HỌC VIỆN NGÂN HÀNG
BỘ MÔN TOÁN
———————o0o——————–
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP
Giảng viên: Trần Thị Xuyến
HÀ NỘI - 2013
GIỚI THIỆU HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP
Số tín chỉ: 3.
Phân bố thời gian:
Lý thuyết 60 %
Bài tập 40 %
Chương 1: Hàm số và giới hạn
Chương 2: Đạo hàm
Chương 3: Hàm số nhiều biến số và cực trị của hàm nhiều biến.
Chương 4: Tích phân
Chương 5: Phương trình vi phân
Chương 6: Phương trình sai phân
TIÊU CHUẨN ĐÁNH GIÁ SINH VIÊN
Điểm chuyên cần: 10 %
Điểm kiểm tra giữa kì: 2 bài chiếm 30 %
Thi hết học phần: 60%
Thang điểm 10.
Bài kiểm tra số 1: Khi kết thúc chương 3
Bài kiểm tra số 2: Khi kết thúc chương 6
1
CHƯƠNG 1
HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN
1.1 HÀM SỐ
1.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
A. Biến số
Định nghĩa 1.1.1. Biến số là đại lượng mà giá trị của nó có thể thay đổi trên

f(X) = {y ∈ R|y = f(x), x ∈ X} là miền giá trị của hàm số.
Đồ thị hàm số là: {(x, y)|y = f(x), x ∈ X}
C. Các cách cho hàm số
1. Hàm số cho bởi bảng.
2. Hàm số cho bởi biểu thức giải tích.
Ví dụ 1.1.1. y =
√
5 − x
2
hay y =





x
3
− 1, x > 3
5 + x, x ≤ 3
3. Hàm số cho bởi đồ thị hàm số.
D. Hàm ẩn
Định nghĩa 1.1.3. Hàm y(x) thỏa mãn hệ thức liên hệ giữa x và y: F (x, y) = 0
thì y gọi là hàm ẩn của x.
Ví dụ 1.1.2. x
2
+ y
2
− 1 = 0 hay x
3
− y

, ∀x ≥ 1
3
Các hàm ngược của các hàm số cơ bản
1. Khi xét hàm số y = sin x xác định trên X =

−
π
2
,
π
2

và có MGT [−1, 1] có hàm
ngược là y = arcsin x xác định trên [−1, 1] và có MGT là

−
π
2
,
π
2

.
2. Khi xét hàm số y = cos x xác định trên X = [0; π] và có MGT [−1, 1] có hàm
ngược là y = arccos x xác định trên [−1, 1] và có MGT là [0; π].
3. Khi xét hàm số y = tan x xác định trên X =

−
π
2

1
) <
f(x
2
), ∀x
1
, x
2
∈ X.
• Hàm số y = f (x) gọi là đơn điệu giảm trên miền X nếu x
1
> x
2
thì f (x
1
) <
f(x
2
); ∀x
1
, x
2
∈ X.
Hàm số bị chặn
• Hàm số f(x) xác định trong X được gọi là bị chặn trên trong X nếu ∃M sao
cho f(x) ≤ M, ∀x ∈ X.
• Hàm số f (x) xác định trong X được gọi là bị chặn dưới trong X nếu ∃m sao
cho f(x) ≥ m, ∀x ∈ X.
• Hàm số f (x) bị chặn trên và bị chặn dưới thì được gọi là bị chặn.
f(x) bị chặn trong X ⇔ ∃a : |f(x)| ≤ a, ∀x ∈ X

a
x (a > 0, a = 1).
Khi a = 10, ta có hàm f(x) = lgx.
TXĐ: D = (0; +∞).
5. Các hàm lượng giác:
y = sin x có tập xác định là R
y = cos x có tập xác định là R
y = tan x có tập xác định là x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
y = cot x có tập xác định là x = kπ, k ∈ Z
6. Các hàm lượng giác ngược:
y = arcsin x có tập xác định là [−1, 1]
y = arccos x có tập xác định là [−1, 1]
y = arctan x có tập xác định là R
y = arccot x có tập xác định là R
Các phép toán sơ cấp
1. Phép toán cộng, trừ, nhân, chia đối với các hàm số.
5
2. Phép hợp hàm
Giả sử khi x thay đổi trong X, các giá trị của hàm số u = ϕ(x) luôn thuộc
miền xác định của hàm số y = f(u).
Khi đó, ta có quy tắc: x → u = ϕ(x) → y = f[ϕ(x)].
Hàm y = f [ϕ(x)] gọi là hàm hợp của hàm y = f(u), u = ϕ(x).
Các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm sơ cấp cơ bản bởi các phép toán
số học và phép lấy hàm hợp.
Ví dụ 1.1.4. Các hàm sơ cấp: lg(x
2

∗
→ R
n → f (n)
6
được gọi là một dãy số. Kí hiệu: (x
n
)
x
n
được gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát.
Ví dụ: x
n
= 100(1 + 0.14)
n
có các số hạng là 114; 129.96;
1.2 GIỚI HẠN
1.2.1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
Định nghĩa giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.2.1. Ta nói dãy số x
n
có giới hạn là a (hay x
n
hội tụ đến a) nếu
∀ > 0, ∃n
0
: ∀n > n
0
, |x
n
− a| < .

n→+∞
y
n
Giới hạn của dãy số đơn điệu
Định lí 1.2.2. 1. Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn hữu hạn.
7
2. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn hữu hạn.
Ví dụ 1.2.1. Dãy số sau có giới hạn hữu hạn
x
n
=

1 +
1
n

n
số e và logarit tự nhiên
e = lim
n→+∞

1 +
1
n

n
Logarit cơ số e được gọi là logarit tự nhiên hay logarit Nêpe.
ln x = log
e
x

f(x) = lim
x → x
0
x < x
0
f(x)
8
2. Giới hạn bên phải
lim
x→x
+
0
f(x) = lim
x → x
0
x > x
0
f(x)
Định lí 1.2.3. Hàm số f (x) có giới hạn là L khi x → x
0
⇔ lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x) = L
Giới hạn của các hàm sơ cấp cơ bản

± b
2
2. lim
x→a
[kf(x)] = kb
1
3. lim
x→a
[f(x).g(x)] = b
1
.b
2
4. lim
x→a
f(x)
g(x)
=
b
1
b
2
, (b
2
= 0)
5. lim
x→a
[f(x)]
g(x)
= b
b

≤ x
2
sin
1
x
≤ x
2
Mà
lim
x→0
(−x
2
) = lim
x→0
x
2
= 0
Do đó:
lim
x→0
x
2
sin
1
x
= 0
Định lí 1.2.6. Nếu f (x) là hàm bị chặn và g(x) thỏa mãn lim
x→a
g(x) = 0 thì
lim

2
= lim
x→+∞
2 cos
√
x + 1 +
√
x
2
sin
1
2(
√
x + 1 +
√
x)
Ta có




cos
√
x + 1 +
√
x
2




với f(x), g(x) → 0 khi x → x
0
Ví dụ 1.2.4. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
(1 + x)(1 + 2x)(1 + 3x) − 1
x
2. lim
x→1
x −
√
2x − 1
x
2
− 12x + 11
Dạng
∞
∞
: Tính lim
x→x
0
f(x)
g(x)
với f(x), g(x) → ∞ khi x → x
0
Ví dụ 1.2.5. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→+∞

x +

2
− 1
2. lim
x→+∞
(x + 2)

x − 1
x
3
+ x
Dạng ∞−∞: Tính lim
x→x
0
[f(x) − g(x)] với f (x), g(x) → ∞ khi x → x
0
Ví dụ 1.2.7. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→+∞
(
√
x + 1 −
√
x)
2. lim
x→+∞
(

x
2
+ 1 − x)

cot πx
Dạng vô định chứa hàm lượng giác
Chú ý:
lim
x→0
sin x
x
= 1
Mở rộng: Nếu ta có lim
x→a
α(x) = 0 thì
lim
x→a
sin α(x)
α(x)
= 1
Ví dụ 1.2.9. Tính giới hạn sau
lim
x→π
sin mx
sin nx
Các công thức giới hạn quan trọng khác
1. lim
x→0
log
a
(1 + x)
x
= log
a

1. lim
x→a
log
a
(1 + α(x))
α(x)
= log
a
e (0 < a = 1)
12
lim
x→a
ln(1 + α(x))
α(x)
= 1
2. lim
x→a
a
α(x)
− 1
α(x)
= ln a
lim
x→a
e
α(x)
− 1
α(x)
= 1
3. lim

x→x
−
0
f(x) = f (x
0
)
2. f (x) gọi là liên tục phải tại x
0
nếu
lim
x→x
+
0
f(x) = f (x
0
)
Định lí 1.3.1. f(x) liên tục tại x
0
⇔ lim
x→x
−
0
f(x) = lim
x→x
+
0
f(x) = f (x
0
)
13

0
.
Nếu tỉ số
∆y
∆x
=
f(x
0
+∆x)−f(x
0
)
∆x
có giới hạn hữu hạn khi ∆x → 0 thì giới hạn đó được
gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x = x
0
. Kí hiệu: f

(x
0
)
f

(x
0
) = lim
∆x→0
∆y
∆x
Định nghĩa 2.1.2.
f

−
(x
0
) = lim
∆x→0−
∆y
∆x
nếu giới hạn đó tồn tại hữu
hạn.
Định lí 2.1.1. Hàm số f (x) có đạo hàm tại x
0
khi và chỉ khi tồn tại f

+
(x
0
), f

−
(x
0
)
và f

+
(x
0
) = f

−

0
) = k, ngược lại kết
luận hàm số không có đạo hàm tại x
0
.
Ví dụ 2.1.1. Tính đạo hàm của hàm số sau tại điểm x = 0
f(x) =





1 − cos x
x
, x = 0
0, x = 0
Ví dụ 2.1.2. Tính đạo hàm của hàm số y = |x| tại x = 0 (nếu có)
Lời giải
Cho x = 0 số gia ∆x
∆y
∆x
=
|0 + ∆x| − |0|
∆x
=
|∆x|
∆x
lim
∆x→0+
∆y


+
(0) = f

−
(0) nên hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0
Định lí 2.1.2. Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x
0
thì nó liên tục tại điểm
đó
Chú ý 2.1.3. Điều ngược lại của định lí 2 là sai.
Ví dụ: hàm số y = |x| liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại x = 0.
16
2.1.2 ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN
Công thức tính đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
1.(C)

= 0 2.(x
α
)

= αx
α−1
, (x)

= 1
3.(a
x
)


2
x
8.(cotx)

= −
1
sin
2
x
9.(arcsinx)

=
1
√
1 − x
2
10.(arccosx)

= −
1
√
1 − x
2
11.(arctanx)

=
1
1 + x
2
12.(arccotx)

0
) (k là hằng số bất kỳ);
3. (uv)

(x
0
) = u

(x
0
)v(x
0
) + u(x
0
)v

(x
0
);
4. (
u
v
)

(x
0
) =
u

(x

y

(x
0
) = f

(u
0
).u

(x
0
)
hoặc
y

x
= y

u
.u

x
17
Ví dụ 2.1.3. Tính đạo hàm của hàm số y = 2
sin 2x
Lời giải:
y

= 2

Định lí 2.2.1. Hàm số f (x) khả vi tại điểm x
0
⇔ ∃f

(x
0
).
Khi đó,
df(x
0
) = f

(x
0
).∆x.
Biểu thức vi phân
1. Khi f(x) = x thì dx = ∆x
2. Nếu f(x) có đạo hàm tại x thì biểu thức vi phân của f(x) là:
df(x) = f

(x)dx
Ví dụ 2.2.2. 1. y = ln(3x
2
− 2x
3
). Tìm dy
18
2. y = arctan x
2
. Tìm dy

(x
2
)

1+x
4
dx =
2x
1+x
4
dx
2.2.2 CÁC QUY TẮC TÍNH VI PHÂN
A. Vi phân của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số
Định lí 2.2.2. Nếu các hàm số u = u(x) và v = v(x) khả vi tại điểm x thì tại điểm
đó ta có:
1. d(u ± v) = du ± dv;
2. d(ku) = kdu (k là hằng số);
3. d(uv) = vdu + udv;
4. d(
u
v
) =
vdu −udv
v
2
(v(x) = 0).
B. Tính bất biến của biểu thức vi phân
Định lí 2.2.3. Cho hàm số y = f(x) là hàm số khả vi theo biến x, x = ϕ(t) là hàm
số khả vi theo biến t. Khi đó, dy = y


(n)
(x) = 2
n
e
2x
2.3.2 VI PHÂN CẤP CAO
Định nghĩa 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = f(x) là vi phân của vi phân cấp
n − 1 của hàm số đó.
d
(n)
(y) = d(d
(n−1)
(y))
Nhận xét:
d
(n)
(y) = y
(n)
(dx)
n
Chú ý: với n > 1, công thức này chỉ đúng khi x là biến độc lập.
Ví dụ 2.3.2. Vi phân cấp n của hàm số y = sin x là:
d
(n)
(y) = (sin x)
(n)
(dx)
n
= sin(x +
nπ

x→a
u(x)
v(x)
= lim
x→a
u

(x)
v

(x)
Chú ý:
1. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
2. Quy tắc L’Hospital có thể áp dụng cho trường hợp giới hạn một phía
Ví dụ 2.4.1. Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
x
3
x − sin x
2. lim
x→+∞
ln 3x
x
Khử các dạng vô định khác
Dạng 0.∞:Tìm lim
x→a
f(x)g(x) với f(x) → 0, g(x) → ∞ khi x → a
Ta biến đổi để đưa về dạng vô định
0

)
Dạng ∞−∞: Tìm lim
x→a
(f(x) − g(x)) với f (x), g(x) → ∞ khi x → a
Ta biến đổi để đưa về dạng vô định
0
0
hoặc
∞
∞
như sau:
lim
x→a
[f(x) − g(x)] = lim
x→a
1
g(x)
−
1
f(x)
1
f(x)g(x)
Ví dụ 2.4.3. Tính giới hạn sau
lim
x→1
[
1
ln x
−
1

Ví dụ 2.4.4. Tính giới hạn sau
lim
x→0+
x
x
2.4.2 TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Định lí 2.4.2. (Định lí Fermat) Giả sử
1. f (x) đạt cực trị tại điểm x
0
∈ (a; b);
2. f (x) có đạo hàm tại điểm x
0
.
Khi đó f

(x
0
) = 0.
Nhận xét:
1. Điểm x
0
mà tại đó f

(x
0
) = 0 gọi là điểm dừng.
2. Điểm x
0
mà tại đó f


) = 0, f
(n)
(x
0
) = 0
22
1. Nếu n là số chẵn thì x
0
là điểm cực trị .
• x
0
là cực đại nếu f
(n)
(x
0
) < 0
• x
0
là cực tiểu nếu f
(n)
(x
0
) > 0
2. Nếu n là số lẻ thì x
0
không là điểm cực trị .
Ví dụ 2.4.5. Cho biết hàm lợi nhuận của nhà sản xuất như sau:
π = −
1
3

0
và f

(x
0
) = 0 thì
f(x
0
+ ∆x) ≈ f (x
0
) + f

(x
0
)∆x
Ví dụ: Tính gần đúng
3
√
28
23
CHƯƠNG 3
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
3.1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
3.1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Định nghĩa 3.1.1. Hàm hai biến f có tập xác định trên D ⊂ R
2
là một quy tắc
cho tương ứng mỗi cặp điểm (x, y) ∈ D một và chỉ một số thực z ∈ R
Kí hiệu: z = f(x, y)