www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 1

Chuyên đề 1:

Các phơng pháp tính tích phân
Các phơng pháp tính tích phânCác phơng pháp tính tích phân
Các phơng pháp tính tích phân Thông thng ta gặp các loại tích phân sau đây:
+) Loi 1: Tích phân của hàm số đa thức phân thức hữu tỷ.
+) Loi 2: Tích phân của hàm số chứa căn thức
+) Loi 3: Tích phân của hàm số lợng giác
+) Loi 4: Tích phân của hàm số mũ và logarit
Đối với các tích phân đó có thể tích theo các phơng pháp sau:
I) Phơng pháp biến đổi trực tiếp
Dùng các công thức biến đổi về các tích phân đơn giản và áp dụng đợc )a(F)b(F)x(Fdx)x(f
b
a
b
a


=
==
==
==
=


1
(I
2
1
2
1
2
=++=






+==


2.



+
++
+


=
==
=
2

3.








=
==
=
8
1
3
2
3
5
dx
x3
1x3x4
K

=








+) Biến đổi nhờ các công thức lợng giác
Ví dụ 2. Tính:
1.






=
==
=
2/
2/
xdx5cosx3cosI






( )
0
8
x8sin
2
x2sin
2
1

=
==
=
2/
2/
xdx7sinx2sinJ






( )
45
4
9
x9sin
5
x5sin
2
1
dxx9cos)x5cos(
2
1
2/
2/
2/
2/
=





( )
0
10
x10cos
4
x4cos
2
1
dxx10sinx4sin
2
1
xdx3cosx7sin
2/
2/
2/
2/
2/
2/
=






+=+==




=
+
=


0
0
0x4cos
16
1
x2cos
4
1
dx
2
x2cos1
x2sin
hoặc biến đổi




=
==
=







+
++
+
+
++
++
++
+
=
==
=
2/
6/
dx
xcosxsin
x2cosx2sin1
G






( )
1xsin2xdxcos2dx
xcosxsin
xsinxcos)xcosx(sin




( )
16
3
x2sin
4
x4sin
x3
8
1
dxx2cos4x4cos3
8
1
dx
2
x2cos1
2/
0
2/
0
2/
0
2



=


( )
4
4
xxtandx1
xcos
1
4/
0
4/
0
2




==






=

. Đề xuất:



=
==

1.



+
++
+=
==
=
1
0
3
dx)1x2(I 10
4
)1x2(
2
1
)1x2(d)1x2(
2
1
1
0
4
1
0
3
=
+
=++=


0
2
1
0
2
2
1
3
=

=

+
==




www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 2

3.





=
==

=
4
0
x325
dx
H
3
13210
)x325(
3
2
)x325(d)x325(
3
1
1
0
2/1
4
0
2/1

=

==



5.



=








+=
+
+
=(Nhân cả tử và mẫu với bt liên hợp của mẫu số)
Đề xuất
C)cax()bax(
)cb(a
1
dx
caxbax
1
G
33
1
+
++
+


+
++
++
++
++
++
+
=
==
=



với
cb;0a

6.





=
==
=
1
0
dxx1xP

=+=+=

0
x1
1
0
2x1
22
==



Đề xuất
15
264
dxx1xQ
1
0
23
1



=
==
=+
++
+=
==
=



=
==
==
==
=






và
1exdxsineI
2/
0
xcos
3


=
==
==
==
=













và
2ln
3
2
dx
xcos31
xsin
J
4/
0
3
=
==
=
+
++
+
=
==
=





2


=
==
==
==
=



và
2dx
xln1x
1
K
3
e
1
3
=
==
=
+
++
+
=
==
=


=+=


+
++
+



=
==
=
2ln
0
x
x
2
dx
e1
e1
H

=
+
=
+
+

x
3
5e
dx
H
7
12
ln
5
1
5eln
5
1
x
5
1
5e
dxe
5
1
dx
5
1
5e
dx)e5e(
5
1
2ln
0
x


+
++
+
=
==
=
1
0
xx
x
4
ee
dxe
H

+
=+=
+
=
1
0
2
1
0
x2
x2
x2
2
1e

+++=
b
c
c
c
c
a
n
2
1
1
dx)m,x(f dx)m,x(fdx)m,x(fI

Ví dụ 5. Tính:
1.





+
++
+=
==
=
2
0
2
dx3x2xI
Ta xét pt:




=
==
=
1
3
3
dxxx4J
tính tơng tự ta có
16dxxx4dxxx4dxxx4J
1
0
3
0
2
3
2
3
3
=++=





3.
2ln
1

0
1
dxx2cos1H 22dxxsin2dxxsin2dxxsin2
2
0
2
0
=+==










=
==
=



0
2
dxx2sin1H

{Viết (1 sin2x) về bình phơng của một biểu thức rồi khai căn}
22dxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsindxxcosxsin

- Bớc 4. Biến đổi

=


dt)t(gI
(tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
Cách đặt đổi biến dạng 1.
Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa
2
x1


thì đặt
]
2
/
;
2
/
[
t
;
t
sin
x






Ví dụ 1. Tính:
1.






=
==
=
1
2/2
2
2
dx
x
x1
A
ta đặt
]2/;2/[t;tsinx

=

dx = cost.dt; đổi cận khi x =
2
/2 thì t =
4/









=

==

=


2.






=
==
=
1
0
2
2
dx
x4

B
2/
3/
2/
3/
2
3/
2/
2
2
=+==

=









3.





=
==

đa tích phân về dạng:
12
1
27
32
dt
2
t4cos1
33
4
tdtcostsin
33
16
C
3/
0
3/
0
22
+=

==




Chú ý:
www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 4


∈=
−∈=
];0[t;tcos
a
x
]2/;2/[t;tsin
a
x
π
ππ

- NÕu hµm sè chøa
0b,a,bxa
2
>
>>
>−
−−
−
th× ta viÕt
2
2
x
a
b
1abxa




−−
−
=
==
=
2
3/2
2
dx
1xx
1
E {ViÕt tÝch ph©n vÒ d¹ng
2
X1−
}

ta viÕt
( )
∫
−
=
2
3/2
2
2
dx
x/11x
1
E
vµ ®Æt

dx
x
4x3
G {ViÕt tÝch ph©n vÒ d¹ng
2
X1−
}
ta viÕt
(
)
∫
−
=
3/22
3/2
3
2
dx
x
x3/21.x.3
G
vµ ®Æt
[ ]
2/;2/t;tsin
x3
2
ππ
−∈=
suy ra tÝch ph©n cã d¹ng
16

((
(
)
))
)
2
x1 +
++
+
th× ta ®Æt
(
((
(
)
))
)
2/;2/t;ttanx
π
ππ
ππ
ππ
π
−
−−
−∈
∈∈
∈=
==
=
hoÆc

6
dtM
3/
6/
π
π
π
==
∫

2.
∫
∫∫
∫
+
++
+
=
==
=
3
1
22
dx
x1.x
1
N
ta ®Æt
(
)

==
=
a
0
222
0a;dx
)xa(
1
P

ta viÕt
∫






+
=
a
0
2
24
dx
)
a
x
(1a
1

++
++
++
+
=
==
=
1
0
2
dx
1xx
1
Q

ta viÕt
∫








++
=
1
0
2

9
3
dt
2
3
3
4
Q
1
0
π
==
∫

Chó ý: NÕu gÆp tÝch ph©n chøa
2
bxa +
++
+
hoÆc
2
bxa +
++
+
th× ta viÕt:









+=+
vµ ta ®Æt
( )
2/;2/t;ttanx
a
b
ππ
−∈=

www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 5

Cách đặt 3. Nếu tích phân có chứa
xa
xa
+
++
+



hoặc
xa
xa






=+
=
tcos2t2cos1
tsin2t2cos1
2
2

Ví dụ 4. Tính:
1.






>
>>
>



+
++
+
=
==
=







+
++
+
=
==
=
2/2
0
dx
x1
x1
J
ta đặt
]2/;0[t;t2cosx

=
suy ra



+
=
8/
4/

++
+
suy rra tích phân J về dạng tích phân của hàm số hữu tỷ}
B - Phơng pháp đổi biến số dạng 2:
Giả sử cần tính tích phân



=
==
=
b
a
dx)x(fI
ta thực hiện các bớc sau:
- Bớc 1. Đặt t = v(x)
- Bớc 2. Lấy vi phân dx = u(t)dt và biểu thị f(x)dx theo t và dt. Chẳng hạn f(x)dx = g(t)dt
- Bớc 3. Đổi cận khi x = a thì u(t) = a ứng với t =

; khi x = b thì u(t) = b ứng với t =


- Bớc 4. Biến đổi

=


dt)t(gI (tích phân này dễ tính hơn thì phép đổi biến mới có ý nghĩa)
Cách đặt đổi biến dạng 2.
Cách đặt 1. Nếu hàm số chứa ẩn ở mẫu thì đặt t = mẫu số.

4
3
==


2.



+
++
+
=
==
=
4/
0
22
dx
xcos2xsin
x2sin
J



đặt
xcos1xcos2xsint
222
+=+=
suy ra




với
0ba
22
>+

3.



+
++
+
=
==
=
2ln
0
x
dx
5e
1
K
ta đặt
5et
x
+=


7
6
2ln
0
xx
x
=

=

=
+
=


{Có thể biến đổi trực tiếp
7
12
ln
5
1
dx
5e
e
5
1
dx
5e
5e
5

4.



+
++
+


+
++
+
=
==
=
2/
0
2
dx
)4x2cosxsin2(
xcosx2sin
H



ta đặt
4x2cosxsin2t +=

21
2

G



chú ý rằng tách mũ 3 = 2 +1 đặt
xcos1t
2
+=

1txcos
2
=

dtxdxcosxsin2 =
khi đó:
2
2ln1
)tlnt(
2
1
dt
t
)1t(
2
1
G
2
1
2
1


ta đặt
2xcosxsint ++=

dx)xsinx(cosdt =
lu ý cos2x = (cosx+sinx)(cosx-sinx)
( )
3
22
ln12tln2t
t
dt)2t(
dx
2xcosxsin
)xsinx)(cosxsinx(cos
M
22
3
22
3
4/
0
+
+==

=
++
+
=


1
)22(
1
t
1
t
1
t
dt)2t(
N
2
22
3
22
3
23
+
=+
+

+
=






=


N




8.
Cách đặt 2. Nếu hàm số chứa căn thức
n
)x(



thì đặt
n
)x(t



=
==
= sau đó luỹ thừa 2 vế và lấy vi phân 2 vế.
Ví dụ 1. Tính:
1.



+
++
++
++

4
ln
3
4
27
2
dt
t2
6
9
2
dt3t8t4
9
2
dt
t2
t13t4
9
2
I
2
1
2
1
2
2
1
3
=
+

=

20
141
dt)tt(
2
3
J
2
1
4
==


3.

+
=
2
1
2
dx
x1x
1
K
ta đặt
2
x1t +=

1tx

1
3
dx
x1x
1
H
ta đặt
3
x1t +=

1tx
23
=

tdt2dxx3
2
=
nhân cả tử và mẫu số với x
2
ta đợc:
2
12
ln
3
2
1t
1t
ln
3
1

=
3
0
2
35
dx
1x
x2x
G
ta đặt
2
x1t +=

1tx
22
=

tdtxdx =
nhóm x
2
.x.(x
2
+2) ta đợc:
5
26
t
5
t
t
tdt)1t)(1t(


6.


+++
=
6
1
3
dx
1x91x9
1
M
ta đặt
6
1x9t
+=

(
)
1t
9
1
x
6
=

dtt
3
2

3
2
1t
dtt
3
2
tt
dtt
3
2
M
2
1
2
2
1
3
2
1
23
5

Ví dụ 2. Tính:
1. [ĐH.2005.A]

+
+
=
2/
0

xcos31
xdxsin)1xcos2(
P

( )
27
34
t
3
t2
9
2
dx1t2
9
2
2
1
3
2
1
2
=






+=+=


3
2
xdxcos =
áp dụng công thức
nhân đôi và nhân 3 ta viết:
dx.
xsin31
xcosxsin2xcos3xcos4
Q
2
0
3

+
+
=

xdxcos.
xsin31
xsin23xsin44
2
0
2

+
+
=


Vậy


3. [ĐH.2006.A]

+
=
2
0
22
dx
xsin4xcos
x2sin
R



ta đặt
xsin31t
2
+=

)1t(
3
1
xsin
22
=


tdt
3

P

Ta đặt xln31t
+=

)1t(
3
1
xln
2
=

tdt
3
2
x
dx
= khi đó:
( )
135
116
dxtt
9
2
P
2
1
4
==


3
t
t4dt)t4(
t
tdt)1t(3
Q
3
1
3
2
1
2
2
1
2

=








==

=



13
.
15
15
ln
1t
dt2
R

4.

+
=
3
0
3
x
e1
dx
S . Ta đặt
3
x
et =
suy ra
1e
e2
ln3
)1t(t
dx3
S

2
x
tant
=
khi đó
2
t1
t2
xsin
+
=
,
2
2
t1
t1
xcos
+

=

Ví dụ 4. Tính:
1.
dx.
5xcos3xsin5
1
Q
2/
0


1
0
1
0
2
=
+
+
=
++
=


2.
dx.
2xcos
2
x
tan
L
3/
0

+
=

ta đặt
2
x
tant =


++
=
4
0
dx
1x2sinx2cos
x2cos
V

ta đặt
xtant
=

2
t1
dt
dx
+
=
và

+
+
+
=
+
+
=
1

2
1

=
=
+
=

suy ra
8
2ln2
dx
1x2sinx2cos
x2cos
V
4
0
+
=
++
=




4.

++
+
=

+
=
suy ra
4
2ln23
1tlnt
2
t
2
1
dt
1t
t1
2
1
N
1
0
2
1
0
2
+
=








+++

=
4
0
dx
)xcosxsin1(2xcosxsin2
xcosxsin
2
1
F

dựa
vào mối quan hệ giữa
xcosxsin
+
và
xcosxsin
ta đặt
xcosxsint
+
=

dx)xsinx(cosdt

=
và
2
1t

1
1t2t
dt
2
1
)t1(21t
dt
2
1
F

Cách đặt 4. Dựa vào đặc điểm hai cận của tích phân.
Nếu tích phân có dạng


=
a
a
dx)x(fI
thì ta có thể viết

+=

a
0
0
a
dx)x(fdx)x(fI
đặt t = - x để biến đổi


0
dx)x(fI

thì ta có thể đặt t =
2

- x
Nếu tích phân có dạng

=
b
a
dx)x(fI
thì ta có thể đặt t = (a + b) - x
Ví dụ 4. Tính:
1.


=
1
1
2008
xdxsinxI
ta viết
+=


0
1
2008


0
2
0
2
dt
tcos1
tsint
dt
tcos1
tsin
J
ta đổi biến tiếp:
2
dt
tcos1
tsin
J
2
utantcos
0
2
1


=
====
+
=


2
++=
sau đó tính x theo t
và tính dx theo t và dt.{Phép thế ơle}
Ví dụ 5. Tính:
1.

+
=
1
0
2
1xx
dx
I
ta đặt
1xxxt
2
+=

1
t
2
t1
x
2
+

=




=

2
126
ln
3
1
1t3
dt
J
22
1

=

=


III)Phơng pháp tích phân từng phần
www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 9

-Giả sử cần tính tích phân

=
b
a


Bớc 3. áp dụng công thức: hay

=
b
a
b
a
b
a
du.vv.udv.u

Các cách đặt để tích phân từng phần:
+Cách đặt 1. Nếu tích phân có dạng

=
b
a
dx.axsin).x(PI
thì ta sẽ đặt



=
=
dx.axsindv
)x(Pu




=
a
axsin
v
dx)x('Pdu

Nếu tích phân có dạng

b
a
ax
dx.e).x(P
thì ta đặt



=
=
dx.edv
)x(Pu
ax






=
=
a

v
dx3du

2
3
dx.x2cos
2
3
2
x2cos
)1x3(I
0
0



=+=


2.

+=
2/
0
2
dx.xcos).1x(J

ta đặt





ta tính

=
2/
0
1
dx.xsin.xJ

bằng cách đặt



=
=
dx.xsindv
xu
sau đó suy ra
1xdxcosxcosxJ
2/
0
2/
0
1
=+=



.Vậy

x3
2

1
3
1
0
x3
1
0
x32
L
3
1
3
1e
dx.e).1x2(
3
1
e)1xx(
3
1
L

=+=


Tính tiếp

=


0
2
dx.)xsinx(M ta viết

=

==



0
0
2
00
2
xdx2cosx
2
1
4
x
dx.
2
x2cos1
xdx.xsinxM
xét 0dx.x2cosxM
xu
xdx2cosdv
0
1

bằng cách đặt



=
=
dt.tsindv
t2u

2
M
=

www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 10

+Cách đặt 2. Nếu tích phân có dạng

=
b
a
ax
dx.bxsineI thì ta đặt



=
=
dx.edv

bxcosu
ax






=
=
a
e
v
bxdxsinbdu
ax

Ví dụ 6. Tính:
1.

=
2/
0
x2
dx.x3sin.eI

ta đặt



=

dx.x3cose
2
3
2
e
x3sinI ==




(*). Ta xét

=

0
x2
1
dx.x3coseI
và đặt



=
=
dxedv
x3cosu
x2


I

3
2
1
2
3
2
e
I

13
3e2
I
+
=


2.

=

0
2x
dx.)xsin.e(F ta viết

=

=

0
x2

. Sau hai lần tích phân từng phần ta tính đợc
4
1e
dx.x2cose
2
1
F
2
0
x2
2

==



.
Vậy ta có:
8
1e
dx.)xsin.e(F
2
0
2x

==





)x('P
du

Ví dụ 7. Tính:
1.

=
5
2
dx)1xln(.xI ta đặt
[
]



=
=
dx.xdv
1xlnu








=

=

2.

++=
3
0
2
dx)x1xln(J
ta đặt





=






++=
dxdv
x1xlnu
2







=
e
1
e
1
2
2
xdxln.xxln
2
x
K
. Xét

=
e
1
1
xdxln.xK
và đặt



=
=
xdxdv
xlnu
thì
4
1e
K

5
suy ra
256
2ln415
dxx
4
1
xln
x4
1
H
e
1
5
2
1
4

=+=


.
5.

=
3/
6/
2
dx
xcos

6/
3/
6/
dx)xln(sinxtanI




6
2ln343ln33


=

www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 11

6.
dx)x(lnoscF
e
1

=

đặt



=

e
1
1
dx)xsin(lnF
đặt



=
=
dxdv
)xsin(lnu






=
=
xv
dx
x
)xcos(ln
du

Fdx)xcos(ln)xsin(lnxF
e
1
e


bậc của Q(x) thì ta lấy P(x) chia cho Q(x) đợc thơng A(x) và d R(x),
tức là P(x) = Q(x).A(x) + R(x), với bậc R(x) < bậc Q(x).
Suy ra :
)x(Q
)x(R
)x(A
)x(Q
)x(P
+
++
+=
==
=









+
++
+=
==
= dx
)x(Q
)x(R



) thì bậc R(x) < 2



R(x) = M.x+N và
cbxax
Nx.M
)x(Q
)x(R
2
+
++
++
++
+
+
++
+
=
==
=

TH1 : Q(x) có 2 nghiệm x
1
, x
2
, tức là: Q(x) = a(x x
1

+
++
+
=
==
=
TH2 : Q(x) có nghiệm kép x
0
, tức là:
2
0
)xx(a)x(Q

=
==
=
.
Chọn hằng số A, B sao cho:
2
0
0
2
0
)xx(
B
xx
A
)xx(a
Nx.M
)x(Q

.
A
)
x
(
R
+
++
+
=
==
=
v
)x(Q
B
)x(Q
)x('Q.A
)x(Q
)x(R
+
++
+=
==
=

+Khả năng 2: Với
dcxbxax)x(Q
23
+
++

xx
C
xx
B
xx
A
)xx)(xx)(xx(a
)x(R
)x(Q
)x(R



+
++
+



+
++
+



=
==
=



Chọn hằng số A, B, C sao cho:
2
0
01
2
01
)xx(
C
xx
B
xx
A
)xx)(xx(a
)x(R
)x(Q
)x(R



+
++
+



+
++
+



0
3
0
)xx(
C
)xx(
B
xx
A
)xx(a
)x(R
)x(Q
)x(R



+
++
+



+
++
+



=
==

0a4
2
<
<<
<

=
==
=







).
Chọn hằng số A, B, C sao cho:









+
++
++

)x(Q
)x(R
2
1
2
1

+Khả năng 3: Với bậc
)
x
(
Q
>3 thì thông thờng ta gặp Q(x) là các biểu thức đơn giản nh:
1
x
4
+
++
+
;
1
x
x
24
+
++
+




+
=
==
=
0
1
2
2
dx
2x3x
1xx
I ta viết








+

+=
0
1
2
dx
2x3x
1x4
1I và viết

dx
1xx
x
J
ta viết x = A(x
2
+ x + 1) + B suy ra A = 1/2; B = - 1/2. Vậy
21
JJJ +=
với
3ln
2
1
1xx
)1xx(d
2
1
J
1
0
2
2
1
=
++
++
=

và


dx
3
4
.
2
1
1xx
dx
2
1
J

Ta đặt utan
2
1
x
3
2
=






+ suy ra
9
3
du
3

+
+
+=
+
sau đó chọn đợc A = 1/3, B = - 1/3, C = 0. Vì thế viết đợc
3ln
6
1
dx
)3x(3
x
dx
x3
1
K
3
1
2
3
1
=
+
=

{Vì đa đợc x vào trong vi phân}.
4.
B Khi gặp tích phân

+
+

t1
xcos
+

=

Ví dụ 1. Tính:
1.

+
+
=
2/
0
dx
xcosxsin
xcos5xsin3
I

ta viết
sinx)-B(cosxcosx)A(sinx cosx 53sinx ++=+
suy ra A = 4; B = 1.
Khi đó:
( )



2xcosxsinlnx4
xcosxsin
)xcosx(sind

2
)xcosx(sin2
1
)
4
xcot(
)xcosx(sin
)xcosx(sind
dx
)xcosx(sin
2
I
2/
0
2
2/
0
3
2/
0
2
=









tant =

2
t1
t2
xsin
+
=
2
2
t1
t1
xcos
+

=

Ví dụ 1. Tính:
1.

++
+
=
2/
0
dx
5xcos3xsin4
7xcosxsin7
I




www.MATHVN.com CC PHNG PHP TNH TCH PHN
GV V S Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 13

Xét

++
=
2/
0
1
dx
5xcos3xsin4
2
I

đặt
2
x
tant =

2
t1
t2
xsin
+
=
2

2
I5xcos3xsin4lnxI
1
2/
0
+=+++=



V)Phơng pháp dùng tích phân liên kết
Ví dụ 1. Tính:
1.

+
=
2
0
xcosxsin
xdxsin
I

ta xét thêm tích phân thứ hai:

+
=
2
0
xcosxsin
xdxcos
J

.
2.
dx
xcosxsin
xsin
I
2
0
nn
n
n

+
=

ta xét
dx
xcosxsin
xcos
J
2
0
nn
n
n

+
=

. Khi đó:

=


(**). Từ (*), (**) ta có
4
I
n

=

3.
dx
xcosxsin
xsin
I
2
0
nn
n
n

+
=

tơng tự xét
dx
xcosxsin
xcos
J
2

xcos
F
6
0
2

+
=

ta có
3ln
4
1
dx
xcos3xsin
1
FE
6
0
=
+
=+


(*)
Lại có
31dx)xcos3x(sinF3E
6
0
==

0

2
31
3ln
8
1
+

Đề xuất
dx
xcos3xsin
x2cos
L
6
0


=


Các bài toán tơng tự.
Các bài toán tơng tự.Các bài toán tơng tự.
Các bài toán tơng tự. A Phơng pháp biến đổi trực tiếp

1. [ĐHNNI.98.A]


+
+
++
+
+
++
+
+
++
+
=
==
=
1
0
x2
x
1
0
x2
x2
e1
dxe2
e1
dxe1
M
ta tính






=
==
=
khi đó với tan

=e và

+
=


4/
22
1
tcos)ttan1(
tdttan2
M
=
2
e1
ln
ttan1
1
ln2tcosln2tdttan2
2
4/
2
4/

2. [ĐHTCKT.97]

+
2
0
3
xcos1
xdxsin3




+

Giải:

www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 14

2. [§HTCKT.97]
∫
+
2
0
3
xcos1
xdxsin3
π
ππ

2x
e1
dx)e1(2. [§HTCKT.97]
∫
+
2
0
3
xcos1
xdxsin3
π
ππ
π3. [§HBK.98]
∫
+
2
0
44
dx)xcosx(sinx2cos
π
ππ
π
2
e
e
dx
x
)xln(lnxln

7. [§HMá.00]
∫
+
3
6
dx
)
6
xsin(xsin
1
π
ππ
π
π
ππ
π
π
ππ
π8.
∫

xsin
xcos
π
ππ
π
π
ππ
π11.
∫
3
4
4
xdxtg
π
ππ
π
π
ππ
π12. [C§GTVT.01]

∫
−
+
3

π
ππ
π
π
ππ
π www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 15

16.
∫
+−
3
0
23
dxxx2x

17.
∫
−
−
1
1
dxx4

§¸p:
)35(2 −

dx.
2xx
1xx21.
∫
+
π
ππ
π
0
dxx2cos22

4
22.
∫
−
π
ππ
π
0
dxx2sin1

22

23.
∫
+
2/

Ra;dxax)1a(x

2
a
≥
th× ®s: (3a – 5)/6;
1 < a < 2 th× ®s: (a-1)
3
/3 – (3a - 5)/6
a
≤
1 th× ®s: (5 – 3a)/6
26.
∫
+
2
0
3
dx
xcos1
xcos
π
ππ
π28. [§H.2005.D]
∫
∫∫
∫

++
+
−
−−
−
4/
0
2
dx
x2sin1
xsin21
π
ππ
π29.
(
((
( )
))
)
dx.xcos.xsinxcosxsinM
2
0
2266
∫
∫∫
∫
−


31.

www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 16

B – Ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn
1. [C§BN.01]
∫
+
1
0
32
3
dx
)x1(
x

HD ®Æt
fsf

π5. [§HKTQD.97]
∫
−
1
0
635
dx)x1(x
§Ò xuÊt:
∫
−
1
0
72
dx)x1(x

6. [§HQG.97.B]
∫
+
1
0
x1
dx7. [§H.2004.A]
∫
−+

2ln
0
x
x2
1e
dxe11.
∫
+−+
23
14
2x58x
dx12.
( )
∫
+
2
0
2
dx
xsin2
x2sin
π
ππ
π

dxx1x

16.
∫
+
2
e
e
dx
x
)xln(lnxln

17.
∫
+
4
2
dx
x
1x
18.
∫
++
+++
1
0
22

+
e
1
dx
xln1x
xln21.
∫
+++
4
0
3
dx
1x21x2
123.
∫
+
4
7
2
9x.x
dx24.

−
+
++
+
2
2
2
dx
xsin4
xcosx
π
ππ
π
π
ππ
π27. [§HAN.97]
∫
∫∫
∫
+
++
+
π
ππ
π
0
2

4
0
dx
tgx1
1
π
ππ
π30. [§HVH.01]
∫
∫∫
∫
+
++
+
4
0
dx
x2cosx2sin
xcosxsin
π
ππ
π31. [HVBCVT.98]
∫
∫∫

22
dx
)1x(
1
I33. [§HTN.01]
∫
∫∫
∫
+
++
+
+
++
+−
−−
−
+
++
+
2)51(
1
24
2
dx
1xx
1x


+
1
1
2
)x1x1(
dx36. [PVB¸o.01]
∫
∫∫
∫
−
−−
−
1
0
23
dx.x1x37. [§H.2004.B]
∫
∫∫
∫
+
++
+
e
1

∫
∫∫
∫
+
++
+
2
0
22
dx
xsin4xcos
x2sin
π
ππ
π40. [§H.2005.B]
∫
∫∫
∫
+
++
+
2
0
dx
xcos1
xcosx2sin
π

32
5
2
4xx
dx43. [§H.2004.A]
∫
∫∫
∫
−
−−
−+
++
+
2
1
dx
1x1
x44. [§H.2008.A]
∫
∫∫
∫
6/
0
4

























+
++
+
+
++
+

3
dx
)xsin1(2
x2sin
π
ππ
π

HD: §Æt
x
sin
1
t
+
++
+
=
==
=
⇒
⇒⇒
⇒
8
1
t2
dt)1t(2
2
1
3
=

∫∫
∫
+
++
++
++
+−
−−
−
=
==
=
4
2
dx
x
1x1x
J51.
∫
∫∫
∫
+
++
++
++
+
+

−−
−
=
==
=
2ln
2ln
x2
x
dx
e1
e
H

53.
∫
∫∫
∫
+
++
+
=
==
=
3ln
0
x2
1e
dx
G

−−
−
=
==
=
2
0
24
3
dx
3xcos3xcos
xcos
D
π
ππ
π56.
∫
∫∫
∫
+
++
+
−
−−
−
=
==

dx
T www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 19

58.
∫
∫∫
∫
+
++
+
=
==
=
4
7
2
9x.x
dx
R59.
∫
∫∫
∫

4
0
dx.
1x21
1x2
W61.
∫
∫∫
∫
+
++
+
=
==
=
2/
0
xcos2
dx
Q
π
ππ
π
§Æt
2
x
tant =


62.
∫
∫∫
∫
+
++
++
++
+−
−−
−
=
==
=
2
0
2
1x6x3
dx
M

C – Ph−¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
1. [§HC§.97]
∫
∫∫
∫

++
+
2
0
23
dx)1xln(x
vµ
∫
∫∫
∫
10
0
2
xdxlgx4. [PVB¸o.98]
∫
∫∫
∫
e
1
2
dx)xlnx(5. [HVNH.98]
∫
∫∫
∫

0
dx)tgx1ln(
π
ππ
π8.
∫
∫∫
∫
2
0
2
xdxxtg
π
ππ
π9. [§HYHN.01]
∫
∫∫
∫
−
−−
−
3
2
2

−
−−
−
1
0
x2
dxe)2x(13.
∫
∫∫
∫
−
−−
−
+
++
++
++
+=
==
=
0
1
3
x2
dx)1xe(xI
ππ
π
0
2
dx)xsinx(K

16.
∫
∫∫
∫
+
++
+
=
==
=
1
0
2
dx
)1x2(sin
x
H17.
∫
∫∫
∫
=

∫
+
++
+
+
++
+
=
==
=
4
1
dx
xx
)1xln(
D20.
∫
∫∫
∫









xln
S21.
∫
∫∫
∫
=
==
=
2
2
4/
2
dx.xcosA
π
ππ
π
π
ππ
π22.
(
((
( )
))
)

dx.xcos.xsin.xY
2
0
∫
∫∫
∫
=
==
=
π
ππ
π25.
∫
∫∫
∫
+
++
+
+
++
+
=
==
=
3/
0
x

+
=
==
=
3/
0
x
1
dxe
xcos1
xsin
T
π
ππ
π
vµ ®Æt tptp suy ra
3
e
xcos1
xsine
T
3
3/
0
x
π
ππ
π
π
ππ

++
+

27.
∫
∫∫
∫
+
++
+=
==
=
1
0
2
dx)1xln(xE

§S:
2
1
2ln −
−−
−

28.
∫
∫∫
∫
+
++

e
e/1
2
dx
)1x(
xln
Q

§s:
1e
e2
+
++
+

30.
∫
∫∫
∫
+
++
+
+
++
+
=
==
=
2/
3/

++
+
=
==
=
∫
∫∫
∫
π
ππ
π
π
ππ
π
&
∫
∫∫
∫
+
++
+
=
==
=
3/
6/
2
dx
xcos1
x

=
==
=
dx
xcos1
1
dv
xu
⇒















=
==
=
=
==
=

++
+
−
−−
−
=
==
=
π
ππ
π

www.MATHVN.com CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
GV Vũ Sỹ Minh - Email:
[email protected] - www.mathvn.com 21

31.
∫
∫∫
∫
+
++
+
+
++
+
=
==
=
2/2. [§HNNI.00]
∫
∫∫
∫
+
++
+
2
1
3
dx
)1x(x
1
vµ
∫
∫∫
∫
+
++
+
1
0
3
dx
1x
3

+
++
+
2
0
3
dx
)xcosx(sin
xsin4
π
ππ
π5. [§HTN.98]
∫
∫∫
∫
+
++
++
++
+
1
0
n nn
x1)x1(
dx
++
+
+
++
++
++
+
=
==
=
1
0
3
2
dx
1x
7x3x2
J8.
∫
∫∫
∫
+
++
++
++
+
+

=
1
0
2
2
4x3x
dx
L 10.
∫
∫∫
∫
+
++
+
+
++
+−
−−
−
=
==
=
2
0
2
4
dx.

−
−−
−
+
++
+
−
−−
−
=
==
=
32
32
x
1x
3
4
dxe
x
1x
I
2

HD:
)()
1
( xF
x
F =

π
ππ
π[HVKTQS.01]
∫
∫∫
∫
+
++
+
−
−−
−
b
0
22
2
dx
)xa(
xa
,
0
b
,
a
>
>>
>