
a vtcp nên )( // (d) Vì
qua

A
d )(

Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp




n
d
a vtcp nên )( (d) Vì
qua


A
d )(Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên

: d





nan
bn
aad
dquaM
d
d

ª



)(
)(
)(
/


d

Dạng 5:
Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d
1
),(d
2
)


1
, (d)
; mp
chứa d
2
, (d)


d =   
Dạng 7: PT qua A và d cắt d
1
,d
2
: d =






với mp = (A,d
1
) ; mp = (A,d
2
)
Dạng 8: PT d //

và cắt d
1
,d

2
 
Dạng 10: PT d

(P) cắt d
1
, d
2
: d =






với mp chứa d
1
,(P) ; mp chứa d
2
,  (P)

3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) trong c¸c trêng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn
(3;2;3)
a

lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tun cđa mỈt ph¼ng







tz
ty
tx
d
vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph¬ng tr×nh cđa ®êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®êng
th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph¬ng tr×nh tham sè cđa ®êng
th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
18
Bµi6: LËp ph¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt
ph¼ng (P) trong c¸c trêng hỵp sau:
a)
( ): 2 3 -4 0
P x y z
  
b)


: 2 3 1 0
P x y z
   
.









tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0 b)
 
R t,
1
9
412
: 








tz
ty
tx
d

1
1
2
:
1





zyx
d

   
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d 








tz
ty
tx
d

   
R
tz
ty
tx
d 








1
1
1
1
2
tt,
12
29
1

d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2

(2)
(
0
d
c
b
a
với
222

)
 Tâm I(a ; b ; c) và
dcbaR 
222

2.Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu

 d < R :  cắt (S) theo đường tròn có pt












2
0DCzByAx :
Rczbyax:(S)
222

*Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính
),(
22

IdRr 

+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mp)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mp : ta có

na
d




2
Rczbyax:(S)
222

(2)
+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t,
+ Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª






2
Rczbyax:R)S(I,
222

(1)
 Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R
2Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
 Tâm I là trung điểm AB

2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2
2
2

A,B,C,D  mc(S)

hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)

0
d
2cz
2by
2ax
z
y
x
:
R)
S(I,
2

222
 zyxzyxS
c)


03936333:
222
 zyxzyxS d)


07524:
222
 zyxzyxS
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (S
m
) cã ph¬ng tr×nh:


04624:
2222
 mmzmymxzyxS
m

a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (S
m
) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n n»m trªn mét ®êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (S

b) CMR t©m cđa (S
m
) lu«n ch¹y trªn mét ®êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi.
c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m

0) ,c¾t (C) t¹i T, S ,
®êng th¼ng qua A , T c¾t ®êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4. b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ
t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thc 0x. d) Hai ®Çu ®êng kÝnh lµ A(-1;2;3),
B(3;2;-7)
Bµi 6:
Cho 3 ®êng th¼ng (d
1
),(d
2
), (d
3
) cã ph¬ng tr×nh :
 
1
1
4
2
3
2
:
1


3
1
:
3







zyx
d

a) LËp pt®t (d) c¾t c¶ (d
1
),(d
2
) vµ song song víi (d
3
).
b) Gi¶ sư






Add 
1

2
1
2
:
1
,
 
1
9
2
3
1
7
:
2






zyx
d

a) CMR (d
1
) vµ (d
2
) chÐo nhau. b) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng vu«ng gãc chung cđa (d
1

c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
d) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 12:
Cho bốn điểm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc BC .Tìm toạ
độ của điểm H.
b) (HVNHTPHCM-99):Viết pttq của (BCD) .Tìm kc từ A đến (BCD). c) Viết ptmc ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 13:
Trong không gian 0xyz, cho hình chóp .biết toạ độ bốn đỉnh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4),
D(3;1;0).
a) Lập pt các mặt của hình chóp. b) Lập pt mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp . c) Tính V
SABCD

Bài 14: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện bằng nhau . b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ
diện.
c) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp tứ diện ABCD.


trong không gian
Ta có :
, ,
Ox Oy Oz
vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh vuông góc
thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :

Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật
''''. DCBAABCD
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a a a'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A a B a a C a a a a a

Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)
A B a C a b b
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h


Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó :














Với hình chóp tam giác đều S.ABC

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
A

B

C

D

D’

C

A
’

B’

O
O’
x

y
B’


zS

z
23
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h
. Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; ;0;0
2 2
a a
A B
   

   
   3 3

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; ; ;0
B a C a b

0; ;0 ; (0;0; )
D b S h Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA

(ABCD) ABCD là hình thoi cạnh

;
AB a AC b
 
đường cao bằng
h
.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; C 0; ;0
B a b

S 0;0;
h B



z
B

C

A

S

x

y

z

24 Với hình chóp S.ABC có SA



Với hình chóp S.ABC có (SAB)

(ABC),

SAB cân tại S
và

ABC vuông tại C 
ABC vuông tại C
;
CA a CB b
 

chiều cao bằng
hH là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao

ABC vuông tại A
;
AB a AC b
 

chiều cao bằng
hH là trung điểm của AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)

Khi đó :




;0;0 ; C 0; ;0
B a b (0; ; )
2
a
S h

x

yB

C

A

H
S

x

y

zB
C

A

H
S

x