1

Sở giáo dục và ðào tạo Thanh Hóa ðỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2010-2011
Trường THPT chuyên Lam Sơn Môn thi :Toán khối A ( thời gian 180 phút )
Ngày thi : 7 /5/2011 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ñiểm )
Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số
3 2
2 3( 1) (1)
y x m x m
= − − +
(m là tham số thực)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1) khi
2.
m
=

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số có ñiểm cực trị, kí hiệu là A, B sao cho ba ñiểm A, B,
(3;1)
I thẳng hàng.
Câu II (2,0 ñiểm )
1. Giải phương trình
2
2
sin
(7cos 3)cot .
tan tan
4 4
x

có
, 2 , ' 3 ( 0)
AB a AD a AA a a
= = = >
và

0
60 .
BAD
=

Chứng minh rằng AB vuông góc với BD’ và tính khoảng cách từ ñiểm
'
A
ñến mặt phẳng
( ').
ABD

Câu V (1,0 ñiểm ) Cho các số thực
, ,
x y z
thỏa mãn
2 2
0
0
2 1.
x
y
x y


ñường thẳng
1 2
: 2 5 0, : 2 1 0.
d x y d x y
− + = − + =
Viết phương trình các ñường thẳng
AD
và
,
BC

biết
( 3;3)
M
−
thuộc ñường thẳng AD và
( 1;4)
N
−
thuộc ñường thẳng BC.
2. Trong không gian tọa ñộ Oxyz, viết phương trình ñường thẳng song song với các mặt phẳng

( ) :3 12 3 5 0, ( ):3 4 9 7 0
P x y z Q x y z
+ − − = − + + =
và cắt hai ñường thẳng
1 2
5 3 1 3 1 2
: , : .
2 4 3 2 3 4

ố
g
ồ
m

6 ch
ữ
s
ố
khác nhau và t
ổ
ng ba ch
ữ
s
ố

ñầ
u l
ớ
n h
ơ
n t
ổ
ng ba ch
ữ
s
ố
cu
ố
i m

m
( 3;0), ( 1;0).
A I
− −
Tìm t
ọ
a
ñộ

các
ñ
i
ể
m
,
B C
thu
ộ
c
( )
E
sao cho I là tâm
ñườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác
.
ABC

và t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
Oxz
m
ộ
t góc nh
ỏ
nh
ấ
t.

Câu VII.b (1,0 ñiểm )
Cho s
ố
ph
ứ
c
2
6(1 ) 4( 3 4 )
.
1
i i
z

+
+
.
1. Kh
ả
o sát s
ự
bi
ế
n thiên và v
ẽ

ñồ
th
ị
(
H
)c
ủ
a hàm s
ố
.
2. Tìm t
ọ
a
ñộ
các
ñ
i
ể

một góc 45
0
.
Câu II (2,0 ñiểm)
1. Giải phương trình
cos
tan 2 cot
cos sin
x
x x
x x
+ =
−
.
2. Giải bất phương trình
3 5 6 2
log 4 log 16 0
x x− −
− ≥
.
Câu III (1,0 ñiểm)
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy cho miền phẳng (D) giới hạn bởi các ñường x = 0; y = 0; y = 10;
1
y x
x
=
−
. Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo thành khi quay miền (D) xung quanh Ox.
Câu IV (1,0 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang vuông ở A và B,

1
25 9
x y
+ =
với
1 2
,
F F
là hai tiêu ñiểm; M là ñiểm trên
elíp sao cho

0
1 2
90
F M F = . Tìm bán kính của ñường tròn nội tiếp tam giác
1 2
MF F
.
2. Trong không gian, với hệ trục tọa ñộ Oxyz cho các ñiểm A(-1; -1;0), B(0;6;-3) và mặt phẳng
(P) có phương trình
2 3 0
x y z
+ − − =
. Tìm tọa ñộ ñiểm M trên (P) ñể
MA MB
− lớn nhất.
Câu VII.a. (1,0 ñiểm) Tìm số phức z thỏa mãn hệ phương trình
( ) ( )
( )
2

2 1 5
:
3 2 1
x y z
d
+ − −
= =
−
và hai ñiểm
(
)
(
)
2; 1;1 , 1; 1;0
A B− − .Tìm tọa ñộ ñiểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác AMB nhỏ nhất.
Câu VII.b. (1,0 ñiểm)
Tìm m ñể hàm số
(
)
2
2 1
2
x m x m
y
x
+ − + −
=
−
có hai ñiểm cực trị
1 2

x x
y y
+ −
→− →−
= +∞ = −∞
nên ñồ thị có tiệm cận ñứng x = -1.
0,25
+
lim lim 2
x x
y y
→−∞ →+∞
= =
nên ñồ thị có tiệm cận ngang y = 2 ;
( )
2
2
' 0, 1
1
y x
x
−
= < ∀ ≠ −
+

nên hàm số nghịch biến trong mỗi khoảng (-∞ ;-1) và (-1;+∞ ); không có cực trị.
0,25

0,25
Câu

n n
∆
=
 
⇔
2
3 1
1
2
1. 10
k
k
+
=
+

⇔ 2k
2
+3k - 2 = 0 ⇔ k = -2 hoặc k = 1/2.
0,25
+
1/ 2
k
=
, ý nghĩa hình học của ñạo hàm ⇒
(
)
1/ 2 '
M
y x

⇔
(
)
(
)
sin 2 .sin cos2 .cos . cos sin cos .cos2 .sin
x x x x x x x x x
+ − =
⇔
(
)
(
)
(
)
cos . cos sin cos . cos sin . cos sin .sin
x x x x x x x x x
− = − +
0,25
⇔
(
)
cos cos cos sin sin
x x x x x
= + (do
cos sin
x x
−
≠ 0)
⇔

2
cos cos sin 0
x x x
− =

⇔
cos 0
x
=
(do
cos sin
x x
−
≠ 0) ⇔
/ 2 ,x k k
π π
= + ∈
Z
thỏa mãn (*)
0,25
Sở Giáo dục và ðào tạo Thanh Hóa
Trường THPT chuyên Lam Sơn
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Trang 2/4
Câu Nội dung cơ bản
ðiểm

ðiều kiện

( ) ( )
2 2
2 2
log 6 2 2log 3 5
0
log 3 5 .log 6 2
x x
x x
− − −
≥
− −
⇔
(
)
(
)
( )
2 2
2
log 6 2 2log 3 5
0
log 3 5
x x
x
− − −
≥
−
(1)
( với ñiều kiện (*) thì
(

2
4 3 0
x x
− + ≤
⇔ 1 ≤ x ≤ 3, kết hợp ñiều kiện x > 2 ta có 2 < x ≤ 3.
0,25
Câu
II.2
(1,0 ñ)
Trên miền
5/3 2
x
< <
, ta có
(
)
2
log 3 5 0
x
− <
nên
(1) ⇔
(
)
(
)
2 2
log 6 2 2 log 3 5 0
x x
− − − ≤

+ Miền (D) là hình thang cong OABC với
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0 , 0;10 , 5;10 , 1;0
O A B C
⇒ hình chiếu của B trên Ox là
(
)
5;0
H .
0,25

OABH CBH
V V V
= − , trong ñó ,
OABH CBH
V V lần lượt là thể tích các khối tròn xoay do hình
chữ nhật OABH và tam giác cong CBH quay xung quanh trục Ox.
0,25
+ Công thức thể tích hình trụ
⇒
2 2
. . 10 .5 500
OABH

 
∫ ∫

⇒
344 1156
500
3 3
V
π π
π
= − = (
ñ
vtt)
0, 25
+ H
ạ
SH ⊥ (ABCD) t
ạ
i H , có SA = SB = SD ⇒ HA = HB = HD (các hình chi
ế
u có
các
ñườ
ng xiên b
ằ
ng nhau) ; ∆ABD vuông
ở
A nên H là trung
ñ
i

+ Hạ HI ⊥ CD tại I , theo ñịnh lý ba ñường vuông
góc ta có CD ⊥ SI
⇒
SI là khoảng cách cần tìm.
0,25
Câu IV
(1,0ñ)

+ ∆HID
⇒

0
3
.sin 3.sin60
2
a
HI HD HID a= = =
+ ∆SHI
⇒
2 2
13

2
a
SI SH HI= + = =
0,25
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Trang 3/4

1 1
M
a b
= +
+ +
với ñiều kiện (1) và a,b ≥ 0 .
0,25
+ Lại ñặt ,
a b S ab P
+ = =
. ðiều kiện (1)
⇒

2 2
4 1
a b S
+ = +
và
2
4 1 2
S S P
− − = (1')
+ Kết hợp (1') và ñiều kiện phương trình
2
0
t St P
− + =
có 2 nghiệm không âm.
ta có hệ
2

2
2
8 2 0
0; 4 1 0
S S
S S S

− − ≤


≥ − − ≥


⇔
2 5 4 3 2
S+ ≤ ≤ + (2)
0,25
+ Có
1 1 4
u v u v
+ ≥
+
với u,v > 0 nên
2 2
4 4
4 3
2
M
S
a b

2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 4 3
1 1 1 4 2
a b S
M
a b a b a b S P
+ + +
= + = =
+ + + + + + +
(do
2 2
4 1
a b S
+ = +
)
+
( )
2
4 3 1 1
0 1 1
4 2 4 2
4 2 5 2
S
P M
S S
+
≥ ⇒ ≤ = + ≤ +
+ +
+ +

2
2 2
1 2 1 2
64
MF MF F F
+ = =

0,25
+
1 2
MF F
∆ vuông ở M nên
( ) ( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 .
dt MF F MF MF MF MF MF MF
∆ = = + − −
mà
1 2
2 10
MF MF a
+ = =
nên
(
)
2
1 2
4 10 64 36

0,25
+ Gọi A' là ñiểm ñối xứng của A qua (P), ∀M ∈ (P) ta có MA = MA' nên
' '
MA MB MA MB A B
− = − ≤ (*). Dấu "=" xảy ra ⇔ M,A',B thẳng hàng và M nằm
ngoài ñoạn A'B, tức là M ≡ M
0
= A'B ∩ (P); khi ñó
MA MB
− lớn nhất.
0,25
+ Hạ AH ⊥(P) tại H, thì
(
)
( )
1; 1;0
:
1;2; 1
AH P
A
AH
u n

− −


= = −


 

BM
BA

−


= −



qua
v.t¬ chØ ph−¬ng
⇒ tọa ñộ
(
)
0
;6 3 ; 3
M s s s
− − +
(s là tham số).
+ M
0
∈ (P) ⇒
(
)
(
)
2 6 3 3 3 0
s s s
+ − − − + − =

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
Trang 4/4
Câu Nội dung cơ bản
ðiểm

+ ðặt
(
)
,
z a bi a b R
= + ∈Víi , từ phương trình
(
)
(
)
1 2 1 2 6
i z i z
− + + =
ta có

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 6

(2)
0,25
+ Từ (1),(2) ta có
( )
2
2
3 2 4 3 0
b b b
− + − + =
⇔
2
5 16 12 0
b b
− + =
⇔
2
b
=
;
6
5
b
=
.
0,25
Câu
VIIa
(1,0ñ)
2 1
b a

⇒

(
)
;
BC
n b a
= −


Khi ñó cạnh của hình vuông bằng
P AB Q BC
d d
→ →
= (1) ( Vẽ hình minh họa)
0,25
+ AB qua M(10;3) nên phương trình AB :
(
)
(
)
10 3 0
a x b y
− + − =
.
+ P(-3;4)
⇒

2 2
13

=
+
(3)
0,25
Câu
VIb.1
(1,0ñ)
+ Từ (1), (2), (3) ta có
13 3 5
a b b a
− + = − + → 2 trường hợp:

13 3 5
a b b a
− + = − +
⇔
18 4 0
a b
− =
, chọn a = 2
⇒
b = 9 ta có
: 2 9 47 0
AB x y
+ − =13 3 5
a b b a
− + = −

)
1;0; 1
AB
= − −


0,25
+
( )
; 2 2;2 8; 2 2
AM AB t t t
 
= = − − − +
 
 

0,25
+
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
1 1
; 2 2 2 8 2 2 3 12 18
2 2
dt AMB AM AB t t t t t
 
∆ = = − + − + − + = − +
 
 


= =
−
.
0,25
+ ðặt
(
)
2
4 3
f x x x m
= − + −
, yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình
(
)
0
f x
=
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
x x
khác 2 và thỏa mãn
1 2
3 6
x x
+ =
.
0,25
+ Kết hợp với ñịnh lý Vi ét ta có hệ
(

3, 1
x x
= =
thay vào (2) → m = 0 khi ñó (1) thỏa mãn
Vậy giá trị cần tìm là m = 0.
0,25

Ghi chú : ðáp án có 4 trang - Các cách giải khác nếu ñúng vẫn cho ñiểm tối ña.
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1

Trường THPT chuyên Lam sơn
ðÁP ÁN
ðỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2010-2011. Môn thi :Toán khối A
Câu
Ý
Nội dung ðiểm
I 2,00
1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số (1) khi
2.
m
=

1,00
Với
20,50

• Bảng biến thiên:

0,25 ðồ thị hàm số:


0,25
Ba ñiểm A, B,
(3;1)
I thẳng hàng thẳng hàng khi và chỉ khi
I AB
∈

0,25
⇔
2
4
1 ( 1) .3
3
m m m
=− − + ⇔ =
ho
ặ
c
1
m
=
(lo
ạ
i).
ð
S:
4
.
3

,
x x
là nghiệm của
' 0,
y
=
suy ra
2
( ) ( 1) ( 1,2).
i i i
y y x m x m i
= = − − + =

Suy ra pt ñt ñi qua hai ñiểm cực trị A, B:
2
( 1) .
y m x m
=− − +0,25 Ba ñiểm A, B,
(3;1)
I thẳng hàng thẳng hàng khi và chỉ khi
I AB
∈

⇔

y

+∞

−∞

+∞

0

2

1

1

0

0

+

−

+

x

y


0,25
Ta có
tan tan tan cot 1.
4 4 2 4 4 4 4
x x x x x x
π π π π π π π
           
     
     
+ + − = ⇒ + − = + + =
     
     
     
     
           

Phương trình ñã cho trở thành
2 2 3 3
cos
sin (7cos 3) sin 3cos 7cos 0
sin
x
x x x x x
x
= − ⇔ + − =
3
4cot 3cot 1 0
x x
⇔ − − =
cot 1



 
ℤ

0,25
2

Giải bất phương trình:
2
2 2 3 2
x x x x
+ + − − ≤ −
(1)
1,00
ð/k:
2
[ ; ).
3
x
∈ +∞
(
)
2
(1) 2 3 2 ( 2) 0
x x x x
⇔ + − − + − − ≤

2
( 2) 1 0

+ + −
là hàm ñồng biến trên
2
;
3
 
+∞


 

Suy ra
2 5 3
( ) 0
3 3 2
f x f
 


≥ = − >




 
. Vậy
(2) [2/3;2].
x
⇔ ∈



1
5.
x
x

=

⇔

=−
0,25

Với
2
[ 5;1] 2 4 2.
x x x x
∈ − ⇒ + ≥ + −
Vậy diện tích cần tìm là
( )
1
2
5
2 4 2
S x x x dx
−
= + − − +

−
 
 
 
= − − + − + = + =
 
 
 
 
 
   
(ñvdt).

0,25
IV

Chứng minh
'
AB BD
⊥
và tính
( ',( '))
d A ABD

1,00

Trong tam giác ABD, ta có:
2 2 2 0 2
2 . cos60 3
BD AB AD AB AD a

= ∩ ⇒
là trung ñiểm A’D,
Suy ra
( ',( ')) ( ,( ')).
d A ABD d D ABD
=

Kẻ
' ( ' ).
DH D B H D B
⊥ ∈
(1)
Từ ( ' ' )
AB BB D D AB DH
⊥ ⇒ ⊥
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
( ') ( ,( ') .
DH ABD d D ABD DH
⊥ ⇒ =
0,25

DH DB DD
= + ⇒ = ⇒ = 0,25
V
Chứng minh bất ñẳng thức
1,00
Áp dụng bất ñẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
(
)
( )
2
1 2 1 2 2 2 2( )
x y x y
+ + + ≤ + +
và
2
2 2 2
1 1 3
( ) 1. . 2 1 ( 2 ) .
2 2
2
x y x y x y
 
 





Ta lại có
(
)
2
1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2( ) 4
x y x y x y xy
+ + + = + + + + + +
2 2( ) 2 1 2( ).
x y x y
≥ + + + + +

Mặt khác
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2
( ) 2 ( 2 ) .
2 2 2 2
x
x y x xy y y x y x y+ = + + ≥ + = + = ⇒ + ≥

Do ñó
1 2 1 2 1 1 2.
x y
+ + + ≥ + + 0,75

( )
. ( , ) . ( , )
ABCD
AB d AB CD S BC d AD BC
= =

2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
d AB CD d AD BC d E d d M BC
= ⇔ =
2 2
4 2
1 4
a b
a b
− − −
⇔ =
+
+

2 2
11 20 4 0
b ab a
⇔ − − =
⇔
2
b a
=
hoặc
11 2 .

Với
11 2 ,
b a
= −
chọn
11 2.
a b
= ⇒ = −
Suy ra
:11 2 19 0.
BC x y
− + =

Vì
/ / :11( 3) 2( 3) 0 11 2 39 0.
AD BD AD x y x y
⇒ + − − = ⇔ − + =0,25
Mặt phẳng (P) có một vtpt
(3;12; 3),
P
n
= −

mp(Q) có một vtpt
(3; 4;9).
Q
n = −





=



 
 0,25
Suy ra
( 3; 1;2), (5; 4; 2)
1
3 1 2
: .
1
8 3 4
(8; 3; 4)
A B
t
x y z
AB
s
AB

− − − −


− −0,25
3

Tìm số các số ….
1,00
Giả sử lập ñược số
1 2 3 4 5 6
x a a a a a a
=
thoả mãn yêu cầu bài toán. Ta có
1 2 3 4 5 6 1 2 3 1 2 3 4 5 6
1 2( ) 1 16

}
{
}
{
}
{
}
1 2 3 4 5 6
, , 0;3;5 , , 1;2;4 .
a a a a a a
= ⇒ =
Trường hợp này lập ñược
2.2!.2!
(số).
Với
{
}
{
}
{
}
{
}
1 2 3 4 5 6
, , 1;2;5 , , 0;3;4 .
a a a a a a
= ⇒ =
Trường hợp này lập ñược
3!.2!
(số).


Tìm toạ ñộ các ñiểm B, C
1,00
Ta có
2
IA
= ⇒
ðường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có pt:
2 2
( 1) 4.
x y
+ + =

0,25
Toạ ñộ của các ñiểm B, C cần tìm là nghiệm của hệ pt:
2 2
2 2
1
9 4
( 1) 4.
x y
x y



+ =





x y

−


= − =


⇔



+ + =


0,25
Với
3 0,
x y
=− ⇒ =
suy ra B hoặc C trùng A (loại).
0,25
 
   
hoặc
3 4 6 3 4 6
; , ; .
5 5 5 5
B C
   
− − −
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   0,25
2

Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua các ñiểm
1,00
Gọi
2 2 2
( ; ; ) ( 0)
n a b c a b c

ϕ =
 
 
trong ñó
(0;1;0)
j
=

là vtpt của
mặt phẳng
( ).
Oxz
Vậy
2 2 2
cos .
b
a b c
ϕ =
+ +

Nếu
0,
b
=
thì
0
cos 0 90
ϕ ϕ
= ⇒ =
có giá trị lớn nhất.

a c a c a c
− + ≤ + + = +
nên
0
1 2
cos 45 .
1 1 2
ϕ ϕ≤ = ⇒ ≥
+

Dấu
" "
=
xảy ra khi
12 5 .
a c
− =
Chọn
5,
a
=
thì
12
c
= −
và
13.
b
= −


45 ,
Min
ϕ
= khi
12 13
13 12 0,
5
c c b
a
b
−
− = =
. Suy ra
( ) : 5 13 12 70 0.
P x y z
− − − = 0,50

www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
5

VII.b


   
 
và
2 2
1 2 2 cos sin .
2 2 4 4
i i i
π π
 
 
− −





− = − = +









 

 


   
   
− −
 
 
 
 
= = + + +
 
 
 
 
 
 
   
− −
 


+




 

3
4 2 cos sin 128 2 cos sin .
12 12 4 4
i z i


'
BHB
ϕ
=
là góc giữa mp(P) và mp(Oxz).
Ta có

'
tan tan ' ,
'
BB
BHB
B H
ϕ
= = nhưng BB’ không ñổi còn
' ' ,
B H B A
≤
nên
'
tan .
'
BB
B A
ϕ
≥ Dấu bằng xảy ra khi H trùng
A, tức là góc
ϕ
có giá trị nhỏ nhất.

(5;13; 12),
BA
= −

ta chọn
[ , ] (12;0;5).
u BA j
= =
  
0,25

Mặt khác mp(P) chứa A, B và
∆
, nên vtpt
n

của (P) cùng
phương với vectơ
[ , ] (65; 169; 152).
BA u
= − −
 

0,25

n


u


www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com