http://ductam_tp.violet.vn/
SỞ GD & ĐT BẮC NINH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2011
TRƯỜNNG THPT LƯƠNG TÀI 2 Môn: Toán – Ngày thi: 06.12.2010
Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm )
Câu I: (2 điểm)
Cho hàm số
2
32
x
x
y
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C)
tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường
tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
e
dxxx
xx
x
I
1
2
ln3
ln1
ln
Câu IV (1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =
2
a
.
3aSA
Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2
Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn)
Câu VIa (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng
052:
1
yxd
.
d
2
: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường
thẳng đó cắt hai đường thẳng d
1
và d
2
tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai
đường thẳng d
1
, d
2
.
2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2),
D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: 02
zyx . Gọi A’là hình chiêú của A
lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và
bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S).
3
:)(
zy
x
d , điểm A( -2; 3; 4). Gọi
là đường thẳng nằm trên (P) đi qua giao
điểm của ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d. Tìm trên
điểm M sao cho khoảng cách
AM ngắn nhất.
Câu VIIb (1 điểm):
Giải hệ phương trình
113
2.322
2
3213
xxyx
xyyx
Hết
b) Bảng biến thiên:
Ta có:
2x,0
2x
1
'y
2
Bảng biến thiên:
x
-
2
+
y’ - -
y
2 -
+
3
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
0,25
I. 2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất 1,00
Ta có: 2x,
2x
3x2
;xM
0
0
0
0
2
0
0,25
Toạ độ giao điểm A, B của
và hai tiệm cận là:
2;2x2B;
2x
2x2
;2A
0
0
0
suy ra M là
trung điểm của AB.
0,25
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam
giác IAB có diện tích
S =
3x
1x
)2x(
1
)2x(
0
0
2
0
2
0
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
0,25
II. 1 Giải phương trình lượng giác 1 điểm)1(
24
cos2sin
2
cossin
2
sin1
22
0,25
01
2
x
cos
2
x
sin2.
2
x
cos
2
x
sinxsin01xsin
2
x
cos
2
x
sinxsin
0,25
O
y
x
2
3/2
3/2
2
2
sinx 0
x k
x k
x
sin 1 x k ,k
x
2 x k4
k2
2 2
x x
2sin 2sin 1
2 2
ĐK:
*
2
1
x
2
1
x
2
1
x
0)1x2(
2
1
x
01x4x4
0,25
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với:
1)x21(log)2x(2x2)x21(log2
22
01)x21(logx
2
0,25
0x
4
1
x
1)x21(2
0x
1)x21(2
0x
0)x21(2log
0x
0)x21(2log
0x
01)x21(log
0x
1
xdxlnx3dx
xln1x
xln
I
+) Tính
e
dx
xx
x
I
1
1
ln1
ln
. Đặt
dx
x
1
tdt2;xln1txln1t
2
Đổi cận: 2tex;1t1x
0,25
0,25
+) Tính
dxxlnxI
e
1
2
2
. Đặt
e2225
3
0,25
IV Tính thể tích hình chóp
1 điểm
Theo định lí côsin ta có:
2 2 2 2 2 0 2
SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a
Suy ra
a
SB
. Tương tự ta cũng có SC = a.
0,25
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam
giác cân nên MB SA, MC SA. Suy ra SA (MBC).
Ta có
MBCMBCMBCMBC.AMBC.SABC.S
S.SA
3
1
S.SA
3
4
3a
MN
.
0,25
Do đó
16
a
2
a
.
4
3a
.3a
6
1
BC.MN
2
1
.SA
3
1
V
3
(*)
áp dụng (*) ta có
333333
a3cc3bb3a
9
a3c
1
c3b
1
b3a
1
P
a 3b b 3c c 3a 4 a b c 6
3
1 3
4. 6 3
3 4
Do đó
3
P
0,25
Dấu = xảy ra
3
a b c
1
a b c
4
4
a 3b b 3c c 3a 1
VIa.1 Lập phương trình đường thẳng 1 điểmCách 1: d
1
có vectơ chỉ phương
)1;2(a
1
; d
2
có vectơ chỉ phương )6;3(a
2
Ta có:
06.13.2a.a
21
nên
21
dd và d
1
cắt d
2
tại một điểm I khác P. Gọi d
là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình:
0BA2ByAx0)1y(B)2x(A:d
A3B
B3A
0B3AB8A345cos
)1(2BA
BA2
220
2222
0,25
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng 05yx3:d
0,25
* Nếu B = -3A ta có đường thẳng 05y3x:d
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 05yx3:d
05y3x:d
5yx2
2
1
2222
0,25
+) Nếu d //
1
thì d có phương trình 0cy9x3
.
Do P
d nên 05y3x:d15c0c96
0,25
+) Nếu d //
0,25
VIa. 2
Xác định tâm và bán kính của đường tròn 1 điểmDễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là:
0,25
0dcba,0dcz2by2ax2zyx
222222
Vì
SD,C,B,'A nên ta có hệ:
0,25
(S) có tâm
1;1;
2
5
I , bán kính
2
29
R
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P).
(d) có vectơ chỉ phương là:
1;1;1n
Suy ra phương trình của d:
0,25
6
1
;
6
1
;
3
5
H
6
35
36
75
IH , (C) có bán kính
6
186
6
31
36
75
4
29
1n2
k2
1n2
1
1n2
n2
xC)1n2( xkC)1( xC2C)x1)(1n2(
(2)
0,25
Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có:
1n21n2
1n2
2kk
1n2
k3
1n2
2
1n2
1n2
xC)1n2(n2 xC)1k(k)1( xC3C2)x1)(1n2(n2
b
y
a
x
2
2
2
2
( với a > b)
(E) cũng có hai tiêu điểm
15ba0;5F;0;5F
222
21
0,25
2bab16a9E3;4M
2222
0,25
VIb. 2
Tìm điểm M thuộc
để AM ngắn nhất 1 điểm Chuyển phương trình d về dạng tham số ta được:
3
1
32
tz
ty
tx
Gọi I là giao điểm của (d) và (P)
3;1;32 tttI
Do
u4z
uy
u1x
: . Vì
u4;u;u1MM
,
u;3u;u1AM
0,25
AM ngắn nhất
AM
0u.1)3u(1)u1(10u.AMuAM 3
4
u
. Vậy
)1( 2.322
2
x3y2y1x3
Phương trình (2)
0)13(
1
113
01
2
yxx
x
xxyx
x
013
0
1
0,25
* Với x = 0 thay vào (1)
11
8
log
11
8
22.12282.322
2
2
y
yyyyy
0,25
* Với
xy
x
31
)83(log2y
183log
3
1
x
83t
i¹lo83t
01t6t6
t
1
t)3(
2
2
2
0,25
2
2
0,25
Copyright: Tài liệu đại học ©