Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

1
CHƯƠNG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
1. Định nghĩa:


Giả sử
y



f
(
x
) liên tục trên khoảng (
a
,
b
), khi đó hàm số
y


F(
x
) là một
nguyên hàm của hàm số
y


F(
x
) là một nguyên hàm của hàm số
y



f
(
x
) thì tập hợp tất cả các
nguyên hàm của hàm số
y



f
(
x
) là tập hợp I



 
F( x) c c R
và tập hợp
này còn được kí hiệu dưới dấu tích phân bất định
  

I f ( x)dx F( x) c

x
+

x
)

(
a
,
b
), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo số gia:


   


 



 


dy y x x
df x f x x

• Công thức biến đổi vi phân:
Chọn hàm số
y

 


dy y x x
df x f x x





   









dy y x dx
df x f x dx

• Nếu hàm số
f
(
x
) có vi phân tại điểm
x
thì ta nói

Giả sử u và v là 2 hàm số cùng khả vi tại điểm
x
. Khi đó:

   



     
2
udv vdu
u
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v
v

2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu





y f (u )
u g( x )
và
f
,
g
khả vi thì

 
 
 



f x dx f x
;
 


 


d f x dx f x dx

4.2.
Nếu F(
x
) có đạo hàm thì:

 


 
 

d F x F x c

4.3. Phép cộng:

  
f x g x dx f x dx g x dx

4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0:
   

 
kf x dx k f x dx
,

k

0
4.6. Công thức đổi biến số:
Cho
y
=
f
(u) và u =
g
(
x
).
Nếu
   
 

f x dx F x c
thì
 

x
dx sin x cos x
e dx; ; sin x dx ; dx ; dx
ln x x x

nhưng chúng không thể biểu diễn được dưới dạng hữu hạn.
Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

3
II. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
1. Định nghĩa:
Giả sử hàm số
f
(
x
) xác định và bị chặn trên đoạn [
a
,
b
]. Xét một phân hoạch


bất kì của đoạn [
a
,
b
], tức là chia đoạn [
a
,
b

k k
x ,x

. Khi đó:
 
   
 

   

n
k k 1 1 2 2 n n
k 1
f f f f
       
gọi là tổng tích phân của hàm
f
(
x
) trên đoạn [
a
,
b
]. Tổng tích phân này phụ thuộc vào phân hoạch

, số
khoảng chia n và phụ thuộc vào cách chọn điểm

k
.

y



f
(
x
) được gọi là khả tích trên đoạn [
a
,
b
]
2. Điều kiện khả tích:
Các hàm liên tục trên [
a
,
b
], các hàm bị chặn có hữu hạn điểm gián đoạn trên
[
a
,
b
] và các hàm đơn điệu bị chặn trên [
a
,
b
] đều khả tích trên [
a
,
b

a
,
x



b
,
y


0

O
y
x
0
a=x
1

1
x
2

x
2

k-1
x x
k

B
1
2
B
B
k
B
n
B
k+1

Chương II. Nguyên hàm và tích phân

Trần Phương

4
4. Các định lý, tính chất và công thức của tích phân xác định:
4.1. Định lý 1:
Nếu
f
(
x
) liên tục trên đoạn [
a
,
b
] thì nó khả tích trên đoạn [
a
,
b

,
b
]
thì
   

 
b b
a a
f x dx g x dx
. Dấu bằng xảy ra


f
(
x
)


g
(
x
),

x

[
a
,
b

       
 
  
 
  
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx

4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0:
   

 
b b
a a
kf x dx k f x dx
,

k

0
4.7. Công thức đảo cận tích phân:

   
 
 
b a
a b
f x dx f x dx
;




(t) khả vi, liên tục trên
đoạn [
m, M
] và
 


 


 
 
t m,M t m,M
Min t a; Max t b
 
;




 
m a; M b
 
.
Khi đó ta có:
   
 

a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx

Bài 1. Bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

5
Iii. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng
 
1
1
1
1
ax b
ax b dx c,
a



 
     
 

 


   
1
cos ax b dx sin ax b
a

    


1
ax b ax b
m dx m c
alnm
 
 


   
1
cotg ax b dx ln sin ax b c
a
   


2 2
1dx x
arctg c
a a
a x
 



 
 
2






2 2
2 2
dx
ln x x a c
x a
   



2 2
x x
arcsin dx xarcsin a x c
a a
   


2 2
dx x
arcsin c
a
a x
 




x x a
 
  



 
2 2
2
x x a
arccotg dx xarccotg ln a x c
a a
   


   
b
ln ax b dx x ln ax b x c
a
 
     
 
 


 
1
2
dx ax b
ln tg c

ax
e asinbx bcosbx
e sinbxdx c
a b

 



 
2 2
ax
ax
e acosbx bsinbx
e cosbxdx c
a b

 



Chương II. Nguyên hàm và tích phân

Trần Phương

6
IV. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải
chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng
minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm

x a

   
     
   
    
   

   

 
2 2
dx 1 1 1 1 dx d a x 1 a x
dx ln c
2a a x a x 2a a x a x 2a a x
a x
 
 
 
     
   
    
   

   

2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:


2 2

 
 
    
 
      
 

3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
2 2
dx 1
u c
a
a x
 


(với
x
tg u
a

)
Đặt
x
tg u
a

,




(với
x
sin u
a

, a > 0)
Đặt
x
sin u
a

,u
,
2 2
 
 

 
 



 
2 2
2 2
dx d a sin u
du u c
a x
a 1 sin u

V.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc:

1
n
n
x x
;
 
m m
n
n k
m m
n nk
x x ; x x



 
1
n
n
n
n
1 1
x ; x
x
x
;



d(ax ± 1)

d(ax ± 2)

…

d(ax ± p)




x p
1
x 1 x 2
dx d d d
a a a
a

 
 
   
 
 


V.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1.

3

1
1 1
1 dx ln 1
1 3 2
d x
x x x x x x c
x

        

 

2.
 
1
4 7 dx = 4 7 7 4 7 dx
4
x x x x     
 
 

         
3 5 31
2 2 2 2
1 1 2 2
4 7 7 4 7 4 7 4 7 7 4 7
16 16 5 3
x x d x x x c
 
 

arctg
5
10
x c
 
 
 
 

4.



 
 
x
dx 1 2 1 1 1 1 2
2 ln
ln 2 5ln2 5ln2
2 +5 2 2 5 2 5
2 2 5
x x
x
x x x
x x
d
d c
 
    
 

3 4
x x
x d x xd x x c
      
 

Chương II. Nguyên hàm và tích phân

Trần Phương

8
V.3
. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI








1
x 1 x 2 x 3 x 4
J dx
x x
   


;
2

  

   
3 2 3 2
7 8
15 30
x 3x 4x 9 2x 5x 11x 4
J dx ; J dx
x 2 x 1
     
 
 
 
















 dx1x25x3xJ;dx2x51xJ;dx1x3xJ

9 3
15 16 17
4 2 2
10
5
x x x
J dx ; J dx ; J dx
x x 1 x x 1
2 3x
  
   

  

  
     
18 19 20
2 2 2 2
dx dx dx
J ; J ; J
x 2 x 5
x 2 x 6 x 2 x 3
  
 
   
  

        
21 22 23
2 2 2 2 2 2

1 1 1 1
x
28 29 30 31
x 2x 2x x 3x
0 0 0 0
1 e dx 1 e
e dx dx
J ; J ; J ; J dx
1 e 1 e e e e


 
   
  
   

ln 2 ln 4 1 e
3x
32 33 34 35
x 3 x x x
0 0 0 1
dx dx e dx 1 ln x
J ; J ; J ; J dx
x
e e 4e 1 e

  

   
 