Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 1
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
A. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Dấu hiệu
Cách chọn
22
ax

Đặt x = |a| sint; với
;.
22
t






hoặc x = |a| cost; với
 
0; .t



22
xa



22
ax

Đặt x = |a|tant; với
;.
22
t






hoặc x = |a|cost; với
 
0; .t



.
ax
ax


hoặc
.
ax
ax


1
.
x
I dx
x




Giải:
Đặt x = cost,
;.
22
t





.

dx = - sint dt
Đổi cận:
x
2
2

4



4
2
0
sin .sintt
dt
cos t



=
2
4
2
0
sin t
dt
cos t



=
4
2
0
1
1 dt
cos t




2 2 2
0
.
a
I x a x dx


Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 2
Đặt x = asint
,;
22
t






.
dx = acostdt Đổi cận:
x
0
a

0
14
8
a
cos t dt



4
1
sin4
2
84
0
a
tt






4
16
a



Bài 3: Tính
1

.1I x x dx


2
22
0
sin 1 sin .t t costdt




2
22
0
1
sin
4
tcos tdt




2
2
0
1
sin 2
4
tdt


1
32
0
.1I x x dx


Giải:
Đặt t =
2
.1 x


t
2
= 1 – x
2

.
xdx = -tdt
Đổi cận:
x
0
1
t
1
0
Khi đó:
1
32
0



2
.
15


Bài 5: Tính
2
5
.
ln
e
e
dx
I
xx



Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 3
Đặt t = lnx

dt =
dx
x

=
4
2
1 15

1
4 64t





Bài 6: Tính
 
1
4
34
0
1.I x x dx


Giải:
Đặt t = x
4
+ 1

dt = 4x
3
dx
3







Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx




Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx

Đổi cận:
x
0
2


t
0
1
Khi đó:
1





Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin4
4
dt
dt in xdx xdx     

Đổi cận:
x
0
12


Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 4
t
1
1
2

Khi đó:
1
1
12 12 2
1

0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
  
  
  

Đặt t = sinx ;
dt cosxdx

Đổi cận:
x
0
2


t
0
1

Khi đó:
     
35
2 2 2 2
22
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
25
1 sin 1 1 2 .
0

x
0
4


t
0
1
Khi đó:
   
1
3
44
22
42
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
0
33
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x


       


  


5
t
1
2

1
Khi đó:
11
3 2 2
22
2 2 2 2
11
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t



   
        
   
   

3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1
sin sin 1 sin 1
0
4 6 12
tt
I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt


         


   

Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin2 .
x
I e xdx




Giải:
Đặt t = sin

2
2
0
sin2
.
1
x
I dx
cos x





Giải:
Đặt t = 1 + cos
2
x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt     

Đổi cận:
x
0

2


t
2
1



Giải:
Đặt t = tanx ;
   
22
2
1 tan 1 .
1
dt
dt x dx t dt dx
t
      


Đổi cận:
x
0

4


t
0
1
Khi đó:
 
 
 
2

      
     

Bài 16: Tính
1
0
1
.
1
I dx
x




Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt   

Đổi cận:
x
0

1
t
0
1


Giải:
Đặt t =
3
4 3 4 3 2
3
11
4
x t x x dx t dt      

Đổi cận:
x
0

1
t
1
0
Khi đó:
11
3
3 4 3 4
00
1
3 3 3
1.
0
4 16 16
I x x dx t dt t    


x






Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 7
Đặt
1 3tanxt
với
 
2
; . 3 1 tan .
22
t dx t dt


    



Đổi cận:
x
-1
0
t

1
x
I dx
x




Giải:
Ta có:
 
11
33
2
8
4
00
.
1
1
xx
dx dx
x
x





Đặt

82
4
0 0 0 0
1 1 tan 1 1

4
1 4 1 tan 4 4 16
1
0
x x t
I dx dx dt dt t
xt
x




     


   

Bài 20: Tính
1
1 ln
.
e
x
I dx
x

.2 2 2
33
1
e
xt
I dx t tdt t dt
x


    
  

Bài 21: Tính
 
1
0
ln 2
.
2
x
I dx
x





Giải:
Đặt
 

2 2 2
x
t
I dx tdt tdt
x

     

  

Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin
cosx
I dx
x





Giải:
Đặt
sin tanxt
với
 
2
; 1 tan .

  


   

  

Bài 23: Tính
2
3
1
.
sin
I dx
x





Giải:
Đặt
2
2
12
tan 1 tan .
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t


t
3
3

1
Khi đó:
 
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1
ln ln ln3
3
sin 3 2
3
I dx dt t
xt


     


Bài 24: Tính
 
1
1

2
11
2
1
ln ln2
1
1 ln
e
dt
I dx t
x x t
   



Bài 25: Tính
3
1
5
0
.
x
I x e dx


Giải:
Đặt
3 2 2
3.
3

1
1
.
1
x
I dx
xx






Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
42
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1


Đặt
2
11
1.t x dt dx
xx

    



Đổi cận:
x
1
15
2


t
0
1
Khi đó:
1
2
0
.
1
dt
I
t

I du du u
tu




    

  

Bài 27: Tính
2
3
1
.
1
dx
I
xx




Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 10
Ta có:
22

 
 
2 2 3 3
2
2
3 3 3
11
22
2
2 1 1 1
.
3 1 3 1 1
11
33
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
21
22
2 2 1
21
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
tt
t

     




Giải:
Ta có:
 
22
33
2
2
00
33
.
21
1
xx
dx dx
xx
x





Đặt
1t x dt dx   

Đổi cận:
x
0

1
22
t t t
t
xx
I dx dx dt dt
x x t t
x
t
t t dt t t
tt

  

    




                 




   
Bài 29: Tính
ln2
11
   
ln2 ln2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1
22
11
3 3 3 2 1
3 2 3 2 3 2 1 2
22
1 1 3 4 9 4 27
2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln2 ln4 ln3 2ln ln ln ln ln
11
1 2 2 3 4 3 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
tt
  

     

       

Khi đó:
 
   
 
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
22
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
xx
tt

     

  



     




Khi đó:
   
 
 
2
1
2 2 2 2
33
2 2 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
22
0 0 0 0 0
2
0
12
1 1 sin . .
2
1 1 1 1 1 1 sin 2 1
1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4
2
4 4 2 8 4 2 2 2 8
0
11
8 8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t

     
Bài 32: Tính
2
3
6
.I cos xdx





Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 12

   
 
3
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
sin
2
. 1 sin 1 sin sin sin
3



Giải:

4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
22
2
0
sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x


Giải:
 
 
 
2
32
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
   
   
  
  



Giải:
 
 
22
44
sin
sin
2
ln sin ln 2
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx







     





Bài 36: Tính
2



  

Bài 37: Tính
3
.
sin
cos x
I dx
x



Giải:
   
 
   
22
3
2
0
2
4 3 4 1 sin 3
3 4 3
. . sin
sin sin sin sin
11
4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2

2
s 3 3s 4sin 1
3 4sin 3 2 1 2 3 2 2. sin2
sin sin 2
sin2
in x inx x
I dx dx x dx x cos x dx x x x c
xx
x x C

          
  
   

Bài 39: Tính
1
42
0
.
1
x
I dx
xx




Giải:
1 Đặt
2

2 Đặt
1
2
y t dy dt   

Đổi cận:
t
0
1
y
1
2

3
2

Khi đó:
3
1
2
22
1
0
2
2
11
22
13
3
24

3
2

z
1
3

3

Khi đó:
3
33
2
2
2
2
1 1 1
2
2
33
1 3 1
33
2 4 1
3
3
44
4
dy dz dz
I
z

Ta được:
3
2
3
22
1
6
3
1 1 1 tan 1
3
.
1 1 tan
3 3 3 6 3
6
dz u
I du u
zu






   



Bài 40: Tính
 
1

2
22
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln3 .
1
2 4 4 4 3
21
t
x dt
I dx dt t
t t t t
x

     
       
     
     

  

Bài 41: Tính
 
0
9
2
1

I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t

          

      


   

Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 15
Bài 42: Tính
2
0
.
1
dx
I
cosx





Giải:
2 2 2
22


Giải:
Ta có:
11
15 8 8 8 7
00
. 1 3 . . 1 3 .x x dx x x x dx  


7 Đặt
87
1 3 24 .
24
dt
t x dt x dx dx     

Đổi cận:
x
0
1
t
1
4
Khi đó:


53
1 1 4 4
22
3

I dx
xx




Giải:








 


3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
22
2
22
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0

12t x dt xdx   

Đổi cận:
x
0
1
t
1
2
Khi đó:
 


2 2 2 2
3 3 5 3
11
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
53
22
22
1 1 1 1 1 2
1.
11
2 2 2 2 5 3
2 1 2 1 4 2 2 2 2 2 2 2
5 5 3 3 5 3 15 15 15
J t t dt t t dt t dt t dt t t        
        
   

sin4 2sin 2 2
11
x xcos x
dx dx
cos x cos x





9 Đặt
2
1 2sin sin2t cos x dt xcosxdx xdx     

10
 
22
1 2 2 1 2 1 1 2 3cos x t cos x cos x t t         

Đổi cận:
x
0
4


t
2
3
2


  

Bài 46: Tính
2
4
.
1 sin2
dx
I
x






Giải:
 
2 2 2 2
22
2
4 4 4 4
1 1 1
2
tan
1 sin2 2 2 4 2
sin
2
4
4


   

Bài 47: Tính
 
4
3
0
s2
sin 2
co x
I dx
x cosx





Giải:
Ta có:
 
  
 
44
33
00
sin sin
s2
sin 2 sin 2
cosx x cosx x

2 2 2 2
3 2 3 2
00
2
1 2 1 1 1 1 1 1
22
39
2 2 6 4 2
0
1 2 2 2 2 1 2 2 1 4 2 4 9 4 2 5
9 9 9
6 4 2
2 3 2 2 2 2 1 18 2 1 18 2 1
t
I dt dt
t t t t t



   
           
   

   
     
       

   



   


12 Đặt
 
sin 2 sint cosx x dt cosx x dx     

Đổi cận:
x
0
4


t
2
22

Khi đó:
 
 
 
 
2 2 2 2
00
2
2
22
1 2ln 2 2 2ln 2 2 3 2ln3
0
3

13 Đặt
2
1 sin 2 2sin sin2t x dt xcosxdx xdx     

Đổi cận:
x
0
2


t
1
2
Khi đó:
 
2
4
2
3
23
01
2
1 15
sin2 1 sin 4
1
4 4 4
t
I x x dx t dt

      

sint cosx dt xdx   

Đổi cận:
x
0
2


t
1
0
Khi đó:
   
01
2 3 4
2 3 2 3
10
1
2 17
22
0
2 3 4 12
t t t
I t t t dt t t t dt

          





  

   
  

15 Đặt
   
 
22
2 2 2 2 2 2 2 2 2
22
2 2 sin
sin sin
sin
tdt b a xcosxdx
t b a x a t b a x a
tdt
xcosxdx
ba



       






Đổi cận:


Bài 52: Tính
2
3
0
1
.
32
x
I dx
x





Giải:
16 Đặt
3
32
3
2
3 2 3 2 3 3 ;
3
t
t x t x t dt dx x

       

Đổi cận:



        







Bài 53: Tính
4
2
7
.
9
dx
I
xx




Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 19
Giải:
17 Đặt
 



Bài 54: Tính
4
0
.
1 tan
dx
I
x





Giải:Đặt
 
2
2 2 2
1
tan 1 tan .
1 tan 1
dt dt
t x dt dx x dx dx
cos x x t
       





     
  
   
  




1 Tính:
1
1
0
1
1 1 ln2
ln 1 .
0
2 1 2 2
dt
Jt
t
   



2 Tính:
 
2

J du
t


  


(với t = tanu)
Vậy
ln2 ln 2 ln2
.
2 4 8 8 4
I

    

Bài 55: Tính
2
3
.
sin
dx
I
x





Giải:

1
2

0
Khi đó:
 
1 1 1 1
0
2 2 2 2
22
1
0 0 0 0
2
1
1 1 1 1 1 1 1 1 3
ln 1 ln 1 ln ln
2
1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2
0
dt dt dt dt
I dt t t
t t t t t t

   
               
   
     
   
    


  
  

1 Tính
3
1
2
0
.
xdx
I
cos x




Đặt
2
1
tan
ux
du dx
vx
dv dx
cos x







         

   

2 Tính
 
33
2
22
00
sin 1
2 1 1
3
0
d cosx
x
I dx
cos x cos x cosx



     


Vậy
3
ln 2 1
3
I




3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
22
2
22
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2
0 0 0 0
11
1
1
1
11
1
1
1. 1. 1.
0
55
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
xx
xx

2 2 2 2
1 1 1 1
53
22
53
22
1 1 1 1 1 1 1
1.
2 5 2 5 5 2 2
2
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 4 2 2 2 1 2 2

1
5 2 5 2 3 5 5 5 5 3 3 5 5 3 15 15
I t t dt t t dt t dt t dt
tt
         

                


   

Bài 58: Tính
1
1
.
54
x
I dx

11
8 16 3 8 24 4 12 6
t
dt
xt
I dx dt dt tdt
x t t t
tt







     

        
    

Bài 59: Tính
9
3
1
1.I x xdx


Giải:
22 Đặt
1t x dt dx    


               



  

Bài 60: Tính
3
6
.
sin sin
6
dx
I
xx










Giải:
Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn



 
 
 
 
 
  
 
3 3 3
22
6 6 6
3
6
2 tan tan
2
23
s 3 tan tan tan 3 tan 1 3 tan 3tan 1
11
2 3 tan
3 tan 3 tan 1
d x d x
dx
co x x x x x x x
dx
xx
  
  


dx
xx
x
x






         




  



Bài
61: Tính
1
2
0
.
3
x
dx
I
e

1 2 1
3 2 2
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 3
. ln ln 3 2 ln
1
2 3 3 6 6 4
e e e e
x
e
dt
dx dt tdt tdt
I
e
t t t t t t t t
e
e
d t t t
tt
    

   




      




t
1
6
Khi đó:
 
16
2
2
21
6
1 1 1 1 1
1
5 5 30 5 6
11 5
dx dt
I
tt
x


      



Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 23
Bài 63: Tính
 

sin ln
sin 1 0 1 1
0
e
x
I dx tdt cost cos cos cos
x
        


Bài 64: Tính
5
2
3
9.I x dx


Giải:
26 Đặt
2
2
2 2 2
2
2
9
9
2
9 9 9
9
2 2 2

I x dx dt dt t
t t t t t



         




  

Bài 65: Tính
 
4
2
12
1
.
sin
I dx
x cosx







Giải:






Bài 66: Tính
1
0
sin .I xdx


27 Đặt
2t x dx td  

Đổi cận:
x
0
1
t
0
1
Khi đó:
1
0
2 sinI t tdt


Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn

u P x
dv








2 Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt
ln

ux
dv




Bài 1: Tính
1
2
0
.
x
I xe dx

1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0
11
1 1 1 1 1 1 1 1 1
21
00
2 2 2 4 2 4 2 4 4
x x x x x
e
I xe dx xe e dx e e d x e e e e

          
  

Bài 2: Tính
3
2
0
.
x
I dx
cos x




Đặt
2

33
3 3 3 3
00
d cosx
xx
I dx x x xdx dx cosx
cos x cosx cosx
  


   
          
   

Bài 3: Tính
1
2
0
.
x
I x e dx


Đặt
2
2
.
x
x
du xdx

25
Tiếp tục tính:
1
0
x
J xe dx


Đặt
xx
u x du dx
dv e dx v e







Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
11
00
1
1
0
x x x
J xe dx xe xe dx   


Vậy I = e - 2











Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:
     
 
 
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
3
0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1 1 2 5
3 1 3 1 3 1 3 1
0 0 0 0
3 3 3 3 3 3
x x x x x x x x
I x e dx x e e dx x e e d e x e e
e
       
              
  
Bài 5:

2
0
.
2
28
0
x
xdx






29 Tính
2
0
2.xcos xdx



Đặt
1
2
sin 2
2
du dx
ux
dv cos xdx
vx

2
2
0
4
sin
16
I x xdx




