Trang 1
Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1. Các giới hạn đặc biệt:
a)
®
=
x0
sinx
lim1
x

Hệ quả:
®
=
x0
x
lim1
sinx

®
=
u(x)0
sinu(x)
lim1
u(x)

®
=
u(x)0
u(x)
lim1

x
x0
e1
lim1
x
®
-
=

2. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và các hệ quả:
(c)’ = 0 (c là hằng số)
1
(x)'x
aa-
=a
1
(u)'uu'
aa-
=a
2
11
'
xx
ỉư
=-
ç÷
èø

2
1u'

=
u'
(lnu)'
u
=
a
1
(logx')
x.lna
=
a
u'
(logu)'
u.lna
=
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
2
1
(tgx)'1tgx
cosx
==+
2
2
u'
(tgu)'(1tgu).u'
cosu
==+
2
2

+-
==

2. Đònh lý:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) thì :
a/ Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên
khoảng đó.
b/ Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a ; b) đều có thể
viết dưới dạng: F(x) + C với C là một hằng số.
Người ta ký hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là
f(x)dx.
ò
Do
đó viết:
f(x)dxF(x)C=+
ò

Bổ đề: Nếu F¢(x) = 0 trên khoảng (a ; b) thì F(x) không đổi trên khoảng đó.

3. Các tính chất của nguyên hàm:
·
(
)
f(x)dx'f(x)=
ò

·
af(x)dxaf(x)dx(a0)=¹
òò


1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

1
u
uduC(1)
1
a+
a
=+a¹-
a+
ò

dx
lnxC(x0)
x
=+¹
ò

du
lnuC(uu(x)0)
u
=+=¹
ò

xx

ò

sinuducosuC=-+
ò

2
2
dx
(1tgx)dxtgxC
cosx
=+=+
òò

2
2
du
(1tgu)dutguC
cosu
=+=+
òò

2
2
dx
(1cotgx)dxcotgxC
sinx
=+=-+
òò

2


dx1
lnaxbC
axba
=++
+
ò

axbaxb
1
edxeC(a0)
a
++
=+¹
ò

dx2
axbC(a0)
a
axb
=++¹
+
ò Trang 4

Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Bài toán 1: CMR F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b)

2
F(x)ln(xxa)=++ với a > 0
là một nguyên hàm của hàm số
2
1
f(x)
xa
=
+
trên R.
Giải:
Ta có:
2
2
2
22
2x
1
(xxa)'
2xa
F'(x)[ln(xxa)]'
xxaxxa
+
++
+
=++==
++++

2
222

³
=
í
+<
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với
x0¹
, ta có:

x
ekhix0
F'(x)
2x1khix0
ì
>
=
í
+<
ỵ

b/ Với x = 0, ta có:
Trang 5
· Đạo hàm bên trái của hàm số tại điểm x
0
= 0.

20

Tóm lại:
x
ekhix0
F'(x)f(x)
2x1khix0
ì
³
==
í
+<
ỵ

Vậy F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên R.

Bài toán 2
: Xác đònh các giá trò của tham số để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x)
trên (a ; b).
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a ; b), điều kiện là:

F'(x)f(x)vớix(a;b)="Ỵ
Dùng đồng nhất của hàm đa thức Þ giá trò tham số.
Chú ý: Nếu thay (a ; b) bằng [a ; b] thì phải thực hiện chi tiết hơn, như sau:
+ Bước 1: Xác đònh F’(x) trên (a ; b)
Xác đònh F’(a
+
)
Xác đònh F’(b

F(x)
axbkhix1
ì
£
=
í
+>
ỵ

là một nguyên hàm của hàm số:
2xkhix1
f(x)
2khix1
£
ì
=
í
>
ỵ
trên R.
Giải:
Để tính đạo hàm của hàm số F(x) ta đi xét hai trường hợp:
a/ Với x1¹ , ta có:
2xkhix1
F'(x)
2khix1
<
ì
=
í

x1x1x1
F(x)F(1)axb1ax1a1
F'(1)limlimlima.
x1x1x1
+++
+
®®®
-+-+
==== Hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1
F'(1)F'(1)a2.
-+
Û=Û= (2)
Thay (2) vào (1), ta được b = –1.
Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm tại điểm x = 1, nếu và chỉ nếu a = 2, b = –1.
Khi đó: F’(1) = 2 = f(1)
Tóm lại với a = 2, b = 1 thì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x).
Ví dụ 4
: Xác đònh a , b , c để hàm số:
-
=++
22x
F(x)(axbxc)e là một nguyên hàm của
22x
F(x)(2x8x7)e
-
= + trên R.
Giải:

Vậy
-
=-+
22x
F(x)(x3x2)e .
Trang 7
BÀI TẬP
Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số
x
F(x)lntg
24
p
ỉư
=+
ç÷
èø

Từ đó suy ra nguyên hàm của hàm số
1
f(x)
cosx
= .
Bài 2
. Chứng tỏ rằng hàm số
2
ln(x1)
,x0
F(x)
x
0,x0

. Xác đònh a, b, c sao cho hàm số
2x
F(x)(axbxc).e
-
=++ là một nguyên hàm của
hàm số
2x
f(x)(2x5x2)e
-
=-+ trên R.
ĐS
: a = –2 ; b = 1 ; c = –1.
Bài 4. a/ Tính nguyên hàm
32
2
x3x3x7
F(x)củaf(x)vàF(0)8.
(x1)
++-
==
+

b/ Tìm nguyên hàm F(x) của
2
x
f(x)sinvàF.
224
pp
ỉư
==

èø
-

b/ Tìm nguyên hàm G(x) của f(x) với G(2) = 0.
ĐS
: a/ a4;b2;c1;==-= b/
2
G(x)(4x2x10)2x322.=-+ Trang 8
Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG
CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

Ví dụ 1: CMR , nếu
f(x)dxF(x)C=+
ò
thì
1
f(axb)dxF(axb)Cvớia0.
a
+=++¹
ò


x
x
2e
dx
e1+
ò
d/
2
(2lnx1)
dx
x
+
ò

Giải:
a/ Ta có:
44
33
11(2x3)(2x3)
(2x3)dx(2x3)d(2x3).CC.
2248
++
+=++=+=+
òò

b/ Ta có:
5
44
cosx
cosx.sinxdxcosxd(cosx)C

2sindx
2
ò
b/
2
cotgxdx
ò
c/
tgxdx
ò
d/
3
tgx
dx
cosx
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
x
2sindx(1cosx)dxxsinxC
2
=-=-+
òò

b/ Ta có:
2
2
1

x
dx
1x+
ò
b/
2
1
dx
x3x2-+
ò

Giải:
a/ Ta có:
2
2
22
x1d(1x)1
dxln(1x)C
1x21x2
+
==++
++
òò

b/ Ta có:
2
1111
dxdxdx
x3x2(x1)(x2)x2x1
ỉư

1
cosxcosxC.
3
-++
Bài 7. Tính các tích phân bất đònh :
a/
xx
e(2e)dx;
-
-
ò
b/
x
x
e
dx;
2
ò
c/
2xxx
x
2.3.5
dx
10
ò
.
d/
25x
x
e1

d/
26xx
1
eeC;
6

+ e/
x
ln(e2)C++.
Bài 8. Tính các tích phân bất đònh :
a/
44
xx2dx
-
++
ò
; b/
3
5
xxdx
ò
; c/
2
xx1dx+
ò
;
d/
2001
(12x)dx;-
ò

1
(34lnx)34lnxC.
6
+++
Trang 10

Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH

Phương pháp phân tích thực chất là việc sử dụng các đồng nhất thức để biến đổi biểu
thức dưới dấu tích phân thành tổng các biểu thức mà nguyên hàm của mỗi biểu thức đó
có thể nhận được từ bảng nguyên hàm hoặc chỉ bằng các phép biến đổi đơn giản đã biết.
Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt là phép phân tích là có thể rút ra ý tưởng cho riêng
mình từ một vài minh hoạ sau:
· Với
3263
f(x)(x2)thìviếtlạif(x)x4x4.=-=-+
· Với
2
x4x52
f(x)thìviếtlạif(x)x3
x1x1
-+
==-+

.
· Với
2
111
f(x)thìviếtlạif(x)
x5x6x3x2

1x1x
++
=+
++
.
Đó chỉ là một vài minh hoạ mang tính điển hình.

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2002
Ix(1x)dx.=-
ò

Giải:
Sử dụng đồng nhất thức : x = 1 – (1 – x)
ta được:
2002200220022003
x(1x)[1(1x)](1x)(1x)(1x) = =
Khi đó:

2002200320022003
20032004
I(1x)dx(1x)dx(1x)d(1x)(1x)d(1x)
(1x)(1x)
C.
20032004
= = +

=-++
òòòò



=++-++
òò2
11
[lnaxb]C.
aaxb
=+++
+

· Với a = –1, ta được:

1
22
11
I[d(axb)(axb)d(axb)][axblnaxb]C.
aa
-
=+-++=+-++
òò

· Với R\{2;1}, ta được:
21
2
1(axb)(axb)
I[]C.
a21
a+a+

=-=-= +
ç÷
èø
òòòò
1dxdx1d(x3)d(x1)1
I.['.(lnx3lnx1)C
2x3x12x3x12-
=+
-
1x3
lnC.
2x1Ví dụ 3
: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
x2x3
=
++-
ò

Giải:
Khử tính vô tỉ ở mẫu số bằng cách trục căn thức, ta được:

11

1
1sinxcosxsinx1sinx1
2

xx
sinx.cosxsinx.sinxcosxsinxcosx
costg
22
+
==+=+
Suy ra:
22
2
x
1
dtg
sinxd(cosx)1x
2
2
IdxdxlntgC.
xxx
cosxcosxcosx2
costgtg
222
ỉư
ç÷
èø
=+=-+=++
òòòò


23
f(x)(12x);=- b/
3x2
3
2xxe3x
f(x)
x

= ;
c/
2
(2x)
f(x);
x
+
=
d/
1
f(x)
3x43x2
=
+-+

ĐS: a/
357
128
x2xxxC
57
-+-+ ; b/
x

2
4x6x1
f(x);
2x1
++
=
+

c/
32
4x4x1
f(x);
2x1
+-
=
+
d/
3
2
4x9x1
f(x);
94x
-++
=
-

ĐS
: a/
1x5
lnC;

pp
æöæö
-+
ç÷
ç÷
èø
èø
c/
3
cosx;
d/
4
cosx; e/
44
sinxcosx;+ f/
66
sin2xcos2x.+

ÑS
: a/
1
xcos2xC
2
-+ ; b/
171
sin5xsinxC
1012212
pp
æöæö
++-+

là hàm số có đạo hàm thì
f(u)duF(u)C=+
ò
.
b/ Nếu hàm số f(x) liên tục thì khi đặt x = j(t) trong đó j(t) cùng với đạo hàm của nó
(j’(t) là những hàm số liên tục, ta sẽ được:
f(x)dxf[(t)].'(t)dt.=jj
òò

Từ đó ta trình bày hai bài toán về phương pháp đổi biến như sau:
Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tích tích phân bất đònh
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn x = j(t), trong đó j(t) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp.
+ Bước 2: Lấy vi phân dx = j’(t)dt
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt
+ Bước 4: Khi đó
Ig(t)dt.=
ò

Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:
Dấu hiệu Cách chọn
22
ax-
xasintvớit
22
xxcostvới0t

22
ax+
xatgtvớit
22
xacotgtvới0t
pp
é
=-<<
ê
ê
=<<p
ê
ë

axax
hoặc
axax
+-
-+

x = acos2t
(xa)(bx)
x = a + (b – a)sin
2
t

Ví dụ 1: Tính tích phân bất đònh:
2
dx
I.

Chú ý: Trong ví dụ trên sở dó ta có:
233
2
x
(1x)costvàtgt
1x
-==
-

là bởi:
2
22
costcost
tcost0
22
cost1sint1x
ì
=
pp
ï
-<<Þ>Þ
í
=-=-
ï
ỵ

Ví dụ 2
: Tính tích phân bất đònh:
2
2

-22
222
1111
(cotgt.tgt.)dt
4sintcostsintcost
11121
(cotgt.tdt.)
4sintcosttgtcost
1d(tgt)
[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2].
4tgt
=-++
=-++
= ++

Khi đó:
1d(tgt)
I[cotgt.d(cotgt)tgt.d(tgt)2]
4tgt
= ++
òòò2222
22
11111
(cotgttgt2lntgt)C(cotgttgt)lntgtC

11
1
sin2t
sin2t

Trang 16
Ví dụ 3: Tính tích phân bất đònh:
23
dx
I
(1x)
=
+
ò

Giải:
Đặt: xtgt;t
22
pp
=-<< . Suy ra:
3
22
23
dtdxcostdt
dx&costdt.
costcost
(1x)
===
+


pp
ï
-<<Þ>Þ
í
==
ï
+
ỵ

2. Phương pháp trên được áp dụng để giải bài toán tổng quát:

222k1
dx
I,vớikZ.
(ax)
+
=Ỵ
+
òBài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 2 tích tích phân
If(x)dx.=
ò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước:
+ Bước 1: Chọn t = y(x), trong đó y(x) là hàm số mà ta chọn cho thích hợp
+ Bước 2: Xác đònh vi phân =ydt'(x)dx.
+ Bước 3: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử rằng f(x)dx = g(t)dt

f(x)
(xa)(xb)
=
++

· Với x + a > 0 & x + b > 0, đặt: txaxb=+++
· Với x + a < 0 & x + b < 0, đặt: txaxb=-+

Trang 17
Ví dụ 4: Tính tích phân bất đònh:
328
Ix(23x)dx.=-
ò

Giải:
Đặt:
2
t23x=- . Suy ra: dt6xdx=

328228898
2t2t11
x(23x)dxx(23x)xdx.t.dt(t2t)dt.
33618


222
42
xdx(1t)(2tdt)
dx2tdt&2(t2t1)dt
t
1x

=-==-+
-

Khi đó:
425342
122
I2(t2t1)dt2tttC(3t10t15)tC
5315
ỉư
=-+= ++= ++
ç÷
èø
ò

22
22
[3(1x)10(1x)15]1xC(3x4x8)1xC
1515
= +-+=-++-+

Ví dụ 6: Tính tích phân bất đònh:
522
3

Khi đó:
7485632
33113
I(tt)dtttC(5t8t)tC
8885320
ỉư
=-=-+=-+
ç÷
èø
ò22222
3
3
[5(12x)8(12x)](12x)C
320
= +

4222
3
3
(20x4x3)(12x)C.
320
= +
Ví dụ 7: Tính tích phân bất đònh:
3
Isinxcosxdx.=
ò


=-+
Ví dụ 8: Tính tích phân bất đònh:
3
2
cosx.sinxdx
I
1sinx
=
+
ò

Giải:
Đặt:
22
t1xx1tat1sinx=-Þ=-=+
Suy ra: dt2sinxcosxdx,=

32
22
cosx.sinxdxsinx.cosx.sinxdx(t1)dt11
1dt.
1sinx1sinx2t2t
-
ỉư
===-
ç÷
++
èø

Khi đó:

2222
862422
222
cosxdxcosxdx1dxdx
cotgxcotgx.(1cotgx)
sinxsinxsinxsinxsinxsinx
t.(1t)dt.
===+
=+

Khi đó:
22642753
121
It.(1t)dt(t2tt)dttttC
753
ỉư
=+=++=+++
ç÷
èø
òò753
1
(15cotgx42cotgx35cotgx)C.
105
=+++
Ví dụ 10: Tính tích phân bất đònh:
xx/2
dx
Trang 19
Khi đó:
x/2x/2
1
I21dt2(elne1)C.
t1

ỉư
=+=+++
ç÷
-
èø
ò

Chú ý
: Bài toán trên đã dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến
x/2
te,
-
=
tuy nhiên với cách đặt
x/2
te=
chúng ta cũng có thể thực hiện được bài toán.
Ví dụ 11: Tính tích phân bất đònh:
x
dx
I

-+-
==+=+
-+
++
ò

Cách 2:
Đặt:
x/2
te
-
=
Suy ra:
x/2
x/2
1dx
dtedx2dt,
2e
-
=Û-=

xxxx/2x2
dxdxdx2dt
1ee(e1)ee1t1

-
===
++++

Khi đó:

xaxaxa
++
ỉư
=+=Û=
ç÷
+++
èø

Khi đó:
2
dt
IlntClnxxaC.
t
==+=+++
ò

Ví dụ 13
: Tính tích phân bất đònh:
dx
I
(x1)(x2)
=
++
ò
.
Giải:
Ta xét hai trường hợp:
· Với
x10
x1

· Với
x10
x2
x20
+<
ì
Û<-
í
+<
ỵ

Đặt:
t(x1)(x2)=-++-+
Suy ra:
[(x1)(x2)]dx
11
dtdx
2(x1)2(x2)2(x1)(x2)
-++-+
éù
= =
êú
-+-+++
ëûdx2dt
t
(x1)(x2)
Û=-

-
d/
2
4
x1
f(x);
x1
-
=
+

ĐS: a/
121110
121
(x1)(x1)(x10)C.
121110
-+-+-+ b/
5
5
1x2
lnC.
20x2
-
+
+

c/
2
2x5
lnx2C;

32
1
f(x).
xx
=
-

ĐS: a/
323
22
x(x1)C;
33
+ b/
222
x
C;
axa
+
+

c/
3
66
x
6xlnx1C.
2
ỉư
++-+
ç÷
èø

1
f(x).
sinx
=
ĐS: a/
2148
333
333
sinxsinxsinxC;
2144
+-+

Trang 21
b/
x
lntgC;
24
p
ỉư
++
ç÷
èø
c/
3
3
1sin2xC;
2
-+
d/
2

f(x);
94
=
-
d/
1
f(x);
xlnx.ln(lnx)
=

ĐS
: a/
x2x
ln(ee1)C;

-+++ b/
x
x
xe
lnC;
1xe
+
+

c/
xx
xx
132
,lnC;
2(ln3ln2)32

dvf(x)dxv
=
ì
ì
Þ
íí
=
ỵ
ỵ

+ Bước 3: Khi đó: Iuvvdu.=-
ò

Ví dụ 1
: Tích tích phân bất đònh:
2
2
xln(xx1)
I
x1
++
=
+
ò
.
Giải:
Viết lại I dưới dạng:
2
2
x

==
Þ
íí
+++
=
ïï
+
ỵ
ï
=+
ỵ

Khi đó:
2222
Ix1ln(xx1)dxx1ln(xx1)xC.=+++-=+++-+
ò

Ví dụ 2: Tích tích phân bất đònh: Icos(lnx)dx.=
ò

Giải:
Đặt :
1
ucos(lnx)
dusin(lnx)dx
x
dvdx
vx
-
ì

ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó: Jx.sin(lnx)cos(lnx)dxx.sin(lnx)I=-=-
ò
(2)
Trang 23
Thay (2) vào (1), ta được:
x
Ix.cos(lnx)x.sin(lnx)II[cos(lnx)sin(lnx)]C.
2
=+-Û=++
Chú ý
: Nếu bài toán yêu cầu tính giá trò của một cặp tích phân:
12
Isin(lnx)dxvàIcos(lnx)dx==
òò

ta nên lựa chọn cách trình bày sau:
· Sử dụng tích phân từng phần cho I
1
, như sau:
Đặt :
1

x
dvdx
vx
ì
=
=-
ì
ï
Þ
íí
=
ỵ
ï
=
ỵ

Khi đó:
21
Ix.cos(lnx)sin(lnx)dxx.cos(lnx)I.(4)=-=+
ò

· Từ hệ tạo bởi (3) và (4) ta nhận được: 12
xx
I[sin(lnx)cos(lnx)]C.I[sin(lnx)cos(lnx)] C.
22
=-+=++


Khi đó:
2
2
1
Iln(cosx).tgxtgxdxln(cosx).tgx1dx
cosx
ỉư
=+=+-
ç÷
èø
òòln(cosx).tgxtgxxC.=+-+

Bài toán 2
: Tính IP(x)sinxdx(hoặcP(x)cosxdx)=aa
òò
với P là một đa thức thuộc
*
R[X]vàR.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Trang 24
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
duP'(x)dx
uP(x)
.
1

Sử dụng phương pháp hệ số bất đònh ta xác đònh được các đa thức A(x) và B(x)
+ Bước 3: Kết luận.
Nhận xét: Nếu bậc của đa thức P(x) lớn hơn hoặc bằng 3 ta thấy ngay cách 1 tỏ ra quá
cồng kềnh, vì khi đó ta cần thực hiện thủ tục lấy tích phân từng phần nhiều hơn ba lần.
Do đó ta đi tới nhận đònh chung sau:
– Nếu bậc của P(x) nhỏ hơn hoặc bằng 2, ta lựa chọn cách 1.
– Nếu bậc của P(x) lớn hơn 2, ta lựa chọn cách 2.
Ví dụ 4: Tính :
2
Ix.sinxdx=
ò
(ĐHL_1999)
Giải:
Biến đổi I về dạng cơ bản:

2
1cos2x1111
Ixdxxdxxcos2xdxxxcos2xdx(1)
22242
-
ỉư
==-=-
ç÷
èø
òòòò

Xét
Jxcos2xdx.=
ò


=-=++
ò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
2
1x1
Ixsin2xcos2xC.
448
=+++
Ví dụ 5: Tính :
32
I(xx2x3)sinxdx.=-+-
ò

Trang 25
Giải:
Ta có:
32
I(xx2x3)sinxdx=-+-
ò3232
11112222
(axbxcxd)cosx(axbxcxd)sinxC(1)=++++++++
Lấy đạo hàm hai vế của (1), ta được:

3232
2121212
32

11112222
a1,b1,c4,d1,a0,b3,c2,d4.=-======-=-
Khi đó:
322
I(xx4x1)cosx(3x2x4)sinxC.=-++++-++

Bài toán 3
: Tính
( )
axax
Iecos(bx)dxhoặcesin(bx)vớia,b0.=¹
òò

PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta lựa chọn một trong hai cách sau:
· Cách 1: (Sử dụng tích phân từng phần). Ta thực hiện theo các bước sau:
+ Bước 1: Đặt :
ax
ax
dubsin(bx)dx
ucos(bx)
.
1
ve
dvedx
a
=-
ì
=
ì

a
=
ì
=
ì
ï
Þ
íí
=
=
ỵ
ï
ỵ

Khi đó:
axaxax
1b1b
Jesin(bx)ecos(bx)dxesin(bx)I.(2)
aaaa
=-=-
ò

+ Bước 3: Thay (2) vào (1), ta được:
ãax
1b1b
Iecos(bx)[esin(bx)I]
aaaa
=+-

ax