Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
§.PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC
1. PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM ĐẶC BIỆT
()
−−+=
−+−+
−+ − +−=
⎛⎞
−
−−−−+=
⎜⎟
⎝⎠
32
32
54 3 2
5433
1. 8 12 0
2. 9 27 27 0
3. 8 20 20 19 12 0 1,3,4
13
4.6 5 5 4 34 12 0 ,2,
32
xx x
xx x
xx x x x
xxxx x

2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH.
43
43 2
1. 5 20 16 0

3
32
0 víi
dc
ax bx cx d
ab
⎛⎞
+++= =
⎜⎟
⎝⎠

Phương trình có một nghiệm là:
0
c
x
b
=
−

5. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
⎡
+=∀
⎢
−
=∀ >
⎢
⎣
3
3
43 ,

aa a a a a
aaa a a
aa a
aaa
aaa
aaa
aa
a
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
+=+++⇒ + = +++
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
⇒+=+++
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞⎛ ⎞
⇒+−+=+
⎜⎟ ⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦⎣⎦
⎛⎞

Do đó với việc chọn a thích hợp ta có được một nghiệm của phương trình.
6. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
−
=∀ ≤
3
43 ,:xxmmm1

Phương trình có không quá ba nghiệm
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 1
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đặt
()
[
]
cos cos 2 ; 0;m
α
απα π
== ± ∈
. Khi đó:
()
3
3
cos 4cos 3cos
33
22
cos 2 4cos 3cos
33
m
m
α

ty y pyq
=
−→ − =

B2: Đưa về pt cơ bản:
±=
3
43
x
xm
bằng cách đặt
2
3
p
y =

8. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG.
Cho phương trình . Đònh tham số để:
()
422
12 10xaxa+− + −=
1. Pt vô nghiệm.
2. Phương trình có một nghiệm.
3. Phương trình có hai nghiệm.
4. Phương trình có 3 nghiệm.
5. Phương trình có bốn nghiệm.
6. Phương trình có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng.
9. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG :
()()
44

⎛⎞
++++= =
⎜⎟
⎝⎠

432
43 2
1.4 12 47 12 4 0.
2.2 21 74 105 50 0.
xxxx
xxx x
++++=
−+−+=

3.Tìm để phương trình vô nghiêïm:
432
10xmxmxmx
+
+++=
.
11. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
(
)
(
)
(
)
,

xxxx
+−−+=
−+−−=

13. PHƯƠNG TRÌNH DẠNG:
(
)
()
2
2
2
xax
α
β
+=+
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 2
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 3
4
42
42
1. 4 1 0
2. 3 10 4 0
3. 2 8 4 0
xx
xx x
x
xx
+−=
−−−=

1. 1 1 16
2. 2 3 2 5 2
3. 6 16 21 12 0
4. 6 9 4 9
5.2 9 20 33 46 66 80 72 32 0
6. 3 1 3 2 9 20 30
7. 6 2 3 81
8. 2 6 16 8 0 2;2; 1 3
9.
xx
xx
xx x x
xx xxx
xx x x x x x x
xx xx xx
xx x
xxx x
x
()
()( )()( )
()()
()
α
−+−+= =
++ + − + = ++ − +
⇔+=
−+ ++
⇔+=
+− ++
−+=


Phương trình hồi qui với các hệ số đối xứng và bậc lẻ nên phương trình sẽ có
nghiệm đặc biệt và thu được phương trình hồi qui bậc chẵn giải bằng cách
chia số hạng chính giữa.
1x =−
()
()
65432
1367631xxxxxxx→+ − + − + −+=0

Bài tập13:
Cho phương trình : . Đònh tham số để phương trình :
432
10xaxxax++++=
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có không ít hơn hai nghiệm âm phân biệt.
Bài tập14:
Cho phương trình : . Đònh tham số để phương trình :
()
43 2
21 10xax a xax−−+ ++=
1. Có bốn nghiệm phân biệt.
2. Có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Bài tập15:
Tìm m để phương trình :
(
)
(
)

.
1. Giải phương trình khi a = 132.
2. Giải và biện luận.
Bài tập19:
Cho phương trình :
43
482
x
xx−++=a
.
0
.
1. Giải phương trình khi a = 5.
2. Giải và biện luận.
Bài tập20:
Cho phương trình Đinh m để:
32
28 0mx x x m−−+ =
1. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt
2. Phương trình có nghiệm bội.
3. Phương trình có 3 nghiệm phân biệt bé hơn -1.
ĐỊNH LÝ VIÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC BẬC CAO.
Bài tập21:
Cho phương trình
32
3332xmxxm+−−+=
1. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm và tổng bình phương 3 nghiệm
của chúng đạt giá trò nhỏ nhất.
2. Xác đònh m để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số cộng.
Bài tập22: Xác đònh tham số để phương trình có 3 nghiệm lập thành một cấp số

nn
n
Sxxx=++
3
n
Bài tập24:
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 4
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Giả sử phương trình có ba nghiệm
32
0,,,xaxbxc abc+++= ∈]
123
,,
x
xx. Cho f(x) là
một đa thức nguyên.
123
:()()()CMR f x f x f x
+
+∈] .
Hd: Ta cm qui nạp dưa vào công thức :
123
0
nn n n
SaS bS cS
−−−
+
++=.
§.DÙNG ẨN PHỤ TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH.
A. Hiểu về ẩn phụ:

2,10 8 3 6
3, 1 3 1
4,2 1 7 1 13 1
5, 5 14 9 20 5 1
6, 8
xx xx
xxx
xxx
xx x x
x
xxx x
ax
xa
xa
−−++−=
+= −+
−= + −
++ − − = −
++−−−= +
+=
+

Có một số bài toán đặc biệt rất gọn nếu dùng ẩn phụ lượng giác. Dùng ẩn
phụ lượng giác tức là ta lợi dụng các công thức lượng giác để tự phá căn thức mà
không dùng phép nâng luỹ thừa. Vì hàm lượng giác là hàm tuần hoàn nên ta cần
lưu ý chọn miền xác đònh sao cho có lợi nhất.
() ()
()()
(
)

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 6
()()
()
+− −+ =
++ −= ≥
+−−=
+− −= −+ +
xxx
ax ax aa
ax ax x
ax ax ax xax
11, 1 1 1 1 2
12, , 0
13, 1 1
14,2

()()
⎛⎞⎛⎞
+−
++ −− + − = + =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
xx
xx xxmHD
22
36
15, 3 6 3 6 ; : 1
33

()
() ()
22
3322
3
22
3
3
44
3
3
33
33
1, 3 10 5
2, 2 2 4
3, 3 3 3 6 3
4, 1 8 1 8 3
5, 9 3 6
6, 5 1 2
7, 24 12 6
8, 7 1
34 1 1 34
9, 30
34 1
xx
xx xx
xx xx
xx xx
xx
xx

+=
22
33
33
4
23
4
32
44
4
22 2 2
33
sin cos
75
10. 6
75
1
:6 7 5
2
11.121211
12. 1 1 1 1
13. 8 1 3 5 7 4 2 2
14. 2 1 3 2 2 2 3 2
15. 7 2 3
16.81 81 30
xx
xx
x
xx
HD x x x

22
2
2
17. sin cos 4
18.sin 2 sin sin 2 sin 3
55
19. 6
11
22 4
20.20 5 48 0
11
1
xx
xxxx
xx
xx
xx
xx x
xx
x
=

Dạng 3: Chuyển theo phương trình ẩn phụ và xem ẩn ban đầu là tham số.
()()()()
()
()
()()( )( )
()
2
33

+−= + ++ −
−+−=−−
+− = −− +
+++ +=
++ +=
++ + =
+
⎛⎞
−++
⎜⎟
⎝⎠
()
2
13 4cos
11 1
10.2 1 3 0
x
y
x
xx
xx x
⎡⎤
=
++
⎢⎥
⎣⎦
−
+−−−−=

Dạng 4: Chuyển về hệ phương trình gồm ẩn phụ và ẩn chính.


⎧
=− + + −
⎪
⎪
=+ +→
⎨
⎪
=− ± + −
⎪
⎩
2
2
2
1
1
16
:2
16
1
16
yaax
HD y x ax
xaay

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 8
()
++ =
++=

636
x
xx x x x
+
+− = ⇔ + − = +

Vì =>
2
() 18 6 29fx x x=+−
(
)
'( ) 6 6 1
=
+→fx x Đặt 12 61 6 1xy
+
=+
10,
2
2004 1 16032 2004xx x−− + =

(Thi chọn HSG Bắc Giang năm học 2003 – 2004).
Xét hàm số f(x) = x
2
– x – 2004 => f’(x) = 2x – 1. Đặt
2
1
,12160321
≥−=+ ttx

Ta có hệ PT sau:

832 4 3 2
x
xxxxxx−=− + ⇔ −= − +
2
3x

Xét hàm số f(x) =
() ()
32 2
29 9
3'26''
32 2
xx xfxxx fx x−+⇒ =−+⇒ =−
46

Đặt
3
24 63 2 3xy−=−
12,( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT sau:

2
3
4
2881
23
3
−+−=− xxxx

Xét hàm số f(x) =
2

18)
xx
x
77
28
94
2
+=
+

19)
2
953 23
x
xx−= + +

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Các phương trình kể trên là các phương trình đối xứng, tuy nhiên hai ví dụ sau
cũng cần nghiên cứu.
()
2
2
20,4 3 1 5 13
23 31
xx x
xx
+++=
⇔−=−+++
4x


xxx
+= + −+
⇔−= −+−

Đặt
()
()
3
3
3
23 2
3523
23 35
xyx
xy
yx
⎧
−=+−
⎪
−= −→
⎨
−=−
⎪
⎩
5

Loại 2:
(
)
log

22
x
x
x
x
xx
xx
=++
=+ + +
⎛⎞
+= + −
⎜⎟
⎝⎠

§. PHƯƠNG PHÁP “MÒ” NGHIỆM
22
3
1
1, 3 1 2
1
xx xx
x
++ ++ + = +
+

VT đồng biến, VP nghòch biến
⇒ có không quá một nghiệm.
“Mò” là một nghiệm.
0x =
()

()( )( )
(
)
23 3
22 2 2
4, 1 1aaxx aa xx−−+=−+−
2

Xét TH đặc biệt
TQ: Pt bậc 6 nên có không quá 6 nghiệm.
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 9
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
NX: Nếu
0
x
là nghiệm thì
0
0
1
&1
x
x
−
cũng là nghiệm, do đó
00
0
111
,1 ,
1
1

244
8
xxx
x
xxx
x
−−+
⇔=+
−−+
⇔−=
2
+−

53
22
35
4
32
7, 1 3 4 0
8, 15 3 2 8
9, 1 5 7 7 5 13 7 8
111
10,5 4 3 2 2 5 7 17
236
xxxx
xxx
xx x
xxx
xx x x
xxx

ab a b
ab a b

Ta có:
11
1111
11
⎧
≤
⎪
⎪
++ +
⇒+≤+
⎨
++ ++ + +
⎪
≤
⎪
++ +
⎩
aa
aba
ab a
bb
ab ab a b
ab b
b

(
)

−−
−
x
y
xy

Dùng CauChy.
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 10
Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 11
2
4
44
2
4
4; 1 1 1 3
*) 1 1
−+−++=
−≤
xxx
x

44
11 11
11
11 11
22
*) 1 1 2
22 2 2
+

()
44 22 2
22 22
22
22
22
2
2
5;tan tan 2cot .cot 3 sin
2tan .tan 2cot .cot 4tan .tan .cot .cot 4
314
tan tan
tan tan
tan tan
1
tan .tan cot .cot tan .tan
tan .tan
sin 1
sin 1
++ =+ +
≥+≥ =
≤+=
⎧
=
=
⎧
=
⎪
⎪
⎪

42
tan 1 , )
42
2
cos 0
42
2
(b»ng c¸ch rót theo
ππ
ππ
ππ
ππ
π
π
⎧
⎪
=
⎨
⎪
+=
⎩
⎧
=+
⎪
⎧
⎧
=
⎪
=+
⎪

2
2
2
6; 4 6 2 , 4;6
:1 6
:6,
46
*) 4 6 5
2
*) 2 1 1 5
T×m m ®Ó
§kc
§k®
+−≤−+∀∈−
=→ ≥
≥
++−
+−≤ =
−+=−+−≥
xxxxmx
xm
gs m
xx
xx
xxmx m

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 12
()
()

xxxx
xx xx
xx x
xx x x
xx x x
xx
xxx
xxx xxx
()()
()
22
2
0
2
2cos2 2sin2 sin 1 2 2
2cos2 2sin2
sin 1
sin 1

⎡⎤
≤− +− +≤
⎣⎦
−−
⎧
=
⎪
→→
⎨
⎪
=

+≥

() ()
2
2
2
11, 4 5 2 2 3
*) 4 5 2 2 3 3 3 1 1 0 1
xx x
xx x x x x
++= +
++= +≤ ++⇔+≤⇔=−

2
0
22
15
12,8
2
1
*) :
4
1 111111115
*)8 8
4444
x
x
Nn x
xx
x xxxx

14, 25 2 9 4
25 2 9 4 3
55 9
*)
3
xx x
x
xx x
xxx
VT VP
+=+
⇔+=+
+++
≤=

()
22
15, 9
1
11
*) 2 2 1 8 1
11
11
xx
x
xx
VT x x VP
xx
xx
+=+

VP x x x x x x
−+ − − += −+
≤ ++ −+−++= + −
⎡⎤
++ −
⎣⎦
=≥+−=
+−

() () ()()
[]
22
2
2
22
22
17, 2 5 6 10 5
*) 1 2 3 1 1 3 2 1 5
*)
xx xx
VT x x x x
abab
−+− −+=
⎡⎤
=−+−−+≤ −−−+−=
⎣⎦
−≤−
GGGG

(

xyx y
pt x y
⎧
++ ++ += −+ −+ −
⎪
⎨
++ + =
⎪
⎩
⇔=−

42
22
697
20,
81
344
xy
xyxyxy
⎧
+=
⎪
⎨
⎪
++−−+=
⎩
0

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
*) Xét phương trình hai. Nếu xem là phương trình ẩn x thì ta được

)
(
)
(
)
(
)
()
()
22
2
2
2
2
2
22 2
2
22
22
2
2
2
2
2
22
1, 3 2 1 3
3
21
3
3

++=++
++
⇔+=
+
⎧
++
+− = −
⎪
⎪
+
⇔
⎨
⎪
>−
⎪
⎩
++
+− + = − +
+
xxxx
xx
x
x
xx
x
x
x
xx x
x
x

++=++
++=++
−=−−
xxxxx
xxxx
xx xx
xx
+
x

()
22
7; 3 1 2 3 3 2+++=+xxx xx+

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 14
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 15
2
2
1
8; 2 3 1
23
17
9; 3 5
22
−
−+=
−
+= − +
x

x
xx
x
xx
+=
−
⇔+ =

Chọn
17
làm tham số. Khi đó ta xét phương trình sau:
2
2
32262
4
3
2
22
220
2
mx
mm
xxmmxx
x
xx
m
x
⎡
=−
−

2, 2 15 25 0
3, 11 11 11 11
xx x x
xx x
+− − +=
++=⇔−=+
x

Dạng 2: Mượn tham số trong đònh lý Lagrange.
33
33
33
log 7 log
5
3
log log
3
log log
33
4, 2 log
725log
77log22log
x
xx
xx
xx
x
xx
=+
⇔=+

[
nên theo đònh lý
Lagrange ta có:
]
2;7
()()
(
)
(
)
72
2;7 : '
72
ff
mfm
−
∃∈ =
−

Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT

(
)
3
3
log 1
33
3
log 1
' 0 log . log 0

}
1;3S =

(
)
()
cot cot cot cot cot cot
cot
5,71112cot7113117cot73.7cot113.11cot
3cot
11 5 4
6,
23 14 21
xx xx x x
xx
xx
xxx
ft t t
α
α
− = ⇔− =− ⇔+ = +
→=+
⎛⎞⎛⎞
−= −
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
x

()
() ( )

5
5
x
xxx
x
xx
x
NX
ft t t
xx
x
ft t t
xx
α
α
α
α
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=+
⎪
⎩
⎛⎞
→=+−
⎜⎟
⎝⎠

x
3

Ta ph©n tÝch sao ®Ĩ tam thøc bËc hai cã n
g
hiƯm ®Ỉc biƯt.

()
111113
2
24
1
22
2
24
11 1
−−
⎛⎞⎛⎞
⇔=−−+
⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠
−−
⎛⎞
⇔=−
⎜⎟
⎝⎠
−+−
x
xx

1
212
41
4
++
+= +
+
+
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
++
⇔−+−=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
+
+
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
−−−
⇔+=
⎛⎞
++
1
+
++
++

=⇒=−
⎢⎥
−−
⎣⎦
xx axa
aa a
cn x
1
3

(
)
(
)
()
() ()()()
()()()
()
2
32
3
23
32
23
332
3
3
4; 3 3 1 1 0
13 131 10
3131 1

852 4
*)
2
*) 1 1
2
11
22
⎛⎞
−→ −
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−+→ −
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
→−+−+= − + − +
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
x
xx x
x
x
2
x
xx
xxxx x

6;cos 3 3sin cos7
cos cos7 3 3sin 0

2
2
22
22
33
*sin2.cos2sin4.cos2
4
cos 2 sin 4 cos 2 1 4sin 2
114cos214sin2253
.4cos 2 1 4sin 2 .
442164
Ta cã:
⇔+=
⎡⎤
+= +
⎣⎦
⎛⎞
⎛⎞
++
⎡⎤
=+≤ =<→
⎜⎟
⎜⎟
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
o
xx xx
xx x x
xx

cã kh«ng qu¸ hai nghiƯm nªn cã kh«ng qu¸ ba nghiƯm.
t lμ ba nghiƯm.
++=
=−≤≤
→+ + = ⇔ −+=
+
=−+→= −
+
+
==
===
xx
t
tt
t
tt
t
t
x
txt
tt
ft t f t
ft ft
tt

11
12 2
8;
1
2122

2
11
11
12 2 2 2 2
1
2122 21 22
21
2
2
22
22
22
2121 2121
2121
2121
−−−− −
−
−
−−
−−
−−
−− −−
−−
−−
+≤ ⇔+ ≤
−+ + +
−
+
+
+

2
11
11
2121
)4
2121

−−
−−
⎡⎤
++ −
⎣⎦
=→ ≤
+−
xx
xx
aa
4

Trường THPT chuyên Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chuyên đề PT-BPT-HPT-HBPT
Tác giả: Huỳnh Thanh Luân Trang 19
(
)
1
:2 1 0 1 0 lu«n ®ón
g
.
−
−<⇔<→ <→
x

22 33
2
2
22
22
2
23
33
2
2
2
9;log log log log
1
23log
log log
2
log log
log log
2
23
2
log 3
32
2
§k
§Æt
=
>
⎧
⎧

tt
t
xx
x
xt
x
tx
xt
x
x
x
3

()
()
235235
52 3 235
5
2
23 2323
23
3
2
10;log log log log .log .log
0
log log 5 log 5 1 log .log .log
log 0
log 5 log 5 1 log .log log 3 log
1
log 5 log 5 1

x

()
()
()
()
()()
()
234 432
2
434 432
2
34 32
2
34 3 4 3 34
2
34 34 3
3
34 34
11;log log log log log log
4
log log log log log log
log log log log
log log log 2log log 2 log log
log log log log log 2 0
114log2
log log , 4 log log
2
§k:
l−u ý ®k

+
+
−
+− ≤
>
=
x
x
bb
x
x
ca
xx
x
ac

()
()
()
2
log 4
2
2
222
13; 8
0
log 4 .log log 8
§k:
LÊy logrit c¬ sè 2 hai vÕ
≥

log log 2
log 1 log 3
*) 2
*) 2
§k:

lμ n
++=+++
>
++
⎧⎧
>> > >
⎪⎪
⎪⎪
>→ →
⎨⎨
++ + + +
⎪⎪
>> > >
⎪⎪
⎩⎩
>+⎧
⎪
→
⎨
+> +
⎪
⎩
<
=

2
262log21log 1
21 211log21log 1
§k:
+
−+=
−
−<≠
→−+= +− −
⇔−−++= +− −
x
xx
x
x
xx x x
xx x x

()( ) ( ) ()
() () ( ) ( )
()( ) ()
22
22
22
22
2
2
21 21log21log21
21log21 21log21
21 21, log v× hμm sè t ®ång biÕn.
⇔−−+= +− −

1
22
2222
22
3
3333
22
0
3
2;
4
1
8
3
4
31
2
4; 5;
3
31
4
2
5
6; 7;
252
2
, đây l hệ đối xứng ba ẩn cơ bản
3;







+=



=


xyz
xy yz zx
xyz
xza
xxy
yyx
xyza
xxy
yyx
xyza
xxyy
xx y y
yx
xy xy
()
22
231
+


3
1 4 31 1 4 31
22
Đkcn
Hệ có nghiệm:
+=

+ +=




++= ++=
=



+

+

==

+


+
==



3
0, 0
10
22 0
2
20
22
0
3
Đkcn

++ +=++



+ += +


+


+=
+=+




++
+
=

ab
xy
xy
ab
b
a
ab
b
ab


Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
3; Tìm gtnn, gtln của
(
)
22
,
=
+−Pxy x y xy
, biết x, y thỏa:
22
2
3
+≤
⎧
⎨
++=
⎩
xy
xyxy

)
() ( )
()
()
2
,04
,922
03
,9, 2
3
3
21
min , 1, 0
11
§k
Khi ®ã: ∃→≤≤
=− −
⎧
+= =
⎧
⎪
==→ →
⎨⎨
=−
=
−
⎩

()
22
22
22
1;
21
xyxy
xy xy
⎧
++−=
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎩

*) Ta tìm nghiệm dạng:
()
.
0; y
Ta có: Tức hệ không có nghiệm dạng
2
2
22
211
o
yy
vn
yy
⎧

⎨
+++=
⎪
⎩
2
11
Ta xem là hệ tuyến tính theo hai ẩn
2
x
và
x
.
()
()
()
2
2
2
14
91
26 7
x
x
Dtt
Dt
Dt
=+ +
=+
=−
1

t
tt
txx
tt
t
tt tt
=
⎡
−−
⎛⎞
⎢
≠− → = = ⇒ = ⇔
⎜⎟
⎢
++
=−
++ ++
⎝⎠
⎣

Tác giả: Huỳnh Thanh Ln Trang 22
Trường THPT chun Hùng Vương Gia Lai Bài giảng chun đề PT-BPT-HPT-HBPT
Đến đây ta hiểu rằng hệ đã cho chỉ có nghiệm dạng
()
44
;2 ; 0
23
vμ víi ab mμ th«i.aa b b
⎛⎞
−≠

==
=
⎩
⎪
⎩

22
22
42 3
2;
21
xy xy
xxyyxy
⎧
+−+ =−
⎪
⎨
−++− =
⎪
⎩
2

3; Chứng minh rằng
(
)
21 3
1;
3
m
⎡⎤

11
y
m
ym
⎧
≤
⇒≤⇔−≤≤
⎨
=
⎩
1m
11m
−
≤≤
thì hệ có nghiệm (cụ thể là
).
()
0;m
*) Ta tìm xem khi nào hệ có nghiệm dạng:
(
)
;
x
x
.
Ta có:
()
2
2
2

⎣⎦
.
Dùng khảo sát hàm số ta sẽ có:
(
)
21 3
1
23
m
+
−≤ ≤
. Tức với
(
)
21 3
1
23
m
+
−≤ ≤
thì
hệ đã cho có nghiệm dạng
()
;
x
x
.
Từ các kết quả trên ta có đpcm.
4; Đònh m để hệ có nghiệm.
22

⎧
−+ −≤ −+ −≤
⎪
⎪
⎪⎪
⇔−−+≤ ⇔−−+≤
⎨⎨
⎪⎪
−+ −+ − −+≤
−+−≤
⎪
⎪
⎩
⎩
xxyyxm xxyyxm
xxyx m xxyx m
xxyyx x xyx m
x
yx m

Nếu hệ vô nghiệm.
0m <
Nếu , ta thấy (3) luôn đúng với mọi tại
0m ≥ 0m ≥
1
1;
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

3
55
xxyy
xy
xy
xxyy
xxyy
xxyy
⎧
++ + ++ =
⎧
+=
⎪⎪
⇔
⎨⎨
++ +=
+− + +− =
⎪⎪
⎩
⎩
⎧
++ + ++ =
⎪
⎪
⇔
⎨
+=
⎪
++ ++
⎪

++ − =
⎪
−
⎨
+− + + − − − =
⎪
⎩

22
3;
21 317
⎧
++ + +=
⎪
⎨
++ +=
⎪
⎩
xy x y
xy
7

1
2
1
3
0
22
§K:
⎧

21 2 2
31
B×nh ph−¬ng hai vÕ:
xy
xyxyxy
xy xyxy
xy
xxy
yxy
xy
xxy
yxy
⎧
++ +=
⎪
⎪
⇔+++=++++
⎨
⎪
++=+++
⎪
⎩
⎡
⎧
++ +=
⎢
⎪
⎪
⎢
+= +

2
4;
1
1
0, 0.
*) 1,
*) 1,
*) 1, 0; ,0 1
X¸c ®Þnh ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
§K:
hƯ v« nghiƯm.
hƯ cã nghiƯm duy nhÊt.
hƯ cã v« sè nghiƯm d¹ng
a
xya
yxa
xy
a
a
at
⎧
++ ≤
⎪
⎨
++ ≤
⎪
⎩
≥≥
<
=

xy
y
xx
xx
x
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
≤≤ ≤≤
⎪
⎪
⎧
−
=
⎪
⎪
⎪
⎧
+=
−−
⎪⎪⎪ ⎪
⇔⇔=⇔=
⎨⎨⎨ ⎨
−
+=
⎪
⎪⎪ ⎪
⎩

11
111
11;0
2121
yy
xx
xy y y
x
yyy xyy
xy y y
xyyy xyyy
yy
xx
yyxy
xx
yy
xy y y xy y y
≤≤ <≤
⎧⎧
⎪⎪
≥≥
⎧
+−≤
⎪⎪⎪
⇔⇔
⎨⎨⎨
+−≤ +−≤
−− =−
⎪⎪⎪
⎩

xyy
yyy yy yyy yy
xy y y
yy yy
⎧
≤++
⎪
⇒+ ++≤ ++⇔ + ++≤ ++
⎨
−− −=
⎪
⎩
⇔++≤ ++

§. HỆ LẶP BA ẨN
(Hoán vò vòng quanh)
1. Đònh nghóa: Hệ lặp ba ẩn là hệ có dạng
()
()
()
x
fy
yfz
z
fx
=
⎧
⎪
=
⎨