Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài tập sử dụng công thức
Khóa LTðH ðảm bảo - Thầy Trần Phương

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN

(
)
(
)
(
)
(
)
4 3 2
1
3
2
1 2 3 4
10 35 50 24
dx
x x x x
x x x x
J dx
x x
x
+ + + +
+ + + +
= =
∫ ∫


∫ ∫

2
2
3
3 7 5 3 3
dx 3 1 3ln 2
2 2 2
x x
J x dx x x x C
x x
− +
 
= = − + = − + − +
 
− −
 
∫ ∫

3 2
2 3 2
4
2 5 7 10 6 2 3
dx 2 3 4 4 6ln 1
1 1 3 2
x x x
J x x dx x x x x C
x x
− + −
 

7 8 9
6
10 10
2 1 1 8
2 3 9 2 1 8
dx 1 1 1 1
7 8 9
1 1
x x
x x
J d x x x x C
x x
− − −
− + − +
− +
= = − = − − − − − − +
− −
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
3 2
7
15 15
2 3 2 4 2 5
3 4 9
dx 2
2 2

dx 1
1 1
x x x
x x x
J d x
x x
+ − + − + +
+ − +
= = +
+ +
∫ ∫( ) ( ) ( ) ( )
26 27 28 29
1 1 15 18
1 1 1 1
13 27 28 29
x x x x C
− − − −
= − + + + + + − + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
100 3 100 3 2
9
3 1 3 3 12 3 42 3 60 3
J x x dx x x x x d x
 
= + − = + + − + + + + +
 

a h
ọ
c trò Vi
ệ
t

( ) ( ) ( ) ( )
104 103 102 101
3 3 7 3 60 3
12
104 103 17 101
x x x x
C
+ + + +
= − + + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 15 2 15
10
1
1 5 2 5 2 14 5 2 49 5 2 5 2
125
J x x dx x x x d x
 
= − + = + − + + + +
 
 
∫ ∫

( ) ( ) ( )
36 35 34
2 1 8 2 1 13 2 1
1
8 36 35 34
x x x
C
 
− − −
 
= + − +
 
 

(
)
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
3 2 3
2
5 5
12
2 3 . 1 dx 2 1 4 1 5 . 1 d 1
J x x x x x x
= + − = − + − + − −
∫ ∫


7
13
4
7
3 5 1
dx 2 1 8 2 1 12 2 1 2 1
8
2 1
x x
J x x x d x
x
−
− +
= = + − + + + +
+
∫ ∫( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 3 4
7 7 7
17 10 3
7 7 7
1
2 1 8 2 1 12 2 1
8
7 2 1 7 2 1 7 2 1
136 10 2
x x x dx

= + = + + = +
∫ ∫

( )
( ) ( ) ( )
4 9
9
10 10 10
5 5
15
4
10
5
3 1
dx 2 3 2 3 2 3
10 6
2 3
x
J x d x x C
x
− −
= = − − = − +
−
∫ ∫

Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài t
ậ
p s
ử
d

dx 1 1
1
x
J x x x dx x dx x x dx
x x
 
= = − − = − −
 
 
+ −
∫ ∫ ∫ ∫( ) ( )
3
2 2 2 3 2
2
1 1
1 1 1
3 3
x dx x d x x x C
 
= − − − = − − +
 
 
∫ ∫

3
3 2 4 3 2
17


( ) ( ) ( )
5 3
2 2 5 3 2 2
2 2
17
1 1 1 1
1 1 1
5 3 5 3
J t t dt t t C x x C
′
⇒
= + = + + = − + − +
∫( ) ( )
5 3
5 2 2
2 2
17
1 1 1
1 1
5 5 3
J x x x C
⇒
= + − + − +

( )( )
18

= = − = − +
 
 
 
+ +
 
+ +
∫ ∫

( )( )
20
2 2
2 2
dx 1 1 1 1 1 2 1
ln arctan
5 5
2 2 2 3 3
2 3
2 3
x x
J dx C
x
x x
x x
 
  −
= = − = − +
 
 
 

22
2
2 2 2
dx 1 1 1 1 3
arctan arctan
3 2 2 21 21
3 7
3 7 2 3 2
x x
J dx C
x
x x x
 
 
= = − = − +
 
+
+ + +
 
 
∫ ∫

Bài 1. Nguyên hàm, tích phân và bài t
ậ
p s
ử
d
ụ
ng công th
ứ

9
36 2 2 9 10 10
2 5
2 5 3 2 2
x x
J dx C
x
x
x x x
 
−
 
= = − = − +
 
+
+
+ − −
 
 
∫ ∫

ln 2
24
1
dx
1
x
J
e
=

1
2
2
1 1
2 2
2arctan 2 arctan 1
4
1
1
e
e e
t
J dt dt t e
t
t t
π
−
− −
 
⇒
= = = = − −
 
 
+
+
∫ ∫

ln 2
2
25

25
2 2
2 1
2
2 1 2
3
t t
J dt t dt
t
−
⇒
= = − =
∫ ∫

ln 2
26
0
1dx
x
J e= +
∫
.

ðặ
t
(
)
2 2
2
2

1 1
2 2 1
t t
J dt dt t
t
t t
−
   − 
⇒ = = + = + = − +
   
+
− −
  
−
∫ ∫

(
)
( )
ln 2 ln 2 ln 2 ln 2
ln 2
27
0
0 0 0 0
1
1 2
dx 1 dx dx 2 ln 2 2ln 1 ln18
1 1 1
x
x x

ả
o - Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng

Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
(
)
( )
( )
1 1
1
28
0
0 0
2
1 1 1 1
1

x x x x
e
e e
J e
e
e e
e
e de
J dx dx e e
e e e
J dx e J
e
e e e e
π
−
−
−
− −
−
+
= = − = − + =
+
+ +
+
 
= = + = + = + = + −
 
 
+ + +
 

J e e e e
e e e e e e
− − −
+
+
   
= = + + = − − − = − + +
   
   
∫ ∫

( )
ln 2 ln 2
32
3 3 3
0 0
ln 4
ln 4 ln 4
33
2
0 0
0
dx 1 1
2
dx 1 2
ln 0
4
4 4 2
x
x

1 1
x x
x x x x
x x
e e
J e e dx e x e
e e
− −
− − −
− −
 
 
−
= = − + − = + + − +
 
 
 
+ +
 
 
∫ ∫2
1 1 1 1
ln
2 2
2
e
e

2
1
t x
= +
36
848
105
J⇒ =
( )
1
6
5 3
37
0
1 dx
J x x= −
∫
. ðặt
3
1
t x
= −

37
1
168
J⇒ =
1
3 2
38

ðả
m b
ả
o - Th
ầ
y Tr
ầ
n Ph
ươ
ng

Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t
(
)
( )
( )
1 1 1
39
0 0 0
2
1 1 2
2

J
t t t
J dx
−
−
 
+
−
 
= = − = − = −
 
+ +
 
 
 
+ + −
 
= = = = + =
 
+ + + − +
 
+
= = + +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
1
1
4 3 2
0

5 3
2 2
42
2
2
2 2
2 1 d
5 3
e
e
t t
J t t t
+
+
 
⇒ = − = − =
 
 
 
∫
Nguồn:
Hocmai.vn