KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
HÀ NỘI
(2008-2009) – ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn: Toán
Ngày thi: 18 – 6 – 2008

Bài 1 ( 2,5 điểm )
Cho biểu thức:
1
:
1
x x
P
x x x x
 
 
 
 
 
 

1) Rút gọn P
2) Tìm giá trị của P khi x = 4
3) Tìm x để
13
3
P


Bài 2 ( 2,5 điểm ) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:
Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng tjhứ hai tổ I vươt mức 15% và tổ II

xx
x
x
x
x
P










 :
1
1

a) Rút gọn P
   
   
 
x
xx
P
x
xx
xx
























b) Tính giá trị của P khi x = 4
Với x = 4 thì
2
7
4
144



t
t
; Giải phương trình ta được






3
1
3
t
t
(thoả mãn điều kiện)
*) Với t = 3 93  xx
*) Với
9
1
3
1
3
1
 xxt
Bài II. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Gọi số chi tiết máy tổ thứ nhất làm được trong tháng đầu là x (xN
*
; x < 900; đơn
vị:chi tiết máy)







0444)2('
22

 (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m  (d) luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
Cách 2. Vì a.c = 1. (-4) = -4 <0
m


 (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị của m  (d) luôn cắt
(P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.
2) Gọi A, B là hai giao điểm của (d) và (P). Tính diện tích tam giác OAB theo m
(O là gốc toạ độ)

3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
-0,5
-1
-1,5

Gọi hình chiếu vuông góc của B, A lên Ox lần lượt là C, D
Ta có:
2
11
2
22
121122
4
1
;
4
1
;;
xyADxyBC
xxODOCCDxxODxxOC











Ta có
 
 
   

8
1
8
1
4
1
).(
2
1
4
1
.
2
1
2
4
1
4
1
.
2
1
.
2
1
2
)(
xxxxxxxxxxxxxxS
xxxx
xxxx

Ta có







 
 
21
2
21
22
21
22
21
2
21
2
21
14
14116
11616164
xxmxx
mmxx
mmxxxxxx





F

K

A

O

B

Ea) Chứng minh

KAF đồng dạng với

KEA
Xét (O) có
·
·
AEK KEB

(EK là phân giác Ê)

»
»
AK KB


·
·
IFE OKE ( OEK)
 
Mà hai góc này bằng nhau ở vị trí đồng vị
 IF // OK (dấu hiệu nhận biết)
Vì
»
»
AK KB

(chứng minh trên)

·
90
o
AOK



OK AB


Ta có IF // OK ;
OK AB


 IFAB
Mà IF là một bán kính của (I;IE)
 (I;IE) tiếp xúc với AB tại F

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
 MN//AB
d)Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên
(O)
Học sinh dễ dàng chứng minh được tứ giác PFQK là hình chữ nhật; tam giác BFQ
là tam giác vuông cân tại Q
Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ
mà PK = FQ (PFQK là hình chữ nhật)
FQ = QB (BFQ vuông cân tại Q)  PK = QB
PQ = FK (PFQK là hình chữ nhật)
Chu vi KPQ = KP + PQ + KQ = QB + QK + FK = BK + FK
Vì (O) cố định, K cố định (hs tự chứng minh K là điểm chính giữa cung AB)
FK  FO ( quan hệ đường vuông góc, đường xiên)
Chu vi KPQ nhỏ nhất = BK + FO khi E là điểm chính giữa cung AB.
Ta có FO = R
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông cân FOB tính được BK =
2
R

Chu vi KPQ nhỏ nhất = R +


2 2 1
R R
 

Bài V. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức




           
  

 Min A = 8  a
4
= 0  a = 0  x – 2 = 0  x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi x = 2